Géométrie affine/Exercices/Sous-espaces affines

Exercice 1-1

On note $M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc}1+2a-b& 0\\ 2-a-b& a-b\end{array}\right)$ et $ℱ=\{M_{a,b}\mid (a,b)\in k^2\}$. Montrer que $ℱ$ est un sous-espace affine de ${\mathrm{M}}_2(k)$.

Solution

$M_{a,b}=M_{0,0}+aP+bQ$ avec $P=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 1\end{array}\right)$ et $Q=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ -1& -1\end{array}\right)$, donc $ℱ=M_{0,0}+\mathrm{Vect}(P,Q)$.

 

Exercice 1-2

Soient $A$ un ensemble non vide, $a$ un élément de $A$, et $b$ un scalaire. Montrer que l'ensemble $ℱ:=\{f:A\to k\mid f(a)=b\}$ est un sous-espace affine de l'espace affine $ℰ=k^A$ des fonctions de $A$ dans $k$.

Solution

Notons $E=k^A$ la direction de l'espace affine $ℰ$. Soit $f_0\in ℱ$ (par exemple $f_0=$ l'application constante $A\to k,x\mapsto b$) et soit $F:=\{g\in E\mid g(a)=0\}$ (sous-espace vectoriel de $E$, comme noyau de la forme linéaire $E\to k,g\mapsto g(a)$). Alors, $ℱ=f_0+F$.

 

Montrer que l'ensemble $𝒢:=\{f:ℝ\to ℝ\mid \mathrm{\forall }x\in ℝf(x+1)=f(x)+1\}$ est un sous-espace affine de ${ℝ}^{ℝ}$. En déterminer un point et la direction.

Solution

L'application ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{ℝ}:ℝ\to ℝ,x\mapsto x$ appartient à $𝒢$, et l'ensemble $G:=\{f-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{ℝ}\mid f\in 𝒢\}$ est l'ensemble des fonctions $1$-périodiques. C'est un sous-espace vectoriel de ${ℝ}^{ℝ}$ (comme noyau de l'application linéaire de ${ℝ}^{ℝ}$ dans lui-même qui, à toute fonction $g$, associe la fonction différence entre $g$ et sa translatée de $1$) donc $𝒢$ est un sous-espace affine de ${ℝ}^{ℝ}$, de direction $G$.

 

Exercice 1-3

Soit $ℰ$ un espace affine réel de dimension $3$, muni d’un repère cartésien $(O,u,v,w)$. Soient :

• les points $A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),B\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right),C\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ ;
• les droites $d_1\{\begin{array}{cc}x& =3-\lambda \\ y& =1+2\lambda \\ z& =-1+\lambda \end{array},\lambda \in ℝ,d_2\{\begin{array}{cc}x& =1+3\mu \\ y& =-2\mu \\ z& =3+5\mu \end{array},\mu \in ℝ$ ;
• les plans $(P_1)\{\begin{array}{cc}x& =1-2\lambda +3\mu \\ y& =-2+\lambda +\mu \\ z& =4-\lambda -2\mu \end{array},\lambda ,\mu \in ℝ,(P_2)2x-y+3z-1=0,(P_3)x+2z-4=0$.

1. Donner une équation cartésienne de $(P_1)$.
2. Déterminer une représentation paramétrique de $(P_2)\cap (P_3)$.
3. Donner une équation cartésienne du plan contenant $A$, $B$ et $C$.
4. Déterminer l'intersection $d_1\cap P_2$.
5. Donner une équation cartésienne du plan contenant $d_1$ et parallèle à $d_2$.
6. Déterminer $P_1\cap P_2\cap P_3$.
7. Déterminer l'intersection de $P_2$ avec la droite $(AB)$.
8. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par $A$, parallèle à $P_2$ et coupant $d_1$.
9. Donner une équation cartésienne du plan passant par $C$ et contenant $d_1$.

