Géométrie affine/Exercices/Applications affines

Exercice 2-1

Soient $A=(2,1)$ et $B=(-1,1)$ deux points du plan affine $\mathbb {R} ^{2}$. Déterminer les caractéristiques de la composée des deux homothéties $h=h_{A,1/2}\circ h_{B,3}$.

Solution

${\vec {h}}={\frac {1}{2}}\mathrm {id} \circ 3\mathrm {id} ={\frac {3}{2}}\mathrm {id}$ donc $h$ est une homothétie de rapport ${\frac {3}{2}}$. Son centre $C$ est déterminé par :

${\frac {3}{2}}{\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {Ch(B)}}={\overrightarrow {Ch_{A,1/2}(B)}}={\overrightarrow {CA}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CB}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {BA}}$, soit ${\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {BA}}$.

$C$ est donc le symétrique de $A$ par rapport à $B$. Ou algébriquement : $C=B+{\overrightarrow {AB}}=(-1,1)+(-3,0)=(-4,1)$.

 

Exercice 2-2

Dans le plan affine $\mathbb {R} ^{2}$ muni du repère cartésien $(O,e_{1},e_{2})$, on considère la droite ${\mathcal {D}}$ d'équation $2x+y-2=0$. Donner l'expression analytique de la symétrie par rapport à ${\mathcal {D}}$ de direction $e_{1}+e_{2}$.

Solution

L'image $M'=(x',y')$ d'un point $M=(x,y)$ est caractérisée par :

${\frac {M+M'}{2}}\in {\mathcal {D}}$ et ${\overrightarrow {MM'}}\in \operatorname {Vect} (e_{1}+e_{2})$,

soit

$x+x'+{\frac {y+y'}{2}}-2=0$ et $y'-y=x'-x$.

La solution de ce système d'inconnue $(x',y')$ et de paramètre $(x,y)$ est :

$x'={\frac {4-x-2y}{3}},\quad y'={\frac {4-4x+y}{3}}$.

 

Soit $A={\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}}$ et $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ définie par $f(x,y)=A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}$. Montrer que $f$ est une symétrie, dont on précisera l'axe et la direction.

Solution

${\begin{cases}x'&=x\\y'&=2x-y+4\end{cases}}$.

Points fixes : $y=2x-y+4\Leftrightarrow y=x+2$.

Vecteurs transformés en leurs opposés par ${\vec {f}}$ : ${\begin{cases}x&=-x\\y&=-2x+y\end{cases}}\Leftrightarrow x=0$.

Donc $f$ est une symétrie, son axe est la droite affine d'équation $y=x+2$, et sa direction est la droite vectorielle d'équation $x=0$.

 

Exercice 2-3

Dans l'espace affine $\mathbb {R} ^{3}$, on considère l'application affine définie analytiquement par :

$f(x,y,z)={\frac {(y+z+3,y+z+5,y+z+7)}{2}}$.

1. Montrer que ${\vec {f}}$ est une projection dont on déterminera les caractéristiques. L'application $f$ est-elle une projection ?
2. Soit $\tau$ la translation de vecteur $(3,3,3)$. Montrer que $f=\pi \circ \tau =\tau \circ \pi$, où $\pi$ est une projection affine à déterminer.

Solution

1. ${\vec {f}}(x,y,z)={\frac {(y+z,y+z,y+z)}{2}}$ donc ${\vec {f}}$ a pour noyau le plan $P$ d'équation $y+z=0$ et pour sous-espace de vecteurs fixes la droite $D$ d'équations $x=y=z$. C'est donc la projection (vectorielle) sur $D$ parallèlement à $P$. Mais $f$ n'est pas une projection (affine) car elle n'a aucun point fixe.
2. Soit $\pi =f\circ \tau ^{-1}$ (ainsi, on aura par construction $f=\pi \circ \tau$). Alors, $\pi (x,y,z)={\frac {(y+z-3,y+z-1,y+z+1)}{2}}$ est égal à $(x,y,z)$ si et seulement si $y=z-1$ et $x=z-2$, ce qui définit une droite affine ${\mathcal {D}}$ (de direction $D$) et $\pi$ est la projection (affine) sur cette droite, parallèlement à $P$. De plus, $\tau \circ \pi =\pi \circ \tau$ puisque $(3,3,3)\in D$.

