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Géométrie affine/Exercices/Sous-espaces affines

Leçons de niveau 15
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Sous-espaces affines
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Géométrie affine
Chapitre du cours : Espaces affines

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Applications affines
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Géométrie affine/Exercices/Sous-espaces affines
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



On note et . Montrer que est un sous-espace affine de .

Soient un ensemble non vide, un élément de , et un scalaire. Montrer que l'ensemble est un sous-espace affine de l'espace affine des fonctions de dans .

Montrer que l'ensemble est un sous-espace affine de . En déterminer un point et la direction.

Soit un espace affine réel de dimension , muni d’un repère cartésien . Soient :

  • les points  ;
  • les droites  ;
  • les plans .
  1. Donner une équation cartésienne de .
  2. Déterminer une représentation paramétrique de .
  3. Donner une équation cartésienne du plan contenant , et .
  4. Déterminer l'intersection .
  5. Donner une équation cartésienne du plan contenant et parallèle à .
  6. Déterminer .
  7. Déterminer l'intersection de avec la droite .
  8. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par , parallèle à et coupant .
  9. Donner une équation cartésienne du plan passant par et contenant .
  1. Montrer que dans , deux droites affines soit sont parallèles, soit se coupent en un unique point.
  2. Que se passe-t-il dans  ?
descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Parallélogramme ».

Un parallélogramme est un quadrilatère tel que . Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes.

  1. est un parallélogramme ;
  2. est un parallélogramme ;
  3. les diagonales et se coupent en leurs milieux.

Soient un espace affine, un sous-espace affine de , et un hyperplan affine.

Montrer que l'une des deux assertions suivantes est vérifiée :

  •  ;
  • est un sous-espace affine de dimension .

Soit un espace affine de dimension , d'espace vectoriel directeur .

  1. Soit une application affine non constante de dans . Montrer que est surjective. Montrer que est un hyperplan affine de . Réciproquement, montrer que tout hyperplan affine de est de cette forme.
    1. Dans , montrer que pour , tout sous-espace vectoriel de dimension est intersection de hyperplans vectoriels.
    2. En déduire que tout sous-espace affine de de dimension est de la forme pour une famille d'applications affines , c'est-à-dire est intersection de hyperplans affines.
    3. Montrer que dans ce cas, l'application affine produit est surjective.
  2. Réciproquement, montrer que si sont des fonctions affines telles que l'application affine produit est surjective, alors l'intersection est un sous-espace affine de dimension (on pourra procéder par récurrence sur , et utiliser l'exercice précédent).

Soient un espace affine de dimension et hyperplans affines tels que l'intersection des espaces vectoriels directeurs soit réduite au vecteur nul. Notons des fonctions affines telles que .

  1. Montrer que l'application linéaire produit est injective. En déduire que la famille engendre l'espace des formes linéaires sur (les relations de colinéarité de cette famille s'identifient à l'orthogonal de dans muni du produit scalaire canonique).
    • Justifier qu'on peut supposer que la sous-famille est une base.
    • Montrer que l'intersection est réduite à un point (on pourra utiliser l'exercice précédent).
  2. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
    1.  ;
    2. la famille de fonctions affines est liée ;
    3. pour tout repère affine , la matrice n'est pas inversible.

Soit un espace affine de dimension . Soit des droites toutes parallèles ( un vecteur directeur). Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes (on parlera de droites parallèles en configuration générique) :

  1. pour , tout -uplet de ces droites engendre un sous-espace de de dimension  ;
  2. le sous-espace affine engendré par est tout entier.
  3. pour tout choix de , pour toute donnée de points (), en posant , est un repère affine de .

Soient un espace affine dirigé par un espace vectoriel réel , une partie de , et un s.e.v. de .

a) Démontrer que (i),(ii),(iii),(iv) sont équivalents et impliquent (v) :

i) et  ;
ii) est un sous-espace affine de de direction (c'est-à-dire — rappel — ) ;
iii)  ;
iv) et  ;
v) .

b) Déduire de (a) une méthode pour prouver qu'une partie donnée de est ou n'est pas un sous-espace affine. Appliquer cette méthode pour prouver que tout singleton de est un sous-espace affine.

c) Montrer par un contre-exemple que (v) ne suffit pas pour que soit un sous-espace affine.