Solution

1. $\{\begin{array}{cc}x& =1-2\lambda +3\mu \\ y& =-2+\lambda +\mu \\ z& =4-\lambda -2\mu \end{array}\iff \{\begin{array}{cc}x& =1-2\lambda +3\mu \\ y& =-2+4-z-2\mu +\mu \\ \lambda & =4-z-2\mu \end{array}\iff \{\begin{array}{cc}x& =1-2\lambda +3\mu \\ \mu & =2-y-z\\ \lambda & =4-z-2(2-y-z)\end{array}\iff \{\begin{array}{cc}x& =1-2(2y+z)+3(2-y-z)\\ \mu & =2-y-z\\ \lambda & =2y+z\end{array}$
   donc une équation cartésienne de $(P_1)$ est $x+7y+5z-7=0$.
2. $\{\begin{array}{cc}2x-y+3z-1& =0\\ x+2z-4& =0\end{array}\iff \{\begin{array}{cc}y& =7-z\\ x& =4-2z\end{array}$ donc une représentation paramétrique de la droite $(P_2)\cap (P_3)$ est : $\{\begin{array}{cc}x& =4-2t\\ y& =7-t\\ z& =t\end{array},t\in ℝ$.
3. $det(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CM})=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& x\\ 1& -2& y-1\\ 5& 4& z+2\end{array}\right|=14x+6(y-1)-4(z+2)=2(7x+3y-2z-7)$ donc une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $7x+3y-2z-7=0$.
4. $2(3-\lambda )-(1+2\lambda )+3(-1+\lambda )-1=0\iff \lambda =1\iff$ donc le point de l'intersection $d_1\cap P_2$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right)$.
5. $\{\begin{array}{cc}x& =3-\lambda +3\mu \\ y& =1+2\lambda -2\mu \\ z& =-1+\lambda +5\mu \end{array}\iff \{\begin{array}{cc}x& =3-\lambda +3\mu \\ y& =1+2(z+1-5\mu )-2\mu \\ \lambda & =z+1-5\mu \end{array}\iff \{\begin{array}{cc}x& =3-\lambda +3\mu \\ y& =3+2z-12\mu \\ \lambda & =z+1-5\mu \end{array}\iff \{\begin{array}{cc}x& =3-\lambda +3\mu \\ \mu & =\frac{3+2z-y}{12}\\ \lambda & =z+1-5\frac{3+2z-y}{12}\end{array}\iff \{\begin{array}{cc}x& =3-\frac{-3+2z+5y}{12}+\frac{3+2z-y}{4}\\ \mu & =\frac{3+2z-y}{12}\\ \lambda & =\frac{-3+2z+5y}{12}\end{array}$
   donc une équation cartésienne du plan contenant $d_1$ et parallèle à $d_2$ est $3x+2y-z-12=0$.
6. Utilisons les questions 1 et 2. $(4-2t)+7(7-t)+5t-7=0\iff t=\frac{23}{2}$ donc le point de $P_1\cap P_2\cap P_3$ est $\left(\begin{array}{c}-19\\ -\frac{9}{2}\\ \frac{23}{2}\end{array}\right)$.
7. Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est : $\{\begin{array}{cc}x& =1+t\\ y& =2-3t\\ z& =3-t\end{array}$.
   $2(1+t)-(2-3t)+3(3-t)-1=0\iff t=-4$ donc le point d'intersection de $P_2$ avec $(AB)$ est $\left(\begin{array}{c}-3\\ 14\\ 7\end{array}\right)$.
8. Cherchons d'abord le point $M(\lambda )$ de $d_1$ tel que $\overrightarrow{AM(\lambda )}$ soit parallèle à $P_2$.
   $2(3-\lambda -1)-(1+2\lambda -2)+3(-1+\lambda -3)=0\iff \lambda =-7\iff M(\lambda )=\left(\begin{array}{c}10\\ -13\\ -8\end{array}\right)$.
   Une représentation paramétrique de la droite $(AM(\lambda ))$ est $\{\begin{array}{cc}x& =1+9t\\ y& =2-15t\\ z& =3-11t\end{array},t\in ℝ$.
9. Un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ contient $C$ si et seulement si $b-2c+d=0$, et contient $d_1$ si et seulement si $\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ0=a(3-\lambda )+b(1+2\lambda )+c(-1+\lambda )+d=(3a+b-c+d)+\lambda (-a+2b+c)$.
   $\{\begin{array}{cc}b-2c+d& =0\\ 3a+b-c+d& =0\\ -a+2b+c& =0\end{array}\iff \{\begin{array}{cc}d& =-b+2c\\ 3(2b+c)+b-c+(-b+2c)& =0\\ a& =2b+c\end{array}\iff \{\begin{array}{cc}d& =-4b\\ c& =-\frac{3b}{2}\\ a& =\frac{b}{2}\end{array}$.
   Le plan passant par $C$ et contenant $d_1$ a donc pour équation cartésienne : $x+2y-3z-8=0$.

