Géométrie affine/Espaces affines

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Introduction

Dans cette partie, $E$ est un $k$-espace vectoriel.

Définition

Un espace affine de direction $E$, et de dimension $\dim (E)$, est un ensemble non vide $ℰ$ muni d'une application

$ℰ\times ℰ\to E,(A,B)\mapsto \overrightarrow{AB}$

vérifiant les deux propriétés suivantes :

• $\mathrm{\forall }(A,B,C)\in {ℰ}^3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (relation de Chasles) ;
• pour tout point $A\in ℰ$, l'application $ℰ\to E,B\mapsto \overrightarrow{AB}$ est bijective.

Pour tout point $A\in ℰ$ et tout vecteur $v\in E$, l'unique point $B\in ℰ$ tel que $v=\overrightarrow{AB}$ est appelé le translaté de $A$ par $v$ et noté $B=A+v$.

Proposition 1

Pour tout point $A\in ℰ$ et tous vecteurs $u,v\in E$,

$A+(u+v)=(A+u)+v$.

'Démonstration'

Soient $B=A+u$ et $C=B+v$. Alors $u+v=\overrightarrow{AC}$ (d'après la relation de Chasles) donc $C=A+(u+v)$.

 

Proposition 2

Pour tous points $A,B\in ℰ$ :

• $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\iff A=B$ ;
• $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.

'Démonstration'

• D'abord, $A=B\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$ (d'après la relation de Chasles dans le cas $A=B$). On en déduit que réciproquement, si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$ alors $B=A+\overrightarrow{AB}=A+\overrightarrow{0}=A+\overrightarrow{AA}=A$.
• À nouveau d'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$.

 

Début d’un théorème

Théorème

• L'application $ℰ\times E\to ℰ,(A,v)\mapsto A+v$ est une action (à droite) libre et transitive du groupe $(E,+)$ sur l'ensemble $ℰ$.
• Réciproquement, pour une telle action, l'application $ℰ\times ℰ\to E$ qui, à tout couple de points $(A,B)\in ℰ\times ℰ$ associe l'unique vecteur $v$ tel que $B=A+v$, vérifie les deux propriétés de la définition ci-dessus.

Fin du théorème

'Démonstration'

• • D'après le premier point de la proposition 2, $\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$, autrement dit $A+\overrightarrow{0}=A$. Joint à la proposition 1, ceci assure que l'application $(A,v)\mapsto A+v$ est bien une action.
  • Elle est libre et transitive puisque pour tout $(A,B)\in ℰ\times ℰ$, il existe un unique vecteur $v\in E$ tel que $A+v=B$ (le vecteur $v=\overrightarrow{AB}$, d'après la définition ci-dessus de $A+v$).
• Réciproquement, soit $ℰ\times E\to ℰ,(A,v)\mapsto A+v$ une action libre et transitive, ou même seulement une application vérifiant la proposition 1 et la propriété : $\mathrm{\forall }(A,B)\in ℰ\times ℰ\mathrm{\exists }!v\in EA+v=B$ (on ne suppose donc pas que $\mathrm{\forall }A\in ℰA+\overrightarrow{0}=A$ car cette hypothèse va s'avérer redondante).
  • Pour tous points $A,B\in ℰ$, notons $\overrightarrow{AB}$ l'unique vecteur $v\in E$ tel que $A+v=B$. Alors $\mathrm{\forall }(A,B)\in ℰ\times ℰ\mathrm{\forall }v\in E\overrightarrow{AB}=v\iff B=A+v$ donc l'application $ℰ\to E,B\mapsto \overrightarrow{AB}$ est bien bijective (second point de la définition ci-dessus).
  • Soient maintenant $A,B,C\in ℰ$, posons $u=\overrightarrow{AB}$ et $v=\overrightarrow{BC}$, alors par hypothèse, $A+(u+v)=(A+u)+v=B+v=C$ donc $\overrightarrow{AC}=u+v$, ce qui prouve le premier point de la définition ci-dessus.