 

Exercice 2-4

Soit $A={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}$ et $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ définie par $f(x,y)=A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}$. Montrer que $f$ est une similitude directe, dont on précisera le centre, l'angle et le rapport.

Solution

${\begin{cases}x'&=x+y-3\\y'&=-x+y+2\end{cases}}\Leftrightarrow x'+\mathrm {i} y'=(x+\mathrm {i} y)(1+\mathrm {i} )-3+2\mathrm {i} \Leftrightarrow z'=az+b$ avec $a=1+\mathrm {i}$ et $b=-3+2\mathrm {i}$.

$f$ est donc une similitude directe de rapport $|a|={\sqrt {2}}$ et d'angle $\arg a=-{\frac {\pi }{4}}$.

Son centre a pour affixe ${\frac {b}{1-a}}=2+3\mathrm {i}$.

 

Identifier l'application affine $f$ du plan qui envoie respectivement les points $A=(1,0)$, $B=(2,-1)$ et $C=(1,1)$ sur les points $A'=(1,-1)$, $B'=(-1,-3)$ et $C'=(3,-1)$.

Solution

$f(x,y)=(ax+by+c,a'x+b'y+c')$ avec ${\begin{cases}a+c&=1\\2a-b+c&=-1\\a+b+c&=3\end{cases}}$ et ${\begin{cases}a'+c'&=-1\\2a'-b'+c'&=-3\\a'+b'+c'&=-1\end{cases}}$, soit

$(a,b,c)=(0,2,1)$ et $(a',b',c')=(-2,0,1)$, donc

$f(x,y)=(2y+1,-2x+1)$.

On reconnaît une similitude directe d'angle $-{\frac {\pi }{2}}$ et de rapport $2$. Son centre est $\left({\frac {3}{5}},-{\frac {1}{5}}\right)$.

 

Exercice 2-5

On considère une translation $\tau$ et une homothétie $h$ d'un espace affine ${\mathcal {E}}$. Identifier les applications $f_{1}:=\tau \circ h\circ \tau ^{-1}$, $f_{2}:=h^{-1}\circ \tau \circ h$ et $f_{3}:=\tau \circ h\circ \tau$.

Solution

Soient $v$ le vecteur de $\tau$ et $O$ et $\lambda$ les centre et rapport de $h$.

$f_{1}$ est l'homothétie de rapport $\lambda$ et de centre $\tau (O)=O+v$ et $f_{2}$ est la translation de vecteur ${\overrightarrow {Oh^{-1}(O+v)}}={\frac {1}{\lambda }}v$.

$f_{3}$ est une homothétie de rapport $\lambda$. Son centre $O'$ est défini par $O'=\tau (h(O'+v))$ donc ${\overrightarrow {OO'}}=v+{\overrightarrow {Oh(O'+v)}}=v+\lambda ({\overrightarrow {OO'}}+v)$, c'est-à-dire $O'=O+{\frac {1+\lambda }{1-\lambda }}v$.

 

Exercice 2-6

Soit $s:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ l'application définie par :

$s(x,y,z)=(-2y+z-2,-x-y+z-2,-x-2y+2z-2)$.

Déterminer la nature de cette application affine ainsi que ses caractéristiques.

Solution

$\operatorname {Fix} (s)$ est le plan d'équation $x+2y-z+2=0$ et pour tout $M\in \mathbb {R} ^{3}$, ${\frac {M+s(M)}{2}}$ appartient à ce plan. $s$ est donc la symétrie par rapport à ce plan et de direction la droite $\{{\overrightarrow {Ms(M)}}\mid M\in \mathbb {R} ^{3}\}$, engendrée par le vecteur $(1,1,1)$.