 

Exercice 1-4

1. Montrer que dans $k^2$, deux droites affines soit sont parallèles, soit se coupent en un unique point.
2. Que se passe-t-il dans $k^3$ ?

Solution

1. Dans $k^2$, deux droites affines non parallèles sont supplémentaires donc (cf. cours) se coupent en un unique point.
2. Dans $k^3$, une troisième possibilité est que les deux droites soient non coplanaires. Exemple : $𝒟=\{(x,0,0)\mid x\in k\}$ et ${𝒟}^{\prime }=\{(0,y,1)\mid y\in k\}$.

 

Exercice 1-5

Un parallélogramme est un quadrilatère $(A,B,C,D)$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes.

1. $(A,B,C,D)$ est un parallélogramme ;
2. $(A,D,C,B)$ est un parallélogramme ;
3. les diagonales $[A,C]$ et $[B,D]$ se coupent en leurs milieux.

Solution

$1\Rightarrow 2$ : si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ alors $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}$.

$2\Rightarrow 3$ : si $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ alors, en notant $I$ le milieu de $[A,C]$ : $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{ID}$ donc $I$ est aussi le milieu de $[B,D]$.

$3\Rightarrow 1$ : si $[A,C]$ et $[B,D]$ ont même milieu $I$ alors $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}$.

Autre méthode :

$1\iff 2$ : $1\Rightarrow 2$ comme ci-dessus donc réciproquement, si $(A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime })=(A,D,C,B)$ est un parallélogramme alors $(A^{\prime },D^{\prime },C^{\prime },B^{\prime })=(A,B,C,D)$ aussi.

$1\iff 3$ : soit $s$ la symétrie par rapport au milieu de $[A,C]$. Alors, $\overrightarrow{s(B)C}=\overrightarrow{s(B)s(A)}=-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff D=s(B)$.

 

Exercice 1-6

Soient $ℰ$ un espace affine, $ℱ$ un sous-espace affine de $ℰ$, et $\mathscr{H}$ un hyperplan affine.

Montrer que l'une des deux assertions suivantes est vérifiée :

• $\overrightarrow{F}\subset \overrightarrow{H}$ ;
• $ℱ\mathcal{\cap }\mathscr{H}$ est un sous-espace affine de dimension $\dim (ℱ)-1$.

Solution

Si $\overrightarrow{F}\subset ̸\overrightarrow{H}$, alors $\overrightarrow{F}+\overrightarrow{H}=\overrightarrow{E}$. Soient alors $A\in ℱ$ et $B\in \mathscr{H}$. Il y a une identité vectorielle $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{f}+\overrightarrow{h}$ et donc $A+\overrightarrow{f}\in ℱ\cap \mathscr{H}$. L'espace $ℱ\cap \mathscr{H}$ est alors $A+\overrightarrow{F}\cap \overrightarrow{H}$ et sa dimension est :

$\dim (\overrightarrow{F}\cap \overrightarrow{H})=\dim \overrightarrow{F}+\dim \overrightarrow{H}-\dim \overrightarrow{E}=\dim (ℱ)-1.$

 

Exercice 1-7

Soit $ℰ$ un espace affine de dimension $n$, d'espace vectoriel directeur $\overrightarrow{E}$.

