Fonctions trigonométriques/Exercices/Résolution de systèmes

Exercice 9-1

Résoudre le système :

${\begin{cases}\sin x+\sin y=1\\\sin x\sin y=0{,}2.\end{cases}}$

Solution

$z^{2}-z+{\frac {1}{5}}=0\Leftrightarrow z={\frac {1\pm {\frac {1}{\sqrt {5}}}}{2}}={\frac {5\pm {\sqrt {5}}}{10}}$.

Soient $\alpha =\arcsin {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}$ et $\beta =\arcsin {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}$.

Les solutions $\{x,y\}$ sont les paires $\{\alpha ',\beta '\}$ avec $\alpha '\equiv \alpha {\text{ ou }}\pi -\alpha$ et $\beta '\equiv \beta {\text{ ou }}\pi -\beta {\pmod {2\pi }}$.

 

Exercice 9-2

Résoudre le système :

${\begin{cases}\sin ^{2}x+\sin ^{2}y=0{,}3\\\cos ^{2}x+\cos ^{2}y=0{,}7.\end{cases}}$

Solution

Ce système n'a pas de solution, car $\sin ^{2}x+\sin ^{2}y+\cos ^{2}x+\cos ^{2}y=2\neq 0{,}3+0{,}7$.

 

Exercice 9-3

Résoudre le système :

${\begin{cases}\sin x+\sin y=1\\\cos x\cos y=-{\frac {3}{4}}.\end{cases}}$

Solution

En notant $u=\sin x$, $v=\sin y$ et $P=uv$, ce système équivaut, outre la condition $\cos x\cos y<0$, à

$u+v=1{\text{ et }}\left(1-u^{2}\right)\left(1-v^{2}\right)={\frac {9}{16}}$

ou encore :

$u+v=1{\text{ et }}P^{2}+2P-{\frac {9}{16}}=0$.

Puisque $|P|\leq 1$, la solution $P=-{\frac {9}{4}}$ est exclue, donc $P={\frac {1}{4}}$, donc $u=v={\frac {1}{2}}$.

Finalement (compte tenu de la condition $\cos x\cos y<0$) la solution du système est donc $\{x,y\}=\left\{{\frac {\pi }{6}},{\frac {5\pi }{6}}\right\}{\pmod {2\pi }}$.

 

Exercice 9-4

Résoudre le système :

${\begin{cases}x+y={\frac {\pi }{3}}\\\sin 2y=\sin x.\end{cases}}$

Solution

$\sin 2\left({\frac {\pi }{3}}-x\right)=\sin x\Leftrightarrow \tan x=-{\sqrt {3}}$ donc les solutions sont $\left(-{\frac {\pi }{3}}+k\pi ,{\frac {2\pi }{3}}-k\pi \right),\quad k\in \mathbb {Z}$.

 

Exercice 9-5

Résoudre le système :

${\begin{cases}\tan x+\tan 2y=0\\\sin 2x-\sin y=0.\end{cases}}$

Solution

La première équation équivaut à $x\equiv -2y\mod \pi$ et la seconde à $2x\equiv y{\text{ ou }}\pi -y\mod 2\pi$, soit $x\equiv {\frac {y}{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{2}}-{\frac {y}{2}}\mod \pi$.

$-2y={\frac {y}{2}}-k\pi \Leftrightarrow y={\frac {2k\pi }{5}}$, et $-2y={\frac {\pi }{2}}-{\frac {y}{2}}-k\pi \Leftrightarrow y={\frac {(2k-1)\pi }{3}}$.

Les solutions sont donc $\left({\frac {k\pi }{5}}+\ell \pi ,{\frac {2k\pi }{5}}\right)$ et $\left({\frac {(2k-1)\pi }{3}}+\ell \pi ,{\frac {(2k-1)\pi }{3}}\right)$ avec $k,\ell \in \mathbb {Z}$.

 

Exercice 9-6

Résoudre le système :

${\begin{cases}\sin \pi x=\cos \pi y\\\tan 3\pi x=\tan 5\pi y.\end{cases}}$

Solution

La première équation équivaut à $x={\frac {1}{2}}\pm y+2k,\quad k\in \mathbb {Z}$ et la seconde à $3x-5y\in \mathbb {Z}$.

$3\left({\frac {1}{2}}+y+2k\right)-5y\in \mathbb {Z} \Leftrightarrow y={\frac {1}{4}}+{\frac {\ell }{2}},\quad \ell \in \mathbb {Z}$, et $3\left({\frac {1}{2}}-y+2k\right)-5y\in \mathbb {Z} \Leftrightarrow y={\frac {1}{16}}+{\frac {\ell }{8}},\quad \ell \in \mathbb {Z}$.

Les solutions sont donc $\left({\frac {3}{4}}+{\frac {\ell }{2}}+2k,{\frac {1}{4}}+{\frac {\ell }{2}}\right)$ et $\left({\frac {7}{16}}-{\frac {\ell }{8}}+2k,{\frac {1}{16}}+{\frac {\ell }{8}}\right)$ avec $k,\ell \in \mathbb {Z}$.

 

Exercice 9-7

Résoudre le système :

${\begin{cases}2x+3y=\pi \\\sin x=\sin y.\end{cases}}$

Solution

${\frac {\pi -3y}{2}}=\left[y-2k\pi {\text{ ou }}\pi -y-2k\pi \right]\Leftrightarrow y=\left[{\frac {(1+4k)\pi }{5}}{\text{ ou }}(4k-1)\pi \right]$.

Les solutions sont donc $\left({\frac {(1-6k)\pi }{5}},{\frac {(1+4k)\pi }{5}}\right)$ et $\left(2(1-3k)\pi ,(4k-1)\pi \right),\quad k\in \mathbb {Z}$.

 

Exercice 9-8

Résoudre le système :

${\begin{cases}\tan 2x=\tan y\\\cos x=\cos y.\end{cases}}$

Solution

La première équation équivaut à $y=2x+k\pi ,\quad k\in \mathbb {Z}$ et la seconde à $y\equiv \pm x\mod 2\pi$.

$2x+k\pi \equiv x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv -k\pi \mod 2\pi$, et

$2x+k\pi \equiv -x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv -{\frac {k\pi }{3}}\mod {\frac {2\pi }{3}}$.

Les solutions sont donc $\left((2\ell -k)\pi ,(4\ell -k)\pi \right)$ et $\left({\frac {(2\ell -k)\pi }{3}},{\frac {(4\ell +k)\pi }{3}}\right)$ avec $k,\ell \in \mathbb {Z}$, ou simplement les couples du second type, puisqu'ils incluent ceux du premier.

 

Exercice 9-9

Résoudre le système :

${\begin{cases}x+y={\frac {4\pi }{3}}\\\cos x+\cos y=-{\frac {1}{2}}.\end{cases}}$

Solution

$\cos x+\cos \left({\frac {4\pi }{3}}-x\right)=\cos \left(x+{\frac {\pi }{3}}\right)$ et $-{\frac {1}{2}}=\cos {\frac {2\pi }{3}}$.

Les solutions $\{x,y\}$ sont donc $\left\{{\frac {\pi }{3}}+2k\pi ,\pi -2k\pi \right\}$, avec $k\in \mathbb {Z}$.

 

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