 

Exercice 2-7

Soit $p:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ l'application définie par :

$p(x,y)=\left({\frac {2x+y}{3}}+2,{\frac {2x+y}{3}}-4\right)$

1. Montrer que $p^{2}=p$.
2. Déterminer $p$ géométriquement (points fixes, etc.).

Solution

1. $p^{2}(x,y)=p\left({\frac {2x+y+6}{3}},{\frac {2x+y-12}{3}}\right)=\left({\frac {2{\frac {2x+y+6}{3}}+{\frac {2x+y-12}{3}}+6}{3}},{\frac {2{\frac {2x+y+6}{3}}+{\frac {2x+y-12}{3}}-12}{3}}\right)=\left({\frac {2x+y+6}{3}},{\frac {2x+y-12}{3}}\right)$.
2. $\operatorname {Fix} (p)$ est la droite affine d'équation $x-y-6=0$, donc $p$ est la projection sur cette droite, parallèlement à la droite vectorielle $\{{\overrightarrow {Mp(M)}}\mid M\in \mathbb {R} ^{2}\}$, d'équation $y=-2x$.

 

Exercice 2-8

Notons $s_{A}$ la symétrie centrale de centre $A$ et $t_{u}$ la translation de vecteur $u$.

1. Montrer que $s_{B}\circ s_{A}=t_{2{\overrightarrow {AB}}}$.
2. En déduire que pour tous $A,B,C,D\in {\mathcal {E}}$, $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $s_{D}\circ s_{C}\circ s_{B}\circ s_{A}=\mathrm {id} _{\mathcal {E}}$.

Solution

1. ${\overrightarrow {s_{B}}}\circ {\overrightarrow {s_{A}}}=(-\mathrm {id} _{E})\circ (-\mathrm {id} _{E})=\mathrm {id} _{E}$ donc $s_{B}\circ s_{A}=t_{u}$, avec $u={\overrightarrow {As_{B}\circ s_{A}(A)}}={\overrightarrow {As_{B}(A)}}=2{\overrightarrow {AB}}$.
2. $s_{D}\circ s_{C}\circ s_{B}\circ s_{A}=\mathrm {id} _{\mathcal {E}}\Leftrightarrow t_{2{\overrightarrow {CD}}+2{\overrightarrow {AB}}}=\mathrm {id} _{\mathcal {E}}\Leftrightarrow {\overrightarrow {DC}}={\overrightarrow {AB}}$.

 

Exercice 2-9

Montrer que l'application $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3},\;(x,y,z)\mapsto (3x+4y+2z-4,-2x-3y-2z+4,4x+8y+5z-8)$ est une affinité et préciser ses éléments caractéristiques (base, direction, rapport).

Solution

L'ensemble des points fixes de $f$ est le plan ${\mathcal {P}}$ d'équation $x+2y+z=2$.

Pour tout point $M=(x,y,z)$, on a ${\overrightarrow {Mf(M)}}=(2x+4y+2z-4)u$, où $u$ est le vecteur $(1,-1,2)$.

Soit $p$ la projection sur ${\mathcal {P}}$, parallèlement à $D:=\mathbb {R} u$. Alors, $p(M)=(x+t,y-t,z+2t)\in {\mathcal {P}}$ donc $(x+t)+2(y-t)+(z+2t)=2$, c'est-à-dire $t=-x-2y-z+2$, si bien que ${\overrightarrow {Mf(M)}}=-2{\overrightarrow {Mp(M)}}$ donc ${\overrightarrow {p(M)f(M)}}=3{\overrightarrow {p(M)M}}$.

$f$ est l'affinité de base ${\mathcal {P}}$, de direction $D$ et de rapport 3.