 

Repères cartésiens et affines

Soit $ℰ$ un espace affine de direction $E$ et de dimension finie $n$.

Définition

• Un repère cartésien de $ℰ$ est la donnée d'un point $O\in ℰ$ et d'une base $(e_1,\dots ,e_n)$ de $E$. Les coordonnées (cartésiennes) d'un point $M\in ℰ$ dans un tel repère sont les $n$ scalaires $x_1,\dots ,x_n$ tels que $\overrightarrow{OM}=\sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i$.
• On dit que $k+1$ points $A_0,\dots ,A_k\in ℰ$ sont affinement indépendants si les $k$ vecteurs $\overrightarrow{A_0{A}_1},\dots ,\overrightarrow{A_0{A}_k}$ sont linéairement indépendants.
• Un repère affine de $ℰ$ est la donnée de $n+1$ points affinement indépendants.

$(A_0,\dots ,A_n)$ est donc un repère affine si et seulement si $(A_0,(\overrightarrow{A_0{A}_1},\dots ,\overrightarrow{A_0{A}_n}))$ est un repère cartésien.

Proposition

Si $A_0,\dots ,A_k\in ℰ$ sont affinement indépendants alors $A_{\sigma (0)},\dots ,A_{\sigma (k)}$ le sont aussi, pour n'importe quelle permutation $\sigma \in S(\{0,\dots ,k\})$.

'Démonstration'

Puisque la proposition est immédiate pour les permutations qui fixent $0$, il suffit de la prouver dans le cas où, par exemple, $\sigma$ est la transposition qui échange $0$ et $k$.

Supposons que $\overrightarrow{A_0{A}_1},\dots ,\overrightarrow{A_0{A}_k}$ sont linéairement indépendants et que $\sum _{i=0}^{k-1}{\lambda }_i\overrightarrow{A_k{A}_i}=\overrightarrow{0}$, et montrons que tous les ${\lambda }_i$ sont nuls.

Par hypothèse, $\overrightarrow{0}=-\left(\sum _{i=0}^{k-1}{\lambda }_i\right)\overrightarrow{A_0{A}_k}+\sum _{i=1}^{k-1}{\lambda }_i\overrightarrow{A_0{A}_i}$ donc $\sum _{i=0}^{k-1}{\lambda }_i={\lambda }_1=\dots ={\lambda }_{k-1}=0$, ce qui implique bien ${\lambda }_0={\lambda }_1=\dots ={\lambda }_{k-1}=0$.

 

Sous-espaces affines

Soit $ℰ$ un espace affine de direction $E$.

Définition

Un sous-espace affine de $ℰ$ est une partie de $ℰ$ de la forme

${ℰ}^{\prime }=A+E^{\prime }:=\{A+v\mid v\in E^{\prime }\}$,

où $A$ est un point de $ℰ$ et $E^{\prime }$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

${ℰ}^{\prime }$ constitue alors, par restriction, un espace affine de direction $E^{\prime }$.

Définition

Soient $ℱ$ et $𝒢$ deux sous-espaces affines de $ℰ$, de directions respectives $F$ et $G$. On dit que :

• $ℱ$ et $𝒢$ sont parallèles si $F=G$ ;
• $ℱ$ est faiblement parallèle à $𝒢$ si $F\subset G$.

Proposition

Soit $({ℱ}_i{)}_{i\in I}$ une famille de sous-espaces affines de $ℰ$. Leur intersection est soit vide, soit un sous-espace affine de direction ${\cap }_{i\in I}{F}_i$, où les $F_i$ sont les directions des ${ℱ}_i$.

'Démonstration'

Si cette intersection $ℱ$ est non vide, soit $A\in ℱ$. Alors, $ℱ={\cap }_{i\in I}{ℱ}_i={\cap }_{i\in I}(A+F_i)=A+{\cap }_{i\in I}{F}_i$, et ${\cap }_{i\in I}{F}_i$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

 

Définition

Soit $X$ une partie non vide de $ℰ$. Le sous-espace affine engendré par $X$ est l'intersection des sous-espaces affines de $ℰ$ contenant $X$. On le note $\mathrm{Aff}(X)$.