1. Soit $\varphi$ une application affine non constante de $ℰ$ dans $ℝ$. Montrer que $\varphi$ est surjective. Montrer que ${\varphi }^{-1}(\{0\})$ est un hyperplan affine de $ℰ$. Réciproquement, montrer que tout hyperplan affine de $ℰ$ est de cette forme.
2. 1. Dans $\overrightarrow{E}$, montrer que pour $1\le d\le n$, tout sous-espace vectoriel de dimension $n-d$ est intersection de $d$ hyperplans vectoriels.
   2. En déduire que tout sous-espace affine de $ℰ$ de dimension $n-d$ est de la forme ${\cap }_{i=1}^d{\varphi }_i^{-1}(\{0\})$ pour $({\varphi }_i{)}_{i=1,\dots ,d}$ une famille d'applications affines $ℰ\to ℝ$, c'est-à-dire est intersection de $d$ hyperplans affines.
   3. Montrer que dans ce cas, l'application affine produit ${\times }_i{\varphi }_i:ℰ\to {ℝ}^d$ est surjective.
3. Réciproquement, montrer que si ${\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_d$ sont des fonctions affines telles que l'application affine produit est surjective, alors l'intersection $\bigcap _{i=1,\dots ,d}{\varphi }_i^{-1}(\{0\})$ est un sous-espace affine de dimension $n-d$ (on pourra procéder par récurrence sur $d$, et utiliser l'exercice précédent).

Solution

Soient $A$ et $B$ deux points tels que $\varphi (A)\ne \varphi (B)$. Alors, pour tout $\lambda \in ℝ$, on trouve $\varphi (\lambda A+(1-\lambda )B)=\lambda \varphi (A)+(1-\lambda )\varphi (B)$, ce qui est une paramétrisation de $ℝ$. Donc $\varphi$ est surjective.

Soit $\overrightarrow{H}$ le noyau de l'application linéaire associée à $\varphi$. C'est un hyperplan de $\overrightarrow{E}$. L'ensemble ${\varphi }^{-1}(\{0\})$ est un sous-espace affine dirigé par $\overrightarrow{H}$.

Tout hyperplan affine $\mathscr{H}$ admet un hyperplan directeur $\overrightarrow{H}$. On choisit une forme linéaire $\overrightarrow{\varphi }$ qui admette $\overrightarrow{H}$ pour noyau. Soit alors $O$ un point de $\mathscr{H}$, tout point $A$ de $ℰ$ s'écrit de manière unique $A=O+\overrightarrow{OA}$, et l'on définit l'application affine : $\varphi (A)=\overrightarrow{\varphi }(\overrightarrow{OA}),$ dont on vérifie facilement qu'elle répond au problème.

Dans un espace vectoriel $\overrightarrow{E}$ de dimension $n$, tout sous-espace vectoriel $\overrightarrow{F}$ de dimension $n-d$ est intersection des noyaux de $d$ formes linéaires. Elles peuvent être obtenues par exemple de la façon suivante : on fixe un supplémentaire $\overrightarrow{G}$ de $\overrightarrow{F}$ dans $\overrightarrow{E}$, on choisit une base $(e_1,\dots e_{n-d},e_{n-d+1},\dots e_n)$ de $\overrightarrow{E}$ adaptée à cette décomposition ; on considère la base duale associée, et la famille de formes linéaires $(e_{n-d+1}^{\ast },\dots e_n^{\ast })$ convient.

Soit $ℱ$ un sous-espace affine de $ℰ$ de dimension $n-d$. Sa direction $\overrightarrow{F}$ est $\cap \overrightarrow{H_i}$ d'après ce qui précède, avec $\overrightarrow{H_i}={\overrightarrow{{\varphi }_i}}^{-1}(\{0\})$. On conclut comme précédemment en prenant $O\in ℱ$.

