Initiation au calcul intégral/Intégrale d’une fonction sur un intervalle

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Définition de l'intégrale

La « définition » ci-dessous, bien que prescrite par les programmes, n'est qu'« intuitive » car basée sur la notion d'aire, dont la définition mathématique dépasse largement le niveau de ce cours. Il faut donc se contenter de l'intuition de cette notion, issue de la « connaissance » de l'aire des figures planes usuelles.

Définition

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a,b]$ ($a\leq b$) et soit ${\mathcal {C}}$ la courbe représentative de $f$ sur $[a,b]$.

On considère la portion du plan délimitée par :

$\left\{{\begin{array}{l}x=a{\text{ : droite verticale}}\\x=b{\text{ : droite verticale}}\\y=0{\text{ : axe des abscisses}}\\C:y=f(x){\text{ : courbe de }}f\\\end{array}}\right.$

alors l'aire de cette figure est appelée l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ et notée :

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

ou plus simplement :

$\int _{a}^{b}f$.

On étend ensuite cette définition :

• à une fonction $f$ continue mais non nécessairement positive, en exprimant $f$ comme différence de deux fonctions continues positives, $f=f_{+}-f_{-}$, et en définissant l'intégrale de $f$ comme la différence des intégrales de ces deux fonctions ;
• à l'intégrale de $b$ à $a$ (avec encore $b\geq a$), définie comme l'opposée de l'intégrale de $a$ à $b$.

Remarques

• $\int _{a}^{a}f=0$.
• Dans l'écriture traditionnelle, $x$ est une variable « muette », c'est-à-dire que la lettre choisie est arbitraire, mais ne doit surtout pas être une lettre déjà utilisée par ailleurs (comme ici $a$ ou $b$) : $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(q)\,\mathrm {d} q$.
• De même que dans l'expression d'une limite, il n'est pas vraiment indispensable de l’écrire, si on l'omet également dans l'expression de la fonction à intégrer : $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f$. Mais cette écriture simplifiée n'est possible que si la fonction à intégrer est désignée par une lettre (ici $f$) et non par une formule.

Lien entre intégrale et primitive

Début d’un théorème

Théorème fondamental de l'analyse

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ un élément de $I$.

L'application $x\mapsto \int _{a}^{x}f$ est une primitive de $f$ sur $I$.

Fin du théorème

À notre niveau, ce théorème ne peut pas être démontré et n'a même pas de signification précise, puisqu'en définitive, l'intégrale n'a pas été définie mathématiquement. On pourrait, à rebours, le prendre comme une définition de l'intégrale d'une fonction continue, en admettant qu'une telle fonction a des primitives.

Début d’un principe

Notation crochet

Soit $F$ une fonction.

On note $[F(x)]_{x=a}^{x=b}$, ou plus simplement $[F]_{a}^{b}$ le réel $F(b)-F(a)$.

Fin du principe

Corollaire

Toute fonction $f$ continue sur un intervalle admet des primitives, et si $F$ est l'une d'elles, on a (pour tous $a$ et $b$ dans cet intervalle) :

$\int _{a}^{b}f=[F]_{a}^{b}$.

Remarque

L'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie. En effet, si $G=F+k$ est une autre primitive de $f$ :

$[G]_{a}^{b}=[F+k]_{a}^{b}=[F]_{a}^{b}+[k]_{a}^{b}=[F]_{a}^{b}$.

Exemple

Calculer le réel $I:=\int _{0}^{1}{(x-x^{2}+1)}~\mathrm {d} x$ qui, par définition, représente l'aire ci-dessous :

On note : $f:x\mapsto \cdots$.

Donc une primitive de $f$ est : $F:x\mapsto \cdots$.

Et $I=\int _{0}^{1}{(x-x^{2}+1)}~\mathrm {d} x=\cdots$.

Solution

• On pose $f:x\mapsto x-x^{2}+1$.
• Une primitive de $f$ est $F:x\mapsto {\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+x$.
• $F(0)=0$ et $F(1)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+1={\frac {7}{6}}$.
• Donc $I=\int _{0}^{1}f(x)~\mathrm {d} x=F(1)-F(0)={\frac {7}{6}}$.