Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 1

Exercice 6-1

Résoudre les équations :

1°  $\cos (x+\frac{\pi }{6})\cos (x-\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$ ;

2°  $\sin (2x+\frac{\pi }{6})\sin (2x-\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$ ;

3°  $\cos (2x+\frac{\pi }{3})+\cos (2x-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

4°  $\cos (2x-\frac{\pi }{3})-\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

5°  $\cos (x+\frac{\pi }{3})\sin (x+\frac{\pi }{6})=-\frac{\sqrt{3}+1}{4}$ ;

6°  $\sin (x+\frac{\pi }{3})\sin (x-\frac{\pi }{3})=-\frac{1}{2}$.

Solution

1°  $\cos (x+\frac{\pi }{6})\cos (x-\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}\iff \cos 2x+\cos \frac{\pi }{3}=1\iff \cos 2x=\frac{1}{2}\iff x\equiv \pm \frac{\pi }{6}mod\pi$.

2°  $\sin (2x+\frac{\pi }{6})\sin (2x-\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}\iff \cos \frac{\pi }{3}-\cos 4x=1\iff \cos 4x=-\frac{1}{2}\iff x\equiv \pm \frac{\pi }{6}mod\frac{\pi }{2}$.

3°  $\cos (2x+\frac{\pi }{3})+\cos (2x-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \cancel{2\cos \frac{\pi }{3}}\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x\equiv \pm \frac{5\pi }{12}mod\pi$.

4°  $\cos (2x-\frac{\pi }{3})-\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \cancel{2\sin \frac{\pi }{6}}\sin (2x-\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff 2x-\frac{\pi }{6}\in \{\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\}+2\pi \mathbb{Z}\iff x\equiv \frac{\pi }{4}\text{ ou }\frac{5\pi }{12}mod\pi$.

5°  $\cos (x+\frac{\pi }{3})\sin (x+\frac{\pi }{6})=-\frac{\sqrt{3}+1}{4}\iff \sin (2x+\frac{\pi }{2})=\cancel{\sin \frac{\pi }{6}-\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2}\iff 2x+\frac{\pi }{2}\in \{-\frac{\pi }{3},-\frac{2\pi }{3}\}+2\pi \mathbb{Z}\iff x\equiv -\frac{5\pi }{12}\text{ ou }-\frac{7\pi }{12}mod\pi$.

6°  $\sin (x+\frac{\pi }{3})\sin (x-\frac{\pi }{3})=-\frac{1}{2}\iff \cos \frac{2\pi }{3}-\cos 2x=-1\iff \cos 2x=\frac{1}{2}\iff x\equiv \pm \frac{\pi }{6}mod\pi$.

 

Exercice 6-2

Trouver tous les réels $x$ de l'intervalle $[0,2\pi ]$ tels que :

1°  $\cos 4x\cos x+\sin 4x\sin x=\cos \frac{\pi }{12}$ ;

2°  $\cos 7x\cos x+\sin 7x\sin x=\cos \frac{\pi }{12}$.

Solution

1°  $\cos 4x\cos x+\sin 4x\sin x=\cos \frac{\pi }{12}\iff \cos 3x=\cos \frac{\pi }{12}\iff x\equiv \pm \frac{\pi }{36}mod\frac{2\pi }{3}$.

Les 6 solutions dans $[0,2\pi ]$ sont donc : $\frac{\pi }{36},\frac{23\pi }{36},\frac{25\pi }{36},\frac{47\pi }{36},\frac{49\pi }{36},\frac{71\pi }{36}$.

2°  $\cos 7x\cos x+\sin 7x\sin x=\cos \frac{\pi }{12}\iff \cos 6x=\cos \frac{\pi }{12}\iff x\equiv \pm \frac{\pi }{72}mod\frac{\pi }{3}$.

Les 12 solutions dans $[0,2\pi ]$ sont donc : $\frac{\pi }{72},\frac{23\pi }{72},\frac{25\pi }{72},\frac{47\pi }{72},\frac{49\pi }{72},\frac{71\pi }{72},\frac{73\pi }{72},\frac{95\pi }{72},\frac{97\pi }{72},\frac{119\pi }{72},\frac{121\pi }{72},\frac{143\pi }{72}$.

 

Exercice 6-3

Trouver tous les réels $x$ de l'intervalle $[0,2\pi ]$ tels que :

$\sin 5x\cos x-\cos 5x\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Solution

$\sin 4x=\sin \frac{\pi }{4}\iff 4x\in \{\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\}+2\pi \mathbb{Z}\iff x\equiv \frac{\pi }{16}\text{ ou }\frac{3\pi }{16}mod\frac{\pi }{2}$.

