En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Sous-espaces affines Géométrie affine/Exercices/Sous-espaces affines », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient un ensemble non vide, un élément de , et un scalaire. Montrer que l'ensemble est un sous-espace affine de l'espace affine des fonctions de dans .
Solution
Notons la direction de l'espace affine .
Soit (par exemple l'application constante ) et soit (sous-espace vectoriel de , comme noyau de la forme linéaire ). Alors, .
Montrer que l'ensemble est un sous-espace affine de . En déterminer un point et la direction.
Solution
L'application appartient à , et l'ensemble est l'ensemble des fonctions -périodiques. C'est un sous-espace vectoriel de (comme noyau de l'application linéaire de dans lui-même qui, à toute fonction , associe la fonction différence entre et sa translatée de ) donc est un sous-espace affine de , de direction .
Soit un espace affine réel de dimension , muni d’un repère cartésien . Soient :
les points ;
les droites ;
les plans .
Donner une équation cartésienne de .
Déterminer une représentation paramétrique de .
Donner une équation cartésienne du plan contenant , et .
Déterminer l'intersection .
Donner une équation cartésienne du plan contenant et parallèle à .
Déterminer .
Déterminer l'intersection de avec la droite .
Donner une représentation paramétrique de la droite passant par , parallèle à et coupant .
Donner une équation cartésienne du plan passant par et contenant .
Solution
donc une équation cartésienne de est .
donc une représentation paramétrique de la droite est : .
donc une équation cartésienne du plan est : .
donc le point de l'intersection a pour coordonnées .
donc une équation cartésienne du plan contenant et parallèle à est .
Utilisons les questions 1 et 2. donc le point de est .
Une représentation paramétrique de la droite est : . donc le point d'intersection de avec est .
Cherchons d'abord le point de tel que soit parallèle à . . Une représentation paramétrique de la droite est .
Un plan d'équation contient si et seulement si , et contient si et seulement si . . Le plan passant par et contenant a donc pour équation cartésienne : .
Soit un espace affine de dimension , d'espace vectoriel directeur .
Soit une application affine non constante de dans . Montrer que est surjective. Montrer que est un hyperplan affine de . Réciproquement, montrer que tout hyperplan affine de est de cette forme.
Dans , montrer que pour , tout sous-espace vectoriel de dimension est intersection de hyperplans vectoriels.
En déduire que tout sous-espace affine de de dimension est de la forme pour une famille d'applications affines , c'est-à-dire est intersection de hyperplans affines.
Montrer que dans ce cas, l'application affine produit est surjective.
Réciproquement, montrer que si sont des fonctions affines telles que l'application affine produit est surjective, alors l'intersection est un sous-espace affine de dimension (on pourra procéder par récurrence sur , et utiliser l'exercice précédent).
Solution
Soient et deux points tels que . Alors, pour tout , on trouve , ce qui est une paramétrisation de . Donc est surjective.
Soit le noyau de l'application linéaire associée à . C'est un hyperplan de . L'ensemble est un sous-espace affine dirigé par .
Tout hyperplan affine admet un hyperplan directeur . On choisit une forme linéaire qui admette pour noyau. Soit alors un point de , tout point de s'écrit de manière unique , et l'on définit l'application affine : dont on vérifie facilement qu'elle répond au problème.
Dans un espace vectoriel de dimension , tout sous-espace vectoriel de dimension est intersection des noyaux de formes linéaires. Elles peuvent être obtenues par exemple de la façon suivante : on fixe un supplémentaire de dans , on choisit une base de adaptée à cette décomposition ; on considère la base duale associée, et la famille de formes linéaires convient.
Soit un sous-espace affine de de dimension . Sa direction est d'après ce qui précède, avec . On conclut comme précédemment en prenant .
L'application produit des est bien une application affine. Son image est un sous-espace affine de . Le noyau de l'application linéaire associée est . Par dimension, on obtient la surjectivité de l'application linéaire associée, donc de l'application affine.
Pour la réciproque, on procède par exemple par récurrence : le cas est traité ; supposons que l'assertion est vraie pour un certain . Soient fonctions affines telles que l'application produit soit surjective (sur ). Alors l'application produit sur les premières est aussi surjective (sur ). On note le sous-espace affine ; il est de dimension par hypothèse de récurrence. Sa direction n'est pas incluse dans (car sinon le noyau de contiendrait , serait donc de dimension au moins , et le rang de l'application serait au plus ). On conclut avec l'exercice précédent.