 

Exercice 2-10

Soit $ABC$ un triangle non plat, et $AA_{1}B_{1}B$ et $ACC_{2}A_{2}$ deux carrés bâtis sur ses côtés (les points sont énumérés dans le sens direct). Soit $A'$ l'unique point tel que $AA_{2}A'A_{1}$ soit un parallélogramme. Montrer que $(AA')$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.

Solution

Soit la $r$ rotation vectorielle d'angle ${\frac {\pi }{2}}$. On a :

$r({\overrightarrow {AA'}})=r({\overrightarrow {AA_{1}}}+{\overrightarrow {AA_{2}}})={\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {CB}}$,

d'où le résultat.

 

Exercice 2-11

Soient ${\mathcal {E}}$ un espace affine, $O\in {\mathcal {E}}$ et $f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}$ affine. On cherche à décomposer $f$ sous la forme $t_{1}\circ u_{1}$ ou $u_{2}\circ t_{2}$ avec $t_{i}$ translation et $u_{i}$ application affine fixant $O$.

1. Montrer que $u_{i}$ (si elle existe) est unique, et que $u_{1},u_{2}$ (si elles existent) sont égales.
2. Montrer que le problème équivaut à trouver des translations $t_{i}$ telles que $(t_{1}^{-1}\circ f)(O)=O$ et $(f\circ t_{2}^{-1})(O)=O$.
3. Démontrer que $t_{1}$ existe et est unique (et déterminer son vecteur).
4. Démontrer que des $t_{2}$ existent si et seulement si $O\in \operatorname {Im} (f)$ (et déterminer leurs vecteurs).

Solution

1. Une application affine est uniquement déterminée par l'image d'un point et par sa partie linéaire : $u(M)=u(O)+{\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {OM}})$ Or ${\overrightarrow {u_{1}}}={\overrightarrow {t_{1}^{-1}}}\circ {\overrightarrow {f}}={\overrightarrow {f}}$ et $u_{1}(O)=O$. Idem pour $u_{2}$.
2. $u_{1}$ est déterminée par $t_{1}$ ($u_{1}=t_{1}^{-1}\circ f$), et la condition $u_{1}(O)=O$ se traduit alors par $(t_{1}^{-1}\circ f)(O)=O$. Idem pour $t_{2}$.
3. Si $v$ est le vecteur de $t_{1}$, $(t_{1}^{-1}\circ f)(O)=O\Leftrightarrow v={\overrightarrow {Of(O)}}$.
4. Si $v$ est le vecteur de $t_{2}$, $(f\circ t_{2}^{-1})(O)=O\Leftrightarrow f(O-v)=O$. De tels $v$ existent si et seulement si $O\in \operatorname {Im} (f)$, et ce sont les vecteurs de la forme $-{\overrightarrow {OA}}$ pour tout antécédent $A$ de $O$ par $f$.

 

Exercice 2-12

On note $\mathrm {GA} _{O}({\mathcal {E}})$ le sous-groupe des éléments de $\mathrm {GA} ({\mathcal {E}})$ qui fixent le point $O$. Montrer que l'application suivante est bien définie (c'est-à-dire à valeurs dans $T_{\mathcal {E}}$, le sous-groupe des translations) :

${\begin{array}{ccc}\mathrm {GA} _{O}({\mathcal {E}})\times T_{\mathcal {E}}&\rightarrow &T_{\mathcal {E}}\\(u,t)&\mapsto &u\circ t\circ u^{-1}\end{array}}$

et fournit une action de $\mathrm {GA} _{O}({\mathcal {E}})$ sur $T_{\mathcal {E}}$.

Décrire (le vecteur de) la translation $u\circ t\circ u^{-1}$ en fonction de $t$ et $u$, et constater que l'action est indépendante du point $O$ (on a donc en fait une action de $\mathrm {GL} (E)$ sur $T_{\mathcal {E}}$).

