Géométrie affine/Barycentres

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Dans ce chapitre, ${\mathcal {E}}$ est un espace affine de direction $E$.

Définition

Proposition

Soient $A_{0},A_{1},\dots ,A_{k}$ des points de ${\mathcal {E}}$ et $\lambda _{0},\dots ,\lambda _{k}$ autant de scalaires, de somme non nulle.

Il existe un unique point $G\in {\mathcal {E}}$ tel que $\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}{\overrightarrow {A_{i}G}}={\vec {0}}$.

Démonstration

$\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}{\overrightarrow {A_{i}G}}={\vec {0}}\Leftrightarrow \sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}({\overrightarrow {A_{0}A_{i}}}+{\overrightarrow {A_{i}G}})=\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}{\overrightarrow {A_{0}A_{i}}}\Leftrightarrow \left(\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}\right){\overrightarrow {A_{0}G}}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}{\overrightarrow {A_{0}A_{i}}}\Leftrightarrow G=A_{0}+{\frac {1}{\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}}}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}{\overrightarrow {A_{0}A_{i}}}$.

 

Définition

Le point $G$ ci-dessus est appelé le barycentre de la famille $\left((A_{i},\lambda _{i})\right)_{0\leq i\leq k}$ de « points pondérés ». On le note

$G=\sum _{0\leq j\leq k}{\frac {\lambda _{j}}{\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}}}A_{j}$.

Alternativement, on peut définir le barycentre par une formule plus générale :

Proposition

Soit $O\in {\mathcal {E}}$. Le barycentre ci-dessus est caractérisé par : ${\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}}}\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}{\overrightarrow {OA_{i}}}$.

Démonstration

$\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}{\overrightarrow {A_{i}G}}={\vec {0}}\Leftrightarrow \sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}({\overrightarrow {OA_{i}}}+{\overrightarrow {A_{i}G}})=\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}{\overrightarrow {OA_{i}}}\Leftrightarrow \left(\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}\right){\overrightarrow {OG}}=\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}{\overrightarrow {OA_{i}}}$.

 

Remarques

• La première proposition ci-dessus est le cas particulier $O=G$.
• Elle montre que le point $G$ donné par cette seconde caractérisation ne dépend en fait pas de $O$.
• Le barycentre ne change pas (et les formules sont plus simples) lorsqu'on remplace $(\lambda _{0},\dots ,\lambda _{k})$ (de somme non nulle) par $(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{k}):={\frac {1}{\sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}}}(\lambda _{0},\dots ,\lambda _{k})$ (de somme $1$).

Définition

• L'isobarycentre d'un ensemble fini de points est le barycentre de ces points affectés de coefficients égaux.
• Dans le cas de deux points, on l'appelle le milieu.

Définition

• L'enveloppe convexe d'un ensemble de points est l'ensemble de leurs combinaisons convexes, c'est-à-dire de leurs barycentres à coefficients positifs ou nuls.
• Dans le cas de deux points, on l'appelle le segment.

Associativité

Proposition

Soient $I$ un ensemble fini d'indices et $(I_{j})_{1\leq j\leq r}$ une partition de $I$. Soit $(\lambda _{i})_{i\in I}$ une famille de scalaires telle qu'aucune des sommes $\mu _{j}:=\sum _{i\in I_{j}}\lambda _{i}$ et $\mu :=\sum _{1\leq j\leq r}\mu _{j}$ ne soit nulle. Alors, pour toute famille $(A_{i})_{i\in I}$ de points de ${\mathcal {E}}$,

$\sum _{i\in I}{\frac {\lambda _{i}}{\mu }}A_{i}=\sum _{1\leq j\leq r}{\frac {\mu _{j}}{\mu }}\left(\sum _{i\in I_{j}}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{j}}}A_{i}\right)$.

Démonstration

Notons $G:=\sum _{i\in I}{\frac {\lambda _{i}}{\mu }}A_{i}$ et $B_{j}=\sum _{i\in I_{j}}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{j}}}A_{i}$. Alors, $\sum _{1\leq j\leq r}\mu _{j}{\overrightarrow {GB_{j}}}=\sum _{1\leq j\leq r}\mu _{j}\left(\sum _{i\in I_{j}}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{j}}}{\overrightarrow {GA_{i}}}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}{\overrightarrow {GA_{i}}}={\vec {0}}$.

