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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Initiation au calcul intégral : Primitives d’une fonction Initiation au calcul intégral/Primitives d’une fonction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
Soient
f
{\displaystyle f}
et
F
{\displaystyle F}
deux fonctions définies sur un même intervalle. On dit que
F
{\displaystyle F}
est
une primitive de
f
{\displaystyle f}
lorsque
F
{\displaystyle F}
est dérivable et
f
{\displaystyle f}
est
la dérivée de
F
{\displaystyle F}
.
La dérivée d’une fonction constante est la fonction nulle. Autrement dit, les constantes additives disparaissent à la dérivation. En conséquence, une fonction qui a au moins une primitive en a toujours une infinité (pour cette raison, on dit « une primitive » et non « la primitive »).
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
f
:
x
↦
2
x
F
(
x
)
=
…
{\displaystyle f:x\mapsto 2x\qquad F(x)=\ldots }
Solution
La fonction
F
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle F(x)=x^{2}}
est une primitive de
f
{\displaystyle f}
. En effet,
F
′
(
x
)
=
2
x
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=2x=f(x)}
.
f
:
x
↦
1
F
(
x
)
=
…
{\displaystyle f:x\mapsto 1\qquad F(x)=\ldots }
Solution
La fonction
F
(
x
)
=
x
{\displaystyle F(x)=x}
est une primitive de
f
{\displaystyle f}
. En effet,
F
′
(
x
)
=
1
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=1=f(x)}
.
f
:
x
↦
0
F
(
x
)
=
…
{\displaystyle f:x\mapsto 0\qquad F(x)=\ldots }
Solution
La fonction
F
(
x
)
=
1
{\displaystyle F(x)=1}
est une primitive de
f
{\displaystyle f}
. En effet,
F
′
(
x
)
=
0
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=0=f(x)}
.
f
:
x
↦
−
5
F
(
x
)
=
…
{\displaystyle f:x\mapsto -5\qquad F(x)=\ldots }
Solution
La fonction
F
(
x
)
=
−
5
x
{\displaystyle F(x)=-5x}
est une primitive de
f
{\displaystyle f}
. En effet,
F
′
(
x
)
=
−
5
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=-5=f(x)}
.
f
:
x
↦
3
x
2
F
(
x
)
=
…
{\displaystyle f:x\mapsto 3x^{2}\qquad F(x)=\ldots }
Solution
La fonction
F
(
x
)
=
x
3
{\displaystyle F(x)=x^{3}}
est une primitive de
f
{\displaystyle f}
. En effet,
F
′
(
x
)
=
3
x
2
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=3x^{2}=f(x)}
.
On utilise souvent pour les primitives simples la propriété suivante : Une constante multiplicative est « transparente » à la dérivation :
(
k
.
u
)
′
=
k
.
u
′
{\displaystyle (k.u)'=k.u'}
Début de l'exemple
Exemple
Donner une primitive de
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
. On sait qu’il faut des
x
3
{\displaystyle x^{3}}
, mais
(
x
3
)
′
=
3
x
2
{\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}}
et non
x
2
{\displaystyle x^{2}}
. On a donc l’idée d’anticiper la sortie du 3 en multipliant par son inverse
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
.
F
(
x
)
=
…
x
3
{\displaystyle F(x)=\ldots x^{3}}
et donc
F
′
(
x
)
=
…
=
…
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=\ldots =\ldots =f(x)}
.
Solution
On pose
F
(
x
)
=
1
3
x
3
{\displaystyle F(x)={\frac {1}{3}}x^{3}}
. Ainsi
F
′
(
x
)
=
1
3
(
x
3
)
′
=
1
3
×
3
x
2
=
x
2
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)={\frac {1}{3}}(x^{3})'={\frac {1}{3}}\times 3x^{2}=x^{2}=f(x)}
.
Fin de l'exemple
Toutes les primitives d’une fonction donnée ne diffèrent que d’une constante additive :
Début d’un théorème
Théorème
Si
F
{\displaystyle F}
est une primitive de
f
{\displaystyle f}
sur un intervalle
I
{\displaystyle I}
, alors
les primitives de
f
{\displaystyle f}
sur
I
{\displaystyle I}
sont les fonctions de la forme
F
+
k
{\displaystyle F+k}
,
où
k
{\displaystyle k}
est un nombre réel quelconque.
Fin du théorème
On verra au chapitre suivant que toute fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive (donc une infinité).
Corollaire
Soit
f
{\displaystyle f}
une fonction admettant des primitives sur un intervalle
I
{\displaystyle I}
.
Pour tout
a
∈
I
{\displaystyle a\in I}
et tout
b
∈
R
{\displaystyle b\in \mathbb {R} }
, il existe (sur
I
{\displaystyle I}
) une primitive
F
{\displaystyle F}
de
f
{\displaystyle f}
et une seule telle que
F
(
a
)
=
b
{\displaystyle F(a)=b}
.
Autrement dit, fixer une valeur suffit à fixer la primitive.