Solution

La partie vectorielle de $u\circ t\circ u^{-1}$ est :

${\overrightarrow {u\circ t\circ u^{-1}}}={\overrightarrow {u}}\circ {\overrightarrow {t}}\circ {\overrightarrow {u^{-1}}}={\overrightarrow {u}}\circ {\overrightarrow {u}}^{-1}=\mathrm {Id}$

donc il s'agit bien d'une translation. Si l'on prend $u=\mathrm {Id}$, on trouve $t$, et l'on a la relation, pour tous $u_{1},u_{2}$ :

$u_{2}\circ (u_{1}\circ t\circ u_{1}^{-1})\circ u_{2}^{-1}=(u_{2}\circ u_{1})\circ t\circ (u_{2}\circ u_{1})^{-1}$.

Ainsi, on a bien une action de groupe. Soient ${\overrightarrow {t}}$ le vecteur de la translation $t$ et ${\overrightarrow {t}}'$ celui de la translation $u\circ t\circ u^{-1}$. Alors :

$O+{\overrightarrow {t}}'=(u\circ t\circ u^{-1})(O)=u\circ t(O)=u(O+{\overrightarrow {t}})=O+{\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {t}})$.

Ainsi, ${\overrightarrow {t}}'={\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {t}})$, qui est donc indépendant de $O$. On obtient une action de $\mathrm {GL} (E)$ sur le groupe des translations grâce à l'identification entre $\mathrm {GL} (E)$ et le sous-groupe $\mathrm {GA} _{O}({\mathcal {E}})$.

 

Exercice 2-13

Soient ${\cal {E}}$ un espace affine de dimension $n$, et $(A_{0},\dots ,A_{n})$ un repère affine.

1. Montrer que pout tout $i\in \{0,\dots ,n\}$, il existe une unique application affine $\phi _{i}:{\cal {E}}\to \mathbb {R}$ telle que $\forall j\in \{0,\dots ,n\}\quad \phi _{i}(A_{j})=\delta _{i,j}.$
2. Exprimer l'image d'un point par $\phi _{i}$ en fonction de ses coordonnées barycentriques dans le repère des $A_{i}$.
3. Montrer que l'ensemble $\operatorname {Aff} ({\cal {E}},\mathbb {R} )$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des applications de ${\cal {E}}$ dans $\mathbb {R}$. Déduire de ce qui précède que sa dimension est au moins $n+1$.
4. Montrer que tout élément $\phi \in \operatorname {Aff} ({\cal {E}},\mathbb {R} )$ s'écrit $\phi =\sum _{i}\phi (A_{i})\phi _{i}$. En déduire la dimension de $\operatorname {Aff} ({\cal {E}},\mathbb {R} )$.

Solution

1. Le premier point est clair via la caractérisation des applications affines par conservation du barycentre.
2. Si un point s'écrit $A=\sum _{i}\alpha _{i}A_{i}$ en coordonnées barycentriques avec $\sum _{i}\alpha _{i}=1$, alors $\phi _{i}(A)=\alpha _{i}$.
3. L'ensemble $\operatorname {Aff} ({\cal {E}},\mathbb {R} )$ est stable par addition, multiplication externe et contient le neutre : l'application nulle. Toute relation de colinéarité entre les $\phi _{i}$ est triviale donc l'assertion sur la dimension s'en déduit.
4. Le dernier point est clair et $\dim \operatorname {Aff} ({\cal {E}},\mathbb {R} )=n+1.$

 

Exercice 2-14

Soient ${\cal {E}},{\cal {E}}'$ deux $\mathbb {R}$-espaces affines et $f$ une application de ${\cal {E}}$ dans ${\cal {E}}'$.

