Géométrie affine/Barycentres

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Dans ce chapitre, $ℰ$ est un espace affine de direction $E$.

Définition

Proposition

Soient $A_0,A_1,\dots ,A_k$ des points de $ℰ$ et ${\lambda }_0,\dots ,{\lambda }_k$ autant de scalaires, de somme non nulle.

Il existe un unique point $G\in ℰ$ tel que $\sum _{i=0}^k{\lambda }_i\overrightarrow{A_{i}G}=\overrightarrow{0}$.

'Démonstration'

$\sum _{i=0}^k{\lambda }_i\overrightarrow{A_{i}G}=\overrightarrow{0}\iff \sum _{i=0}^k{\lambda }_i(\overrightarrow{A_0{A}_i}+\overrightarrow{A_{i}G})=\sum _{i=0}^k{\lambda }_i\overrightarrow{A_0{A}_i}\iff \left(\sum _{i=0}^k{\lambda }_i\right)\overrightarrow{A_{0}G}=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i\overrightarrow{A_0{A}_i}\iff G=A_0+\frac{1}{\sum _{i=0}^k{\lambda }_i}\sum _{i=1}^k{\lambda }_i\overrightarrow{A_0{A}_i}$.

 

Définition

Le point $G$ ci-dessus est appelé le barycentre de la famille ${((A_i,{\lambda }_i))}_{0\le i\le k}$ de « points pondérés ». On le note

$G=\sum _{0\le j\le k}\frac{{\lambda }_j}{\sum _{i=0}^k{\lambda }_i}{A}_j$.

Alternativement, on peut définir le barycentre par une formule plus générale :

Proposition

Soit $O\in ℰ$. Le barycentre ci-dessus est caractérisé par : $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{\sum _{i=0}^k{\lambda }_i}\sum _{i=0}^k{\lambda }_i\overrightarrow{O{A}_i}$.

'Démonstration'

$\sum _{i=0}^k{\lambda }_i\overrightarrow{A_{i}G}=\overrightarrow{0}\iff \sum _{i=0}^k{\lambda }_i(\overrightarrow{O{A}_i}+\overrightarrow{A_{i}G})=\sum _{i=0}^k{\lambda }_i\overrightarrow{O{A}_i}\iff \left(\sum _{i=0}^k{\lambda }_i\right)\overrightarrow{OG}=\sum _{i=0}^k{\lambda }_i\overrightarrow{O{A}_i}$.

 

Remarques

• La première proposition ci-dessus est le cas particulier $O=G$.
• Elle montre que le point $G$ donné par cette seconde caractérisation ne dépend en fait pas de $O$.
• Le barycentre ne change pas (et les formules sont plus simples) lorsqu'on remplace $({\lambda }_0,\dots ,{\lambda }_k)$ (de somme non nulle) par $({\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_k):=\frac{1}{\sum _{i=0}^k{\lambda }_i}({\lambda }_0,\dots ,{\lambda }_k)$ (de somme $1$).

Définition

• L'isobarycentre d'un ensemble fini de points est le barycentre de ces points affectés de coefficients égaux.
• Dans le cas de deux points, on l'appelle le milieu.

Définition

• L'enveloppe convexe d'un ensemble de points est l'ensemble de leurs combinaisons convexes, c'est-à-dire de leurs barycentres à coefficients positifs ou nuls.
• Dans le cas de deux points, on l'appelle le segment.

Associativité

Proposition

Soient $I$ un ensemble fini d'indices et $(I_j{)}_{1\le j\le r}$ une partition de $I$. Soit $({\lambda }_i{)}_{i\in I}$ une famille de scalaires telle qu'aucune des sommes ${\mu }_j:=\sum _{i\in I_j}{\lambda }_i$ et $\mu :=\sum _{1\le j\le r}{\mu }_j$ ne soit nulle. Alors, pour toute famille $(A_i{)}_{i\in I}$ de points de $ℰ$,

$\sum _{i\in I}\frac{{\lambda }_i}{\mu }{A}_i=\sum _{1\le j\le r}\frac{{\mu }_j}{\mu }\left(\sum _{i\in I_j}\frac{{\lambda }_i}{{\mu }_j}{A}_i\right)$.

'Démonstration'

Notons $G:=\sum _{i\in I}\frac{{\lambda }_i}{\mu }{A}_i$ et $B_j=\sum _{i\in I_j}\frac{{\lambda }_i}{{\mu }_j}{A}_i$. Alors, $\sum _{1\le j\le r}{\mu }_j\overrightarrow{G{B}_j}=\sum _{1\le j\le r}{\mu }_j\left(\sum _{i\in I_j}\frac{{\lambda }_i}{{\mu }_j}\overrightarrow{G{A}_i}\right)=\sum _{i\in I}{\lambda }_i\overrightarrow{G{A}_i}=\overrightarrow{0}$.