L'application produit des ${\varphi }_i$ est bien une application affine. Son image est un sous-espace affine de ${ℝ}^d$. Le noyau de l'application linéaire associée est $\overrightarrow{F}$. Par dimension, on obtient la surjectivité de l'application linéaire associée, donc de l'application affine.

Pour la réciproque, on procède par exemple par récurrence : le cas $d=1$ est traité ; supposons que l'assertion est vraie pour un certain $d$. Soient $d+1$ fonctions affines telles que l'application produit soit surjective (sur ${ℝ}^{d+1}$). Alors l'application produit sur les $d$ premières est aussi surjective (sur ${ℝ}^d$). On note $ℱ$ le sous-espace affine $\bigcap _{i=1,\dots ,d}{\varphi }_i^{-1}(\{0\})$ ; il est de dimension $n-d$ par hypothèse de récurrence. Sa direction $\overrightarrow{F}$ n'est pas incluse dans ${\overrightarrow{H}}_{d+1}$ (car sinon le noyau de ${\times }_{i=1,\dots ,d+1}{\overrightarrow{\varphi }}_i$ contiendrait $\overrightarrow{F}$, serait donc de dimension au moins $n-d$, et le rang de l'application serait au plus $d$). On conclut avec l'exercice précédent.

 

Exercice 1-8

Soient $ℰ$ un espace affine de dimension $n$ et ${\mathscr{H}}_0,\dots ,{\mathscr{H}}_n$ $n+1$ hyperplans affines tels que l'intersection ${\cap }_{i=0}^n{\overrightarrow{H}}_i$ des espaces vectoriels directeurs soit réduite au vecteur nul. Notons ${\varphi }_i$ des fonctions affines telles que ${\varphi }_i^{-1}(\{0\})={\mathscr{H}}_i$.

1. Montrer que l'application linéaire produit ${\times }_{i=0}^n{\overrightarrow{\varphi }}_i:\overrightarrow{E}\to {ℝ}^{n+1}$ est injective. En déduire que la famille $(\overrightarrow{{\varphi }_i}{)}_{i=0,\dots ,n}$ engendre l'espace des formes linéaires sur $\overrightarrow{E}$ (les relations de colinéarité de cette famille s'identifient à l'orthogonal de $\mathrm{im}\left({\times }_{i=0}^n{\overrightarrow{\varphi }}_i\right)$ dans ${ℝ}^{n+1}$ muni du produit scalaire canonique).
2. • Justifier qu'on peut supposer que la sous-famille $(\overrightarrow{{\varphi }_i}{)}_{i=1,\dots ,n}$ est une base.
   • Montrer que l'intersection ${\cap }_{i=1}^n{\mathscr{H}}_i$ est réduite à un point $O$ (on pourra utiliser l'exercice précédent).
3. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
   1. ${\cap }_{i=0}^n{\mathscr{H}}_i\ne \varnothing$ ;
   2. la famille de fonctions affines $({\varphi }_i{)}_{i=0,\dots ,n}$ est liée ;
   3. pour tout repère affine $(A_0,\dots ,A_n)$, la matrice $\left(\begin{array}{ccc}{\varphi }_0(A_0)& \dots & {\varphi }_n(A_0)\\ ⋮& & ⋮\\ {\varphi }_0(A_n)& \dots & {\varphi }_n(A_n)\end{array}\right)$ n'est pas inversible.