1) Dans cette question on suppose $f$ affine.

a) (Re-)démontrer que $f$ est injective si et seulement si ${\overrightarrow {f}}$ l'est.

b) (Re-)démontrer que si ${\cal {F}}$ est un sous-espace affine de ${\cal {E}}$ de direction $F$ alors $f({\cal {F}})$ est un sous-espace affine de ${\cal {E}}'$ de direction ${\overrightarrow {f}}(F)$.

c) En déduire que si $f$ est injective, $f$ envoie toute droite de ${\cal {E}}$ sur une droite de ${\cal {E}}'$, et envoie deux droites parallèles sur des droites parallèles.

2) Soient $O,A,B$ trois points non alignés de ${\cal {E}}$. Pour tout $M\in (OA)$, soient $M'$ le point d'intersection de $(OB)$ avec la parallèle à $(AB)$ passant par $M$, et $M''$ le point d'intersection de $(OA)$ avec la parallèle à $(MB)$ passant par $M'$.

Démontrer que lorsque $M$ parcourt la droite $(OA)$, $M''$ parcourt la demi-droite fermée $[OA)$.

3) Dans cette question on suppose que ${\cal {E}}$ est de dimension $\geq 2$, que $f$ envoie toute droite de ${\cal {E}}$ bijectivement sur une droite de ${\cal {E}}'$ (donc $f$ est injective), et que $f$ envoie deux droites parallèles sur des droites parallèles.

Le but est d'en déduire que $f$ est affine.

a) Montrer que l'image par $f$ d'un parallélogramme est un parallélogramme (on pourra commencer par le cas d'un parallélogramme non aplati).

b) En déduire que l'application $u:E\to E',\;{\overrightarrow {MN}}\mapsto {\overrightarrow {f(M)f(N)}}$ est bien définie.

c) Vérifier que $\forall x,y\in E\quad u(x+y)=u(x)+u(y)$.

En déduire que $\forall x\in E\quad u(\lambda x)=\lambda u(x)$ pour tout $\lambda \in \mathbb {Z}$, puis pour tout $\lambda \in \mathbb {Q}$.

d) Montrer (en utilisant 2) que pour tous points distincts $O,A\in {\cal {E}}$, $f([O,A))=[f(O),f(A))$.

e) En déduire que $u(\lambda x)=\lambda u(x)$ est vrai pour tout $\lambda \in \mathbb {R}$, et conclure.

Solution

1)

a) Soient $O\in {\cal {E}}$ et $O'=f(O)$. On a $\forall x\in E\quad {\overrightarrow {f}}(x)={\overrightarrow {O'f(O+x)}}$ (d'où : si $f$ est injective alors ${\overrightarrow {f}}$ aussi) et de manière équivalente, $\forall M\in {\cal {E}}\quad f(M)=O'+{\overrightarrow {f}}({\overrightarrow {OM}})$ (d'où : si ${\overrightarrow {f}}$ est injective alors $f$ aussi). Remarquons que pour démontrer cette équivalence on n'a pas utilisé que $f$ est affine (c'est-à-dire que ${\overrightarrow {f}}$ est linéaire).

b) Si ${\cal {F}}=P+F$ alors $f({\cal {F}})=f(P)+{\overrightarrow {f}}(F)$.

c) Si $f$ est injective et si $F$ est une droite vectorielle de $E$, d'après a) ${\overrightarrow {f}}(F)$ est une droite vectorielle de $E'$, et d'après b) toutes les droites affines ${\cal {F}}$ de ${\cal {E}}$ de direction $F$ ont pour image par $f$ des droites affines de ${\cal {E}}'$ de direction $f(F)$.

2) Soit $\lambda \in \mathbb {R}$ tel que ${\overrightarrow {OM}}=\lambda {\overrightarrow {OA}}$, alors (par Thalès) ${\overrightarrow {OM'}}=\lambda {\overrightarrow {OB}}$ et ${\overrightarrow {OM''}}=\lambda {\overrightarrow {OM}}=\lambda ^{2}{\overrightarrow {OA}}$.

3)

a) Soient $(A,B,C,D)$ un parallélogramme (c'est-à-dire ${\overrightarrow {DC}}={\overrightarrow {AB}}$ ou, ce qui est équivalent, ${\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AD}}$) et $(A',B',C',D')$ son image par $f$.

