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Exercice : Résolution d'équationsFonctions trigonométriques/Exercices/Résolution d'équations », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Résoudre l'équation :
sin
x
=
sin
(
π
−
3
x
)
{\displaystyle \sin x=\sin \left(\pi -3x\right)}
Solution
x
≡
π
−
3
x
ou
3
x
mod
2
π
⇔
x
≡
π
4
mod
π
2
ou
0
mod
π
{\displaystyle x\equiv \pi -3x{\text{ ou }}3x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{4}}\mod {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}0\mod \pi }
Résoudre l'équation :
tan
x
=
2
sin
x
{\displaystyle \tan x=2\sin x}
Solution
sin
x
=
0
ou
cos
x
=
1
2
⇔
x
≡
0
mod
π
ou
±
π
3
mod
2
π
{\displaystyle \sin x=0{\text{ ou }}\cos x={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0\mod \pi {\text{ ou }}\pm {\frac {\pi }{3}}\mod 2\pi }
Résoudre et discuter, selon la valeur de
m
{\displaystyle m}
m
cos
x
+
sin
x
+
3
m
−
1
=
0
{\displaystyle m\cos x+\sin x+3m-1=0}
Solution
Voir Trigonométrie/Équations et inéquations trigonométriques#Cas général : cette équation a des solutions si et seulement si
(
3
m
−
1
)
2
≤
m
2
+
1
{\displaystyle \left(3m-1\right)^{2}\leq m^{2}+1}
0
≤
m
≤
3
4
{\displaystyle 0\leq m\leq {\frac {3}{4}}}
arccos
m
m
2
+
1
±
arccos
1
−
3
m
m
2
+
1
mod
2
π
{\displaystyle \arccos {\frac {m}{\sqrt {m^{2}+1}}}\pm \arccos {\frac {1-3m}{\sqrt {m^{2}+1}}}\mod 2\pi }
Résoudre l'équation :
1
+
sin
x
2
=
cos
x
{\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {\sin x}{2}}}}=\cos x}
Solution
cos
x
≥
0
et
sin
x
=
2
(
cos
2
x
−
1
)
⇔
cos
x
≥
0
et
sin
x
=
0
ou
−
1
2
⇔
x
≡
0
ou
−
π
6
mod
2
π
{\displaystyle \cos x\geq 0{\text{ et }}\sin x=2\left(\cos ^{2}x-1\right)\Leftrightarrow \cos x\geq 0{\text{ et }}\sin x=0{\text{ ou }}-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0{\text{ ou }}-{\frac {\pi }{6}}\mod 2\pi }
Résoudre l'équation :
tan
x
tan
5
x
=
1
{\displaystyle \tan x\tan 5x=1}
Solution
5
x
≡
π
2
−
x
mod
π
⇔
x
≡
π
12
mod
π
6
{\displaystyle 5x\equiv {\frac {\pi }{2}}-x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{12}}\mod {\frac {\pi }{6}}}
Résoudre l'équation suivante :
3
tan
x
tan
3
x
+
1
=
0
{\displaystyle 3\tan x\tan 3x+1=0}
Aide
On transformera le premier membre de façon à poser
y
=
cos
2
x
{\displaystyle y=\cos 2x}
.
Solution
tan
x
tan
3
x
=
tan
2
x
cos
2
x
+
2
cos
2
x
cos
2
x
−
2
sin
2
x
=
1
−
y
1
+
y
2
y
+
1
2
y
−
1
{\displaystyle \tan x\tan 3x=\tan ^{2}x\,{\frac {\cos 2x+2\cos ^{2}x}{\cos 2x-2\sin ^{2}x}}={\frac {1-y}{1+y}}\,{\frac {2y+1}{2y-1}}}
y
=
cos
2
x
{\displaystyle y=\cos 2x}
1
−
y
1
+
y
2
y
+
1
2
y
−
1
=
−
1
3
⇔
y
=
1
±
3
2
{\displaystyle {\frac {1-y}{1+y}}\,{\frac {2y+1}{2y-1}}=-{\frac {1}{3}}\Leftrightarrow y={\frac {1\pm {\sqrt {3}}}{2}}}
Les solutions sont donc
x
=
±
1
2
arccos
1
−
3
2
mod
π
{\displaystyle x=\pm {\frac {1}{2}}\arccos {\frac {1-{\sqrt {3}}}{2}}\mod \pi }
Résoudre l'équation :
tan
x
2
=
tan
x
−
1
tan
x
+
1
{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {\tan x-1}{\tan x+1}}}
Solution
t
=
2
t
1
−
t
2
−
1
2
t
1
−
t
2
+
1
⇔
t
=
1
{\displaystyle t={\frac {{\frac {2t}{1-t^{2}}}-1}{{\frac {2t}{1-t^{2}}}+1}}\Leftrightarrow t=1}
x
2
≡
π
4
mod
π
{\displaystyle {\frac {x}{2}}\equiv {\frac {\pi }{4}}\mod \pi }
tan
x
{\displaystyle \tan x}
Résoudre l'équation :
sin
4
x
+
cos
4
x
=
2
sin
x
cos
x
{\displaystyle \sin ^{4}x+\cos ^{4}x=2\sin x\cos x}
Solution
Soit
S
=
2
sin
x
cos
x
=
sin
2
x
{\displaystyle S=2\sin x\cos x=\sin 2x}
sin
4
x
+
cos
4
x
=
(
sin
2
x
+
cos
2
x
)
2
−
2
sin
2
x
cos
2
x
=
1
−
S
2
2
{\displaystyle \sin ^{4}x+\cos ^{4}x=\left(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\right)^{2}-2\sin ^{2}x\cos ^{2}x=1-{\frac {S^{2}}{2}}}
donc
sin
4
x
+
cos
4
x
=
2
sin
x
cos
x
⇔
S
2
+
2
S
−
2
=
0
⇔
S
=
−
1
+
3
{\displaystyle \sin ^{4}x+\cos ^{4}x=2\sin x\cos x\Leftrightarrow S^{2}+2S-2=0\Leftrightarrow S=-1+{\sqrt {3}}}
et les solutions sont
x
≡
α
2
ou
π
−
α
2
mod
π
{\displaystyle x\equiv {\frac {\alpha }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi -\alpha }{2}}\mod \pi }
α
=
arcsin
(
−
1
+
3
)
{\displaystyle \alpha =\arcsin \left(-1+{\sqrt {3}}\right)}
Les personnes désirant résoudre plus d'équations trigonométriques peuvent consulter les pages :