Les 8 solutions dans $[0,2\pi ]$ sont donc : $\frac{\pi }{16},\frac{3\pi }{16},\frac{5\pi }{16},\frac{7\pi }{16},\frac{9\pi }{16},\frac{11\pi }{16},\frac{13\pi }{16},\frac{15\pi }{16}$.

 

Exercice 6-4

Résoudre les équations :

1. $\sin x+\cos x=1$ ;
2. $\sin x+\cos x=\sqrt{2}$ ;
3. $\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{2}$.

Solution

On applique le cours (cas général) :

1. $a=b=c=1,\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2},a^{\prime }=c^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \frac{\pi }{4},b^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi }{4}$.
   $\sin x+\cos x=1\iff \cos (x-\frac{\pi }{4})=\cos \frac{\pi }{4}\iff x-\frac{\pi }{4}\equiv \pm \frac{\pi }{4}mod2\pi \iff x\equiv \frac{\pi }{2}$ ou $0mod2\pi$.
2. $a=b=1,c=\sqrt{2},\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2},a^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \frac{\pi }{4},b^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi }{4},c^{\prime }=1=\cos 0$.
   $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\iff \cos (x-\frac{\pi }{4})=\cos 0\iff x-\frac{\pi }{4}\equiv 0mod2\pi \iff x\equiv \frac{\pi }{4}mod2\pi$.
3. $a=1,b=\sqrt{3},c=\sqrt{2},\sqrt{a^2+b^2}=2,a^{\prime }=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3},b^{\prime }=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3},c^{\prime }=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}$.
   $\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{2}\iff \cos (x-\frac{\pi }{3})=\cos \frac{\pi }{4}\iff x-\frac{\pi }{3}\equiv \pm \frac{\pi }{4}mod2\pi \iff x\equiv \frac{7\pi }{12}$ ou $\frac{\pi }{12}mod2\pi$.

 

Exercice 6-5

L'équation du second degré :

$x^2-5x+3=0$

possède deux solutions réelles $s$ et $t$.

Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $s=\tan \alpha$ et $t=\tan \beta$.

Sans calculer $s$ et $t$, calculer $\tan (\alpha +\beta )$.

Solution

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{s+t}{1-st}=\frac{5}{1-3}=-\frac{5}{2}$.

 

Exercice 6-6

Lorsque $p^2-4q>0$, le trinôme $x^2+px+q$ admet deux racines réelles $s$ et $t$.

Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $s=\tan \alpha$ et $t=\tan \beta$.

Calculer en fonction de $p$ et $q$ l'expression :

${\sin }^2(\alpha +\beta )+p\sin (\alpha +\beta )\cos (\alpha +\beta )+q{\cos }^2(\alpha +\beta )$.

Solution

$u:=\tan (\alpha +\beta )=\frac{s+t}{1-st}=\frac{p}{q-1}$.

${\sin }^2(\alpha +\beta )+p\sin (\alpha +\beta )\cos (\alpha +\beta )+q{\cos }^2(\alpha +\beta )=\frac{u^2+pu+q}{1+u^2}=\frac{p^2+p^2(q-1)+q(q-1{)}^2}{(q-1{)}^2+p^2}=q$.

 

Exercice 6-7

Résoudre les équations :

1°  $\sin x+2\cos x+\sin 3x=0$ ;

2°  $\cos x+\cos 3x=\sin x+\sin 3x$.

Solution

1°  $2\cos x(1+\sin 2x)=0\iff \cos x=0\text{ ou }\sin 2x=-\frac{1}{2}\iff x\equiv \frac{\pi }{2}\text{ ou }-\frac{\pi }{12}\text{ ou }-\frac{5\pi }{12}mod\pi$.

2°  $2\cos 2x\cos x=2\sin 2x\cos x\iff \cos x=0\text{ ou }\cos 2x=\sin 2x\iff x\equiv \frac{\pi }{2}mod\pi \text{ ou }x\equiv \frac{\pi }{8}mod\frac{\pi }{2}$.

 

Exercice 6-8

Résoudre l'équation :

${\cos }^{2}x-\sqrt{3}\sin x\cos x=0$.

Solution

$\cos x=0\text{ ou }\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}\iff x\equiv \frac{\pi }{2}\text{ ou }\frac{\pi }{6}mod\pi$.