Soient un espace affine de dimension et hyperplans affines tels que l'intersection des espaces vectoriels directeurs soit réduite au vecteur nul. Notons des fonctions affines telles que .
Montrer que l'application linéaire produit est injective. En déduire que la famille engendre l'espace des formes linéaires sur (les relations de colinéarité de cette famille s'identifient à l'orthogonal de dans muni du produit scalaire canonique).
Justifier qu'on peut supposer que la sous-famille est une base.
Montrer que l'intersection est réduite à un point (on pourra utiliser l'exercice précédent).
Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
;
la famille de fonctions affines est liée ;
pour tout repère affine , la matrice n'est pas inversible.
Solution
L'application linéaire produit est injective de dans , donc de rang . Toute relation de colinéarité s'identifie au vecteur des coefficients , et induit pour tout la relation d'orthogonalité : . L'espace de ces relations de colinéarité est donc de dimension 1, en tant qu'orthogonal d'un sous-espace de dimension dans un espace de dimension . On en déduit que l'espace engendré par les a pour dimension , et donc la conclusion.
De toute famille génératrice on peut extraire une sous-famille génératrice minimale ; cela justifie l'hypothèse.
Le second point est un cas particulier de la dernière question de l'exercice précédent.
: on suppose donc , et l'on se donne une expression . Alors pour tout point , , ce qui montre que la famille est liée.
: il n'y a pas de dépendance linéaire non triviale dans ; il n'y en a donc a fortiori pas dans . On peut donc supposer qu'on a une relation de la forme . Le point est alors clairement dans .
est clair : une relation de dépendance linéaire entre les fournit une relation de dépendance linéaire entre les colonnes de la matrice et réciproquement (car on a un repère).
Soit un espace affine de dimension . Soit des droites toutes parallèles ( un vecteur directeur). Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes (on parlera de droites parallèles en configuration générique) :
pour , tout -uplet de ces droites engendre un sous-espace de de dimension ;
le sous-espace affine engendré par est tout entier.
pour tout choix de , pour toute donnée de points (), en posant , est un repère affine de .
Solution
est évident.
. Le sous-espace affine engendré par ces droites est aussi le sous-espace affine engendré par les points ainsi donnés : une inclusion est évidente, l'autre provient facilement du paramétrage . Le -uplet de points engendre ; c'est donc un repère affine.
. La donnée d'un -uplet de droites revient à extraire une famille de points d'un repère affine ; ces points engendrent donc un espace affine de dimension .
Soient un espace affine dirigé par un espace vectoriel réel , une partie de , et un s.e.v. de .
a) Démontrer que (i),(ii),(iii),(iv) sont équivalents et impliquent (v) :
i) et ;
ii) est un sous-espace affine de de direction (c'est-à-dire — rappel — ) ;
iii) ;
iv) et ;
v) .
b) Déduire de (a) une méthode pour prouver qu'une partie donnée de est ou n'est pas un sous-espace affine. Appliquer cette méthode pour prouver que tout singleton de est un sous-espace affine.
c) Montrer par un contre-exemple que (v) ne suffit pas pour que soit un sous-espace affine.
Solution
a)
: immédiat.
: si alors .
: supposons que . Alors cet ensemble est non vide (contenant au moins le vecteur nul) donc est non vide. Soit (quelconque donc non nécessairement égal à ), alors donc (car est un s.e.v.).
: pour tout , si alors .
: d'après la boucle d'implications ci-dessus, (i),(ii),(iii),(iv) sont équivalents.
: si et alors .
b)
donc pour prouver que est un s.e.a. de , il suffit de choisir un point de et de montrer que est un s.e.v. de .
donc pour prouver que n'est pas un s.e.a. de , il suffit (si ) de choisir un point de et de montrer que n'est pas un s.e.v. de .
Soit , posons et prouvons que est un s.e.a. de : et est un s.e.v. de .
c) Il suffit de prendre pour une demi-droite affine et pour la droite vectorielle associée, par exemple dans vérifie (v) puisque est un s.e.v. de , et pourtant ne vérifie pas (iv) puisque pour on a et l'ensemble n'est pas un s.e.v. de .