 

Coordonnées barycentriques

Proposition

Le sous-espace affine engendré par un ensemble non vide de points de ${\mathcal {E}}$ est égal à l'ensemble de tous les barycentres de ces points.

Démonstration

Soient $A_{0}\in X\subset {\mathcal {E}}$ et $H=\operatorname {Vect} (\{{\overrightarrow {A_{0}A}}\mid A\in X\})$. Rappelons que $\operatorname {Aff} (X)=A_{0}+H$ et notons ${\mathcal {G}}$ l'ensemble des barycentres d'éléments de $X$.

$A_{0}+H={\mathcal {G}}$. En effet, $\{{\overrightarrow {A_{0}G}}\mid G\in {\mathcal {G}}\}=\left\{\sum _{1\leq i\leq r}\alpha _{i}{\overrightarrow {A_{0}A_{i}}}\right|\left.A_{i}\in X,\;\sum _{0\leq i\leq r}\alpha _{i}=1\right\}=H$, car la condition $\sum _{0\leq i\leq r}\alpha _{i}=1$ est vérifiée pour n'importe quel $r$-uplet de scalaires $(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})$, en posant simplement $\alpha _{0}=1-\sum _{1\leq i\leq r}\alpha _{i}$.

 

Proposition-définition

Soit $(A_{0},\dots ,A_{n})$ un repère affine de ${\mathcal {E}}$. Pour tout point $M\in {\mathcal {E}}$, le ($n+1$)-uplet de scalaires $(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n})$ tel que $\sum _{0\leq i\leq n}\alpha _{i}=1$ et $M=\sum _{0\leq i\leq n}\alpha _{i}A_{i}$ est unique. On l'appelle le ($n+1$)-uplet des coordonnées barycentriques de ce point dans ce repère.

Démonstration

Si $\sum _{0\leq i\leq n}\alpha _{i}=1$ et $M=\sum _{0\leq i\leq n}\alpha _{i}A_{i}$ alors ${\overrightarrow {A_{0}M}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\overrightarrow {A_{0}A_{i}}}$, ce qui détermine entièrement $(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ puisque par hypothèse, $({\overrightarrow {A_{0}A_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {A_{0}A_{n}}})$ est libre. La coordonnée barycentrique $\alpha _{0}$ restante est alors déterminée par : $\alpha _{0}=1-\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}$.

 

Applications affines et barycentres

Proposition

Une application $f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}$ est affine si et seulement si elle préserve les barycentres, c'est-à-dire si $f\left(\sum \alpha _{i}A_{i}\right)=\sum \alpha _{i}A_{i}$ pour tous points $A_{i}\in {\mathcal {E}}$ et tous scalaires $\alpha _{i}$ de somme $1$, ou simplement $f\left(tA+(1-t)B\right)=tf(A)+(1-t)f(B)$ pour tous $A,B\in {\mathcal {E}}$ et tout scalaire $t$.

Démonstration

La réduction d'un barycentre quelconque à un barycentre de deux points se déduit de l'associativité du barycentre.

Supposons que $f$ est affine et soit $G=tA+(1-t)B$. Alors,

${\overrightarrow {f(B)f(G)}}={\vec {f}}({\overrightarrow {BG}})={\vec {f}}(t{\overrightarrow {BA}})=t{\vec {f}}({\overrightarrow {BA}})=t{\overrightarrow {f(B)f(A)}}$

donc $f(G)=tf(A)+(1-t)f(B)$.

Réciproquement, supposons que $f$ préserve les barycentres. Fixons $O\in {\mathcal {E}}$ et posons $O'=f(O)$. Il s'agit de prouver que l'application ${\vec {f}}:E\to F$ définie par $\forall M\in {\mathcal {E}}\quad {\vec {f}}({\overrightarrow {OM}})={\overrightarrow {O'f(M)}}$ est linéaire. Pour tous $A,B\in {\mathcal {E}}$ et tout scalaire $\lambda$, ${\vec {f}}({\overrightarrow {OA}}+\lambda {\overrightarrow {OB}})={\vec {f}}({\overrightarrow {O(-\lambda O+A+\lambda B)}})={\overrightarrow {O'f(-\lambda O+A+\lambda B)}}={\overrightarrow {O'(-\lambda O'+f(A)+\lambda f(B))}}={\overrightarrow {O'f(A)}}+\lambda {\overrightarrow {O'f(B)}}={\vec {f}}({\overrightarrow {OA}})+\lambda {\vec {f}}({\overrightarrow {OB}})$.