Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 1

Exercice 6-1

Résoudre les équations :

1°  $\cos \left(x+{\frac {\pi }{6}}\right)\cos \left(x-{\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}$ ;

2°  $\sin \left(2x+{\frac {\pi }{6}}\right)\sin \left(2x-{\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}$ ;

3°  $\cos \left(2x+{\frac {\pi }{3}}\right)+\cos \left(2x-{\frac {\pi }{3}}\right)=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ;

4°  $\cos \left(2x-{\frac {\pi }{3}}\right)-\cos 2x={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ;

5°  $\cos \left(x+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(x+{\frac {\pi }{6}}\right)=-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}$ ;

6°  $\sin \left(x+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(x-{\frac {\pi }{3}}\right)=-{\frac {1}{2}}$.

Solution

1°  $\cos \left(x+{\frac {\pi }{6}}\right)\cos \left(x-{\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow \cos 2x+\cos {\frac {\pi }{3}}=1\Leftrightarrow \cos 2x={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv \pm {\frac {\pi }{6}}\mod \pi$.

2°  $\sin \left(2x+{\frac {\pi }{6}}\right)\sin \left(2x-{\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow \cos {\frac {\pi }{3}}-\cos 4x=1\Leftrightarrow \cos 4x=-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv \pm {\frac {\pi }{6}}\mod {\frac {\pi }{2}}$.

3°  $\cos \left(2x+{\frac {\pi }{3}}\right)+\cos \left(2x-{\frac {\pi }{3}}\right)=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\Leftrightarrow {\cancel {2\cos {\frac {\pi }{3}}}}\cos 2x=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\Leftrightarrow x\equiv \pm {\frac {5\pi }{12}}\mod \pi$.

4°  $\cos \left(2x-{\frac {\pi }{3}}\right)-\cos 2x={\frac {\sqrt {3}}{2}}\Leftrightarrow {\cancel {2\sin {\frac {\pi }{6}}}}\sin \left(2x-{\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}\Leftrightarrow 2x-{\frac {\pi }{6}}\in \{{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {2\pi }{3}}\}+2\pi \mathbb {Z} \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{4}}{\text{ ou }}{\frac {5\pi }{12}}\mod \pi$.

5°  $\cos \left(x+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(x+{\frac {\pi }{6}}\right)=-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}\Leftrightarrow \sin \left(2x+{\frac {\pi }{2}}\right)={\cancel {\sin {\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{2}}}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\Leftrightarrow 2x+{\frac {\pi }{2}}\in \{-{\tfrac {\pi }{3}},-{\tfrac {2\pi }{3}}\}+2\pi \mathbb {Z} \Leftrightarrow x\equiv -{\frac {5\pi }{12}}{\text{ ou }}-{\frac {7\pi }{12}}\mod \pi$.

6°  $\sin \left(x+{\frac {\pi }{3}}\right)\sin \left(x-{\frac {\pi }{3}}\right)=-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow \cos {\frac {2\pi }{3}}-\cos 2x=-1\Leftrightarrow \cos 2x={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv \pm {\frac {\pi }{6}}\mod \pi$.

 

Exercice 6-2

Trouver tous les réels $x$ de l'intervalle $\left[0,2\pi \right]$ tels que :

1°  $\cos 4x\cos x+\sin 4x\sin x=\cos {\frac {\pi }{12}}$ ;

2°  $\cos 7x\cos x+\sin 7x\sin x=\cos {\frac {\pi }{12}}$.

Solution

1°  $\cos 4x\cos x+\sin 4x\sin x=\cos {\frac {\pi }{12}}\Leftrightarrow \cos 3x=\cos {\frac {\pi }{12}}\Leftrightarrow x\equiv \pm {\frac {\pi }{36}}\mod {\frac {2\pi }{3}}$.

Les 6 solutions dans $\left[0,2\pi \right]$ sont donc : ${\frac {\pi }{36}},{\frac {23\pi }{36}},{\frac {25\pi }{36}},{\frac {47\pi }{36}},{\frac {49\pi }{36}},{\frac {71\pi }{36}}$.

2°  $\cos 7x\cos x+\sin 7x\sin x=\cos {\frac {\pi }{12}}\Leftrightarrow \cos 6x=\cos {\frac {\pi }{12}}\Leftrightarrow x\equiv \pm {\frac {\pi }{72}}\mod {\frac {\pi }{3}}$.

Les 12 solutions dans $\left[0,2\pi \right]$ sont donc : ${\frac {\pi }{72}},{\frac {23\pi }{72}},{\frac {25\pi }{72}},{\frac {47\pi }{72}},{\frac {49\pi }{72}},{\frac {71\pi }{72}},{\frac {73\pi }{72}},{\frac {95\pi }{72}},{\frac {97\pi }{72}},{\frac {119\pi }{72}},{\frac {121\pi }{72}},{\frac {143\pi }{72}}$.

 

Exercice 6-3

Trouver tous les réels $x$ de l'intervalle $[0,\,2\pi ]$ tels que :

$\sin 5x\cos x-\cos 5x\sin x={\frac {1}{\sqrt {2}}}$.