Solution

1. L'application linéaire produit ${\times }_{i=0}^n{\overrightarrow{\varphi }}_i$ est injective de $\overrightarrow{E}$ dans ${ℝ}^{n+1}$, donc de rang $n$. Toute relation de colinéarité $\sum _i{\alpha }_i{\overrightarrow{\varphi }}_i$ s'identifie au vecteur des coefficients ${\alpha }_i$, et induit pour tout $x$ la relation d'orthogonalité : $⟨({\alpha }_i{)}_i,({\overrightarrow{\varphi }}_i(x){)}_i⟩$. L'espace de ces relations de colinéarité est donc de dimension 1, en tant qu'orthogonal d'un sous-espace de dimension $n$ dans un espace de dimension $n+1$. On en déduit que l'espace engendré par les ${\varphi }_i$ a pour dimension $n+1-1=n$, et donc la conclusion.
2. • De toute famille génératrice on peut extraire une sous-famille génératrice minimale ; cela justifie l'hypothèse.
   • Le second point est un cas particulier de la dernière question de l'exercice précédent.
3. • $(1)\Rightarrow (2)$ : on suppose donc $O\in {\mathscr{H}}_0$, et l'on se donne une expression ${\overrightarrow{\varphi }}_0=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\overrightarrow{{\varphi }_i}$. Alors pour tout point $M$, ${\varphi }_0(M)={\varphi }_0(O)+{\overrightarrow{\varphi }}_0(\overrightarrow{OM})=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\overrightarrow{\varphi }}_i(\overrightarrow{OM})=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\varphi }_i(M)$, ce qui montre que la famille $({\varphi }_i{)}_i$ est liée.
   • $(2)\Rightarrow (1)$ : il n'y a pas de dépendance linéaire non triviale dans $({\overrightarrow{\varphi }}_i{)}_{i=1,\dots ,n}$ ; il n'y en a donc a fortiori pas dans $({\varphi }_i{)}_{i=1,\dots ,n}$. On peut donc supposer qu'on a une relation de la forme ${\varphi }_0-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\varphi }_i=0$. Le point $O$ est alors clairement dans ${\mathscr{H}}_0$.
   • $(2)\iff (3)$ est clair : une relation de dépendance linéaire entre les ${\varphi }_i$ fournit une relation de dépendance linéaire entre les colonnes de la matrice et réciproquement (car on a un repère).

 

Exercice 1-9

Soit $ℰ$ un espace affine de dimension $n$. Soit ${𝒟}_0,\dots ,{𝒟}_{n-1}$ des droites toutes parallèles ($\overrightarrow{u}$ un vecteur directeur). Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes (on parlera de droites parallèles en configuration générique) :

1. pour $1\le d\le n$, tout $d$-uplet de ces droites engendre un sous-espace de $ℰ$ de dimension $d$ ;
2. le sous-espace affine engendré par ${𝒟}_0,\dots ,{𝒟}_{n-1}$ est $ℰ$ tout entier.
3. pour tout choix de $0\le k\le n-1$, pour toute donnée de points $A_i\in {𝒟}_i$ ($0\le i\le n-1$), en posant $A_n=A_k+\overrightarrow{u}$, $(A_0,\dots ,A_n)$ est un repère affine de $ℰ$.

Solution

$(1)\Rightarrow (2)$ est évident.

$(2)\Rightarrow (3)$. Le sous-espace affine engendré par ces droites est aussi le sous-espace affine engendré par les points ainsi donnés : une inclusion est évidente, l'autre provient facilement du paramétrage ${𝒟}_i=A_i+ℝ\overrightarrow{u}$. Le $(n+1)$-uplet de points $(A_0,\dots ,A_n)$ engendre $ℰ$ ; c'est donc un repère affine.

$(3)\Rightarrow (1)$. La donnée d'un $d$-uplet de droites revient à extraire une famille de $d+1$ points d'un repère affine ; ces $d+1$ points engendrent donc un espace affine de dimension $d$.

