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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Initiation au calcul intégral : Propriétés de l'intégrale Initiation au calcul intégral/Propriétés de l'intégrale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans tout ce chapitre,
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
sont deux fonctions définies et continues sur un intervalle auquel
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
appartiennent.
Propriété
*
∫
a
b
f
+
∫
b
c
f
=
∫
a
c
f
{\displaystyle \int _{a}^{b}f+\int _{b}^{c}f=\int _{a}^{c}f}
.
∫
a
a
f
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{a}f=0}
.
∫
b
a
f
=
−
∫
a
b
f
{\displaystyle \int _{b}^{a}f=-\int _{a}^{b}f}
.
'Démonstration'
Soit
F
{\displaystyle F}
une primitive de
f
{\displaystyle f}
. D'après le théorème fondamental de l'analyse,
∫
a
b
f
+
∫
b
c
f
=
[
F
]
a
b
+
[
F
]
b
c
=
[
F
]
a
c
=
∫
a
c
f
{\displaystyle \int _{a}^{b}f+\int _{b}^{c}f=[F]_{a}^{b}+[F]_{b}^{c}=[F]_{a}^{c}=\int _{a}^{c}f}
.
Les deux autres propriétés font partie de notre définition de l'intégrale.
Propriété
*
∫
a
b
(
f
+
g
)
=
∫
a
b
f
+
∫
a
b
g
{\displaystyle \int _{a}^{b}(f+g)=\int _{a}^{b}f+\int _{a}^{b}g}
.
∀
λ
∈
R
∫
a
b
λ
f
=
λ
∫
a
b
f
{\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} \quad \int _{a}^{b}\lambda f=\lambda \,\int _{a}^{b}f}
.
Début d’un théorème
Fin du théorème
Corollaire
Supposons que
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
.
Si
m
≤
f
≤
M
{\displaystyle m\leq f\leq M}
alors
m
(
b
−
a
)
≤
∫
a
b
f
≤
M
(
b
−
a
)
{\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f\leq M(b-a)}
.
Définition
La valeur moyenne de
f
{\displaystyle f}
sur le segment
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
si
a
<
b
{\displaystyle a<b}
(ou
[
b
,
a
]
{\displaystyle [b,a]}
si
b
<
a
{\displaystyle b<a}
) est le réel
1
b
−
a
∫
a
b
f
{\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f}
.
Cette notion généralise celle de moyenne d'un nombre fini de réels en l'appliquant à un nombre infini de valeurs prises par une fonction intégrable.
Si
f
{\displaystyle f}
est constante, sa valeur moyenne est sa valeur.