D'après la proposition précédente, on a donc :

Proposition

Soit $X$ une partie non vide de $ℰ$. $\mathrm{Aff}(X)$ est le plus petit sous-espace affine de $ℰ$ contenant $X$.

Proposition

Soient $A_0\in X\subset ℰ$ et $H=\mathrm{Vect}(\{\overrightarrow{A_{0}B}\mid B\in X\})=\mathrm{Vect}(\{\overrightarrow{AB}\mid A,B\in X\})$.

Alors, $\mathrm{Aff}(X)=A_0+H$.

'Démonstration'

$\mathrm{Aff}(X)\supset A_0+H$ car la direction de $\mathrm{Aff}(X)$ contient nécessairement tous les vecteurs $\overrightarrow{A_{0}B}$ tels que $B\in X$, donc contient le sous-espace vectoriel $H$ qu'ils engendrent.

$\mathrm{Aff}(X)\subset A_0+H$ car pour tout $B\in X$, $B=A_0+\overrightarrow{A_{0}B}\in A_0+H$.

 

Proposition

Soient $ℱ=A+F$ et $𝒢=B+G$ deux sous-espaces affines de $ℰ$. La direction du sous-espace affine $\mathrm{Aff}(ℱ\cup 𝒢)$ est égale à :

$F+G+\mathrm{Vect}(\overrightarrow{AB})=\{\begin{array}{cc}F+G& \text{si }ℱ\cap 𝒢\ne \varnothing ;\\ (F+G)\oplus \mathrm{Vect}(\overrightarrow{AB})& \text{si }ℱ\cap 𝒢=\varnothing .\end{array}$

'Démonstration'

D'après la proposition précédente, cette direction est égale à

$H:=\mathrm{Vect}(\{\overrightarrow{AM}\mid M\in ℱ\cup 𝒢\})=\mathrm{Vect}(F\cup (\{\overrightarrow{AB}\}+G))=F+G+\mathrm{Vect}(\overrightarrow{AB})$.

De plus, $\overrightarrow{AB}\in F+G$ si et seulement s'il existe un point $C$ tel que $\overrightarrow{AC}\in F$ et $\overrightarrow{CB}\in G$, c'est-à-dire $C\in ℱ\cap 𝒢$, donc

$H=\{\begin{array}{cc}F+G& \text{si }ℱ\cap 𝒢\ne \varnothing ;\\ (F+G)\oplus \mathrm{Vect}(\overrightarrow{AB})& \text{si }ℱ\cap 𝒢=\varnothing .\end{array}$

 

Définition

Soient $ℱ$ et $𝒢$ deux sous-espaces affines de $ℰ$, de directions respectives $F$ et $G$. On dit que $ℱ$ et $𝒢$ sont supplémentaires dans $ℰ$ si $E=F\oplus G$.

Proposition

$ℱ$ et $𝒢$ sont supplémentaires dans $ℰ$ si et seulement si $\mathrm{Aff}(ℱ\cup 𝒢)=ℰ$ et $ℱ\cap 𝒢$ contient un unique point.

'Démonstration'

Si $ℱ\cap 𝒢=\{C\}$ et $\mathrm{Aff}(ℱ\cup 𝒢)=ℰ$ alors $E=F+G$ (d'après la proposition précédente) et $F\cap G=\{0\}$ (car $\mathrm{\forall }u\in F\cap GC+u\in ℱ\cap 𝒢=\{C\}$ donc $u=\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}$).

Réciproquement, si $E=F\oplus G$ alors $ℱ\cap 𝒢\ne \varnothing$ et $\mathrm{Aff}(ℱ\cup 𝒢)=ℰ$ (d'après la proposition précédente) et $ℱ\cap 𝒢$ contient un unique point (car $\mathrm{\forall }C,D\in ℱ\cap 𝒢\overrightarrow{CD}\in F\cap G=\{\overrightarrow{0}\}$).