Solution

$\sin 4x=\sin {\frac {\pi }{4}}\Leftrightarrow 4x\in \{{\tfrac {\pi }{4}},{\tfrac {3\pi }{4}}\}+2\pi \mathbb {Z} \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{16}}{\text{ ou }}{\frac {3\pi }{16}}\mod {\frac {\pi }{2}}$.

Les 8 solutions dans $\left[0,2\pi \right]$ sont donc : ${\frac {\pi }{16}},{\frac {3\pi }{16}},{\frac {5\pi }{16}},{\frac {7\pi }{16}},{\frac {9\pi }{16}},{\frac {11\pi }{16}},{\frac {13\pi }{16}},{\frac {15\pi }{16}}$.

 

Exercice 6-4

Résoudre les équations :

1. $\sin x+\cos x=1$ ;
2. $\sin x+\cos x={\sqrt {2}}$ ;
3. $\sin x+{\sqrt {3}}\cos x={\sqrt {2}}$.

Solution

On applique le cours (cas général) :

1. $a=b=c=1,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {2}},a'=c'={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos {\frac {\pi }{4}},b'={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sin {\frac {\pi }{4}}$.
   $\sin x+\cos x=1\Leftrightarrow \cos \left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)=\cos {\frac {\pi }{4}}\Leftrightarrow x-{\frac {\pi }{4}}\equiv \pm {\frac {\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{2}}$ ou $0{\bmod {2\pi }}$.
2. $a=b=1,c={\sqrt {2}},{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {2}},a'={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos {\frac {\pi }{4}},b'={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sin {\frac {\pi }{4}},c'=1=\cos 0$.
   $\sin x+\cos x={\sqrt {2}}\Leftrightarrow \cos \left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)=\cos 0\Leftrightarrow x-{\frac {\pi }{4}}\equiv 0{\bmod {2\pi }}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}$.
3. $a=1,b={\sqrt {3}},c={\sqrt {2}},{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=2,a'={\frac {1}{2}}=\cos {\frac {\pi }{3}},b'={\frac {\sqrt {3}}{2}}=\sin {\frac {\pi }{3}},c'={\frac {\sqrt {2}}{2}}=\cos {\frac {\pi }{4}}$.
   $\sin x+{\sqrt {3}}\cos x={\sqrt {2}}\Leftrightarrow \cos \left(x-{\frac {\pi }{3}}\right)=\cos {\frac {\pi }{4}}\Leftrightarrow x-{\frac {\pi }{3}}\equiv \pm {\frac {\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {7\pi }{12}}$ ou ${\frac {\pi }{12}}{\bmod {2\pi }}$.

 

Exercice 6-5

L'équation du second degré :

$x^{2}-5x+3=0$

possède deux solutions réelles $s$ et $t$.

Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $s=\tan \alpha$ et $t=\tan \beta$.

Sans calculer $s$ et $t$, calculer $\tan(\alpha +\beta )$.

Solution

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {s+t}{1-st}}={\frac {5}{1-3}}=-{\frac {5}{2}}$.

 

Exercice 6-6

Lorsque $p^{2}-4q>0$, le trinôme $x^{2}+px+q$ admet deux racines réelles $s$ et $t$.

Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $s=\tan \alpha$ et $t=\tan \beta$.

Calculer en fonction de $p$ et $q$ l'expression :

$\sin ^{2}(\alpha +\beta )+p\sin(\alpha +\beta )\cos(\alpha +\beta )+q\cos ^{2}(\alpha +\beta )$.

Solution

$u:=\tan(\alpha +\beta )={\frac {s+t}{1-st}}={\frac {p}{q-1}}$.

$\sin ^{2}(\alpha +\beta )+p\sin(\alpha +\beta )\cos(\alpha +\beta )+q\cos ^{2}(\alpha +\beta )={\frac {u^{2}+pu+q}{1+u^{2}}}={\frac {p^{2}+p^{2}(q-1)+q(q-1)^{2}}{(q-1)^{2}+p^{2}}}=q$.

 

Exercice 6-7

Résoudre les équations :

1°  $\sin x+2\cos x+\sin 3x=0$ ;

2°  $\cos x+\cos 3x=\sin x+\sin 3x$.

Solution

1°  $2\cos x\left(1+\sin 2x\right)=0\Leftrightarrow \cos x=0{\text{ ou }}\sin 2x=-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}-{\frac {\pi }{12}}{\text{ ou }}-{\frac {5\pi }{12}}\mod \pi$.

2°  $2\cos 2x\cos x=2\sin 2x\cos x\Leftrightarrow \cos x=0{\text{ ou }}\cos 2x=\sin 2x\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{2}}\mod \pi {\text{ ou }}x\equiv {\frac {\pi }{8}}\mod {\frac {\pi }{2}}$.

 

Exercice 6-8

Résoudre l'équation :

$\cos ^{2}x-{\sqrt {3}}\sin x\cos x=0$.

Solution

$\cos x=0{\text{ ou }}\tan x={\frac {1}{\sqrt {3}}}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{6}}\mod \pi$.