En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Géométrie affine : Espaces affines Géométrie affine/Espaces affines », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Réciproquement, pour une telle action, l'application qui, à tout couple de points associe l'unique vecteur tel que , vérifie les deux propriétés de la définition ci-dessus.
Fin du théorème
'Démonstration'
D'après le premier point de la proposition 2, , autrement dit . Joint à la proposition 1, ceci assure que l'application est bien une action.
Elle est libre et transitive puisque pour tout , il existe un unique vecteur tel que (le vecteur , d'après la définition ci-dessus de ).
Réciproquement, soit une action libre et transitive, ou même seulement une application vérifiant la proposition 1 et la propriété : (on ne suppose donc pas que car cette hypothèse va s'avérer redondante).
Pour tous points , notons l'unique vecteur tel que . Alors donc l'application est bien bijective (second point de la définition ci-dessus).
Soient maintenant , posons et , alors par hypothèse, donc , ce qui prouve le premier point de la définition ci-dessus.
Un repère cartésien de est la donnée d'un point et d'une base de . Les coordonnées (cartésiennes) d'un point dans un tel repère sont les scalaires tels que .
On dit que points sont affinement indépendants si les vecteurs sont linéairement indépendants.
Un repère affine de est la donnée de points affinement indépendants.
est donc un repère affine si et seulement si est un repère cartésien.
Proposition
Si sont affinement indépendants alors le sont aussi, pour n'importe quelle permutation .
'Démonstration'
Puisque la proposition est immédiate pour les permutations qui fixent , il suffit de la prouver dans le cas où, par exemple, est la transposition qui échange et .
Supposons que sont linéairement indépendants et que , et montrons que tous les sont nuls.
Soient et deux sous-espaces affines de , de directions respectives et . On dit que :
et sont parallèles si ;
est faiblement parallèle à si .
Proposition
Soit une famille de sous-espaces affines de . Leur intersection est soit vide, soit un sous-espace affine de direction , où les sont les directions des .
'Démonstration'
Si cette intersection est non vide, soit . Alors, , et est un sous-espace vectoriel de .
Définition
Soit une partie non vide de . Le sous-espace affine engendré par est l'intersection des sous-espaces affines de contenant . On le note .
D'après la proposition précédente, on a donc :
Proposition
Soit une partie non vide de . est le plus petit sous-espace affine de contenant .
Proposition
Soient et .
Alors, .
'Démonstration'
car la direction de contient nécessairement tous les vecteurs tels que , donc contient le sous-espace vectoriel qu'ils engendrent.
car pour tout , .
Proposition
Soient et deux sous-espaces affines de . La direction du sous-espace affine est égale à :
'Démonstration'
D'après la proposition précédente, cette direction est égale à
.
De plus, si et seulement s'il existe un point tel que et , c'est-à-dire , donc
Définition
Soient et deux sous-espaces affines de , de directions respectives et . On dit que et sont supplémentaires dans si .
Proposition
et sont supplémentaires dans si et seulement si et contient un unique point.
'Démonstration'
Si et alors (d'après la proposition précédente) et (car donc ).
Réciproquement, si alors et (d'après la proposition précédente) et contient un unique point (car ).