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Définition
Une fonction polynôme du second degré, ou trinôme, est donnée par une formule du type :
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
où a , b et c sont des coefficients et où a est non nul.
Début de l'exemple
Être ou ne pas être une fonction trinôme
Fin de l'exemple
Début d’un théorème
Théorème
La représentation graphique d'une fonction trinôme est toujours une parabole .
Le sommet est en bas si a est positif.
Le sommet est en haut si a est négatif.
Fin du théorème
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Définition
Les racines d'une fonction trinôme f sont les solutions de l'équation f(x) = 0 .
Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l’axe horizontal des abscisses.
Début d’un théorème
Fin du théorème
On a donc six possibilités :
Si
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
Si
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
Si
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
Si a > 0
Deux racines réelles
Une racine double
Pas de racine réelle
Si a < 0
Deux racines réelles
Une racine double
Pas de racine réelle
Début de l'exemple
Trouver les racines d'un trinôme
Calculer d’abord le discriminant puis les racines des trinômes suivants. Vérifier la cohérence des résultats avec les courbes tracées plus haut.
f
1
(
x
)
=
2
x
2
+
3
x
+
1
{\displaystyle f_{1}(x)=2x^{2}+3x+1}
f
2
(
x
)
=
x
2
−
2
x
+
2
{\displaystyle f_{2}(x)=x^{2}-2x+2}
f
3
(
x
)
=
−
x
2
+
3
{\displaystyle f_{3}(x)=-x^{2}+3}
f
4
(
x
)
=
−
3
x
2
−
x
{\displaystyle f_{4}(x)=-3x^{2}-x}
Solution de
f
1
{\displaystyle f_{1}}
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}
Δ
=
3
2
−
4
×
2
×
1
=
9
−
8
=
1
{\displaystyle \Delta =3^{2}-4\times 2\times 1=9-8=1}
Δ
=
1
>
0
{\displaystyle \Delta =1>0}
il y a donc 2 racines réelles
x
1
e
t
x
2
{\displaystyle x_{1}etx_{2}}
{
x
1
=
−
b
+
Δ
2
a
x
2
=
−
b
−
Δ
2
a
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\end{cases}}}
{
x
1
=
−
3
+
1
2
×
2
x
2
=
−
3
−
1
2
×
2
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {-3+{\sqrt {1}}}{2\times 2}}\\x_{2}={\frac {-3-{\sqrt {1}}}{2\times 2}}\end{cases}}}
{
x
1
=
−
2
4
x
2
=
−
4
4
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {-2}{4}}\\x_{2}={\frac {-4}{4}}\end{cases}}}
{
x
1
=
−
1
2
x
2
=
−
1
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=-{\frac {1}{2}}\\x_{2}=-1\end{cases}}}
Solution de
f
2
{\displaystyle f_{2}}
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}
Δ
=
(
−
2
)
2
−
4
×
1
×
2
=
4
−
8
=
−
4
{\displaystyle \Delta =(-2)^{2}-4\times 1\times 2=4-8=-4}
Δ
=
−
4
<
0
{\displaystyle \Delta =-4<0}
Il y a donc pas de racine réelle.
Solution de
f
3
{\displaystyle f_{3}}
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}
Δ
=
0
2
−
4
×
(
−
1
)
×
3
=
12
{\displaystyle \Delta =0^{2}-4\times (-1)\times 3=12}
Δ
=
12
>
0
{\displaystyle \Delta =12>0}
il y a donc 2 racines réelles
x
1
e
t
x
2
{\displaystyle x_{1}etx_{2}}
{
x
1
=
−
b
+
Δ
2
a
x
2
=
−
b
−
Δ
2
a
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\end{cases}}}
{
x
1
=
−
(
0
)
+
12
2
×
(
−
1
)
x
2
=
−
(
0
)
−
12
2
×
(
−
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {-(0)+{\sqrt {12}}}{2\times (-1)}}\\x_{2}={\frac {-(0)-{\sqrt {12}}}{2\times (-1)}}\end{cases}}}
{
x
1
=
2
3
−
2
x
2
=
−
2
3
−
2
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {2{\sqrt {3}}}{-2}}\\x_{2}={\frac {-2{\sqrt {3}}}{-2}}\end{cases}}}
{
x
1
=
−
3
x
2
=
3
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=-{\sqrt {3}}\\x_{2}={\sqrt {3}}\end{cases}}}
Solution de
f
4
{\displaystyle f_{4}}
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}
Δ
=
(
−
1
)
2
−
4
×
(
−
3
)
×
0
=
1
{\displaystyle \Delta =(-1)^{2}-4\times (-3)\times 0=1}
Δ
=
1
>
0
{\displaystyle \Delta =1>0}
il y a donc 2 racines réelles
x
1
e
t
x
2
{\displaystyle x_{1}etx_{2}}
{
x
1
=
−
b
+
Δ
2
a
x
2
=
−
b
−
Δ
2
a
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\end{cases}}}
{
x
1
=
−
(
−
1
)
+
1
2
×
(
−
3
)
x
2
=
−
(
−
1
)
−
1
2
×
(
−
3
)
