Fonctions trigonométriques/Exercices/Résolution d'équations

Exercice 8-1

Résoudre l'équation :

$\sin x=\sin (\pi -3x)$.

Solution

$x\equiv \pi -3x\text{ ou }3xmod2\pi \iff x\equiv \frac{\pi }{4}mod\frac{\pi }{2}\text{ ou }0mod\pi$.

 

Exercice 8-2

Résoudre l'équation :

$\tan x=2\sin x$.

Solution

$\sin x=0\text{ ou }\cos x=\frac{1}{2}\iff x\equiv 0mod\pi \text{ ou }\pm \frac{\pi }{3}mod2\pi$.

 

Exercice 8-3

Résoudre et discuter, selon la valeur de $m$, l'équation :

$m\cos x+\sin x+3m-1=0$.

Solution

Voir Trigonométrie/Équations et inéquations trigonométriques#Cas général : cette équation a des solutions si et seulement si ${(3m-1)}^2\le m^2+1$, c'est-à-dire $0\le m\le \frac{3}{4}$ et dans ce cas, les solutions sont $\arccos \frac{m}{\sqrt{m^2+1}}\pm \arccos \frac{1-3m}{\sqrt{m^2+1}}mod2\pi$.

 

Exercice 8-4

Résoudre l'équation :

$\sqrt{1+\frac{\sin x}{2}}=\cos x$.

Solution

$\cos x\ge 0\text{ et }\sin x=2({\cos }^{2}x-1)\iff \cos x\ge 0\text{ et }\sin x=0\text{ ou }-\frac{1}{2}\iff x\equiv 0\text{ ou }-\frac{\pi }{6}mod2\pi$.

 

Exercice 8-5

Résoudre l'équation :

$\tan x\tan 5x=1$.

Solution

$5x\equiv \frac{\pi }{2}-xmod\pi \iff x\equiv \frac{\pi }{12}mod\frac{\pi }{6}$.

 

Exercice 8-6

Résoudre l'équation suivante :

$3\tan x\tan 3x+1=0$

Aide

On transformera le premier membre de façon à poser $y=\cos 2x$.

Solution

$\tan x\tan 3x={\tan }^{2}x\frac{\cos 2x+2{\cos }^{2}x}{\cos 2x-2{\sin }^{2}x}=\frac{1-y}{1+y}\frac{2y+1}{2y-1}$ pour $y=\cos 2x$.

$\frac{1-y}{1+y}\frac{2y+1}{2y-1}=-\frac{1}{3}\iff y=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$.

Les solutions sont donc $x=\pm \frac{1}{2}\arccos \frac{1-\sqrt{3}}{2}mod\pi$.

 

Exercice 8-7

Résoudre l'équation :

$\tan \frac{x}{2}=\frac{\tan x-1}{\tan x+1}$.

Solution

$t=\frac{\frac{2t}{1-t^2}-1}{\frac{2t}{1-t^2}+1}\iff t=1$ donc il n'y a pas de solution, car si $\frac{x}{2}\equiv \frac{\pi }{4}mod\pi$ alors $\tan x$ n'est pas défini.

 

Exercice 8-8

Résoudre l'équation :

${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=2\sin x\cos x$.

Solution

Soit $S=2\sin x\cos x=\sin 2x$. Alors,

${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x={({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{S^2}{2}$

donc

${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=2\sin x\cos x\iff S^2+2S-2=0\iff S=-1+\sqrt{3}$

et les solutions sont

$x\equiv \frac{\alpha }{2}\text{ ou }\frac{\pi -\alpha }{2}mod\pi$, avec $\alpha =\arcsin (-1+\sqrt{3})$.

 

Les personnes désirant résoudre plus d'équations trigonométriques peuvent consulter les pages : Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 1 Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 2 Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 3