 

Exercice 1-10

Soient $ℰ$ un espace affine dirigé par un espace vectoriel réel $E$, $ℱ$ une partie de $ℰ$, et $F$ un s.e.v. de $E$.

a) Démontrer que (i),(ii),(iii),(iv) sont équivalents et impliquent (v) :

i) $ℱ\ne \varnothing$ et $\mathrm{\forall }P\in ℱP+F=ℱ$ ;

ii) $ℱ$ est un sous-espace affine de $ℰ$ de direction $F$ (c'est-à-dire — rappel — $\mathrm{\exists }P\in ℱP+F=ℱ$) ;

iii) $\mathrm{\exists }P\in ℱF=\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in ℱ\}$ ;

iv) $ℱ\ne \varnothing$ et $\mathrm{\forall }P\in ℱF=\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in ℱ\}$ ;

v) $F=\{\overrightarrow{PQ}\mid P,Q\in ℱ\}$.

b) Déduire de (a) une méthode pour prouver qu'une partie donnée $ℱ$ de $ℰ$ est ou n'est pas un sous-espace affine. Appliquer cette méthode pour prouver que tout singleton de $ℰ$ est un sous-espace affine.

c) Montrer par un contre-exemple que (v) ne suffit pas pour que $ℱ$ soit un sous-espace affine.

Solution

a)

• $i\Rightarrow ii$ : immédiat.
• $ii\Rightarrow iii$ : si $P+F=ℱ$ alors $\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in ℱ\}=\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in P+F\}=\{\overrightarrow{P,P+x}\mid x\in F\}=\{x\mid x\in F\}=F$.
• $iii\Rightarrow iv$ : supposons que $\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in ℱ\}=F$. Alors cet ensemble est non vide (contenant au moins le vecteur nul) donc $ℱ$ est non vide. Soit $R\in ℱ$ (quelconque donc non nécessairement égal à $P$), alors $\overrightarrow{PR}\in F$ donc $\{\overrightarrow{RQ}\mid Q\in ℱ\}=\overrightarrow{RP}+\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in ℱ\}=F-\overrightarrow{PR}=F$ (car $F$ est un s.e.v.).
• $iv\Rightarrow i$ : pour tout $P$, si $\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in ℱ\}=F$ alors $P+F=\{P+\overrightarrow{PQ}\mid Q\in ℱ\}=\{Q\mid Q\in ℱ\}=ℱ$.
• $\iff$ : d'après la boucle d'implications ci-dessus, (i),(ii),(iii),(iv) sont équivalents.
• $iv\Rightarrow v$ : si $ℱ\ne \varnothing$ et $\mathrm{\forall }P\in ℱ,F=\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in ℱ\}$ alors $\{\overrightarrow{PQ}\mid P,Q\in ℱ\}={\cup }_{P\in ℱ}\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in ℱ\}={\cup }_{P\in ℱ}F=F$.

b)

• $iii\Rightarrow ii$ donc pour prouver que $ℱ$ est un s.e.a. de $ℰ$, il suffit de choisir un point $P$ de $ℱ$ et de montrer que $\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in ℱ\}$ est un s.e.v. de $E$.
• $ii\Rightarrow iv$ donc pour prouver que $ℱ$ n'est pas un s.e.a. de $ℰ$, il suffit (si $ℱ\ne \varnothing$) de choisir un point $P$ de $ℱ$ et de montrer que $\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in ℱ\}$ n'est pas un s.e.v. de $E$.
• Soit $A\in ℰ$, posons $ℱ=\{A\}$ et prouvons que $ℱ$ est un s.e.a. de $ℰ$ : $A\in ℱ$ et $\{\overrightarrow{AQ}\mid Q\in ℱ\}=\{\overrightarrow{AA}\}=\{0\}$ est un s.e.v. de $E$.

c) Il suffit de prendre pour $ℱ$ une demi-droite affine et pour $F$ la droite vectorielle associée, par exemple $ℱ={ℝ}_{+}$ dans $ℰ=ℝ$ vérifie (v) puisque $\{\overrightarrow{PQ}\mid P,Q\in ℱ\}=\{q-p\mid p,q\in {ℝ}_{+}\}=ℝ$ est un s.e.v. de $E=ℝ$, et pourtant ne vérifie pas (iv) puisque pour $P=0$ on a $P\in ℱ$ et l'ensemble $\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in ℱ\}=\{q-0\mid p\in {ℝ}_{+}\}={ℝ}_{+}$ n'est pas un s.e.v. de $ℝ$.