 

Coordonnées barycentriques

Proposition

Le sous-espace affine engendré par un ensemble non vide de points de $ℰ$ est égal à l'ensemble de tous les barycentres de ces points.

'Démonstration'

Soient $A_0\in X\subset ℰ$ et $H=\mathrm{Vect}(\{\overrightarrow{A_{0}A}\mid A\in X\})$. Rappelons que $\mathrm{Aff}(X)=A_0+H$ et notons $𝒢$ l'ensemble des barycentres d'éléments de $X$.

$A_0+H=𝒢$. En effet, $\{\overrightarrow{A_{0}G}\mid G\in 𝒢\}=\left\{\sum _{1\le i\le r}{\alpha }_i\overrightarrow{A_0{A}_i}\right|A_i\in X,\sum _{0\le i\le r}{\alpha }_i=1\}=H$, car la condition $\sum _{0\le i\le r}{\alpha }_i=1$ est vérifiée pour n'importe quel $r$-uplet de scalaires $({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)$, en posant simplement ${\alpha }_0=1-\sum _{1\le i\le r}{\alpha }_i$.

 

Proposition-définition

Soit $(A_0,\dots ,A_n)$ un repère affine de $ℰ$. Pour tout point $M\in ℰ$, le ($n+1$)-uplet de scalaires $({\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_n)$ tel que $\sum _{0\le i\le n}{\alpha }_i=1$ et $M=\sum _{0\le i\le n}{\alpha }_i{A}_i$ est unique. On l'appelle le ($n+1$)-uplet des coordonnées barycentriques de ce point dans ce repère.

'Démonstration'

Si $\sum _{0\le i\le n}{\alpha }_i=1$ et $M=\sum _{0\le i\le n}{\alpha }_i{A}_i$ alors $\overrightarrow{A_{0}M}=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\overrightarrow{A_0{A}_i}$, ce qui détermine entièrement $({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ puisque par hypothèse, $(\overrightarrow{A_0{A}_1},\dots ,\overrightarrow{A_0{A}_n})$ est libre. La coordonnée barycentrique ${\alpha }_0$ restante est alors déterminée par : ${\alpha }_0=1-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i$.

 

Applications affines et barycentres

Proposition

Une application $f:ℰ\to ℱ$ est affine si et seulement si elle préserve les barycentres, c'est-à-dire si $f(\sum {\alpha }_i{A}_i)=\sum {\alpha }_i{A}_i$ pour tous points $A_i\in ℰ$ et tous scalaires ${\alpha }_i$ de somme $1$, ou simplement $f(tA+(1-t)B)=tf(A)+(1-t)f(B)$ pour tous $A,B\in ℰ$ et tout scalaire $t$.

'Démonstration'

La réduction d'un barycentre quelconque à un barycentre de deux points se déduit de l'associativité du barycentre.

Supposons que $f$ est affine et soit $G=tA+(1-t)B$. Alors,

$\overrightarrow{f(B)f(G)}=\overrightarrow{f}(\overrightarrow{BG})=\overrightarrow{f}(t\overrightarrow{BA})=t\overrightarrow{f}(\overrightarrow{BA})=t\overrightarrow{f(B)f(A)}$

donc $f(G)=tf(A)+(1-t)f(B)$.

Réciproquement, supposons que $f$ préserve les barycentres. Fixons $O\in ℰ$ et posons $O^{\prime }=f(O)$. Il s'agit de prouver que l'application $\overrightarrow{f}:E\to F$ définie par $\mathrm{\forall }M\in ℰ\overrightarrow{f}(\overrightarrow{OM})=\overrightarrow{O^{\prime }f(M)}$ est linéaire. Pour tous $A,B\in ℰ$ et tout scalaire $\lambda$, $\overrightarrow{f}(\overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OB})=\overrightarrow{f}(\overrightarrow{O(-\lambda O+A+\lambda B)})=\overrightarrow{O^{\prime }f(-\lambda O+A+\lambda B)}=\overrightarrow{O^{\prime }(-\lambda O^{\prime }+f(A)+\lambda f(B))}=\overrightarrow{O^{\prime }f(A)}+\lambda \overrightarrow{O^{\prime }f(B)}=\overrightarrow{f}(\overrightarrow{OA})+\lambda \overrightarrow{f}(\overrightarrow{OB})$.