• Si $(A,B,C,D)$ est non aplati (c'est-à-dire si les quatre points ne sont pas alignés) alors $A,B,D$ sont non alignés et $(DC)//(AB)$ et $(BC)//(AD)$, donc idem en remplaçant $(A,B,C,D)$ par $(A',B',C',D')$, donc il existe $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$ tels que ${\overrightarrow {D'C'}}=\lambda {\overrightarrow {A'B'}}$ et ${\overrightarrow {B'C'}}=\mu {\overrightarrow {A'D'}}$, d'où $\lambda {\overrightarrow {A'B'}}-\mu {\overrightarrow {A'D'}}={\overrightarrow {D'B'}}={\overrightarrow {A'B'}}-{\overrightarrow {A'D'}}$ donc $\lambda =\mu =1$ donc $(A',B',C',D')$ est un parallélogramme.
• Si $(A,B,C,D)$ est aplati mais $A\neq B$, il existe (puisque $\dim({\cal {E}})\geq 2$) $P,Q\in {\cal {E}}$ tels que $(A,B,P,Q)$ et $(P,Q,C,D)$ forment deux parallélogrammes non aplatis. On se ramène ainsi au cas précédent. Enfin, si $A=B$ (donc $C=D$) alors $A'=B'$ et $C'=D'$.

b) Si ${\overrightarrow {DC}}={\overrightarrow {AB}}$, d'après ce qui précède, ${\overrightarrow {f(D)f(C)}}={\overrightarrow {f(A)f(B)}}$.

c) Étant donnés $x,y\in E$, soient $M\in {\cal {E}}$ (arbitraire), $N=M+x$, et $P=N+y=M+(x+y)$. Alors, $u(x+y)=u({\overrightarrow {MP}})={\overrightarrow {f(M)f(P)}}={\overrightarrow {f(M)f(N)}}+{\overrightarrow {f(N)f(P)}}=u(x)+u(y)$. On en déduit (par récurrence sur $|n|$) $\forall n\in \mathbb {Z} \quad u(nx)=nu(x)$, d'où

$\forall m\in \mathbb {N} ^{*}\quad mu\left({\frac {n}{m}}x\right)=u(nx)=nu(x)$ donc $u\left({n \over m}x\right)={\frac {n}{m}}u(x)$.

d) Soit $B\in {\cal {E}}\setminus (OA)$. Il suffit, dans la question 2), d'appliquer simultanément la construction sur $O,A,B,M\in {\cal {E}}$ et sur leurs images par $f$, en remarquant que $f(M')=f(M)'$ et $f(M'')=f(M)''$.

e) Soient $M,N\in {\cal {E}}$, notons $M_{\lambda }=\lambda N+(1-\lambda )M$ et $M'_{\mu }=\mu f(N)+(1-\mu )f(M)$. Par définition de $u$ on a donc :

$f(M_{\lambda })=M'_{\mu }\Leftrightarrow u(\lambda {\overrightarrow {MN}})=\mu u({\overrightarrow {MN}})$.

D'après c), on en déduit $\forall \lambda \in \mathbb {Q} \quad f(M_{\lambda })=M'_{\lambda }$. Donc d'après d), $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {Q} \quad f([M_{\alpha },M_{\beta }])=[M'_{\alpha },M'_{\beta }]$, d'où $\forall \lambda \in \mathbb {R} \quad f(M_{\lambda })=M'_{\lambda }$ (en prenant l'intersection sur les $\alpha ,\beta \in \mathbb {Q}$ tels que $\alpha \leq \lambda \leq \beta$), c'est-à-dire $u(\lambda {\overrightarrow {MN}})=\lambda u({\overrightarrow {MN}})$.

Ceci (joint à la question c) prouve que $u$ est linéaire, donc que $f$ est affine.