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {-(-1)+{\sqrt {1}}}{2\times (-3)}}\\x_{2}={\frac {-(-1)-{\sqrt {1}}}{2\times (-3)}}\end{cases}}}
{
x
1
=
2
−
6
x
2
=
0
−
6
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {2}{-6}}\\x_{2}={\frac {0}{-6}}\end{cases}}}
{
x
1
=
−
1
3
x
2
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=-{\frac {1}{3}}\\x_{2}=0\end{cases}}}
Fin de l'exemple
Théorème : Le tableau de variations dépend du signe de a
Si a est positif
x
−
∞
{\displaystyle -\infty }
−
b
2
a
{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
f
+
∞
{\displaystyle +\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
↘
{\displaystyle \searrow }
↗
{\displaystyle \nearrow }
4
a
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}
Si a est négatif
x
−
∞
{\displaystyle -\infty }
−
b
2
a
{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
f
4
a
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}
↗
{\displaystyle \nearrow }
↘
{\displaystyle \searrow }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
Remarques : L'abscisse de l'extremum
−
b
2
a
{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}
La valeur de l'extremum
4
a
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}
Début de l'exemple
Construire le tableau de variations d'une fonction trinôme
Donner les tableaux de variations des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment.
f
1
(
x
)
=
2
x
2
+
3
x
+
1
{\displaystyle f_{1}(x)=2x^{2}+3x+1}
f
2
(
x
)
=
x
2
−
2
x
+
2
{\displaystyle f_{2}(x)=x^{2}-2x+2}
f
3
(
x
)
=
−
x
2
+
3
{\displaystyle f_{3}(x)=-x^{2}+3}
f
4
(
x
)
=
−
3
x
2
−
x
{\displaystyle f_{4}(x)=-3x^{2}-x}
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. Comment faire ?
Dresser le tableau de variations de l'application
p
:
x
↦
x
2
+
3
x
+
1
{\displaystyle p:x\mapsto x^{2}+3x+1}
Solution
∀
x
∈
R
p
′
(
x
)
=
2
x
+
3
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad p'(x)=2x+3}
Tableau des variations de
p
{\displaystyle p}
Fin de l'exemple
En combinant la connaissance des racines et celle du tableau de variations, on obtient le tableau de signe d'un trinôme. Il y a six possibilités.
Théorème :
Si
△
=
0
{\displaystyle \triangle =0}
Si a est positif
x
−
∞
{\displaystyle -\infty }
−
b
2
a
{\displaystyle {\frac {-b}{2a}}}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
f
+
{\displaystyle +}
0
{\displaystyle 0}
+
{\displaystyle +}
Si a est négatif
x
−
∞
{\displaystyle -\infty }
−
b
2
a
{\displaystyle {\frac {-b}{2a}}}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
f
−
{\displaystyle -}
0
{\displaystyle 0}
−
{\displaystyle -}
Si
△
>
0
{\displaystyle \triangle >0}
Si a est positif
x
−
∞
{\displaystyle -\infty }
−
b
−
Δ
2
a
{\displaystyle {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}
−
b
+
Δ
2
a
{\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
f
+
{\displaystyle +}
0
{\displaystyle 0}
−
{\displaystyle -}
0
{\displaystyle 0}
+
{\displaystyle +}
Si a est négatif
x
−
∞
{\displaystyle -\infty }
−
b
−
Δ
2
a
{\displaystyle {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}
−
b
+
Δ
2
a
{\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
f
−
{\displaystyle -}
0
{\displaystyle 0}
+
{\displaystyle +}
0
{\displaystyle 0}
−
{\displaystyle -}
Si
△
<
0
{\displaystyle \triangle <0}
Si a est positif
x
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
f
+
{\displaystyle +}
Si a est négatif
x
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
f
−
{\displaystyle -}
Début de l'exemple
Construire le tableau de signe d'une fonction trinôme
Fin de l'exemple
Quand un trinôme possède deux racines
x
1
e
t
x
2
{\displaystyle x_{1}\ et\ x_{2}}
Début d’un théorème
Théorème
x
1
+
x
2
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}
x
1
x
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème
Quand un trinôme possède deux racines
x
1
e
t
x
2
{\displaystyle x_{1}\ et\ x_{2}}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})}
.
Fin du théorème
Début de l'exemple
Factoriser un trinôme
Factoriser, lorsque c’est possible, les trinômes suivants.
f
1
(
x
)
=
2
x
2
+
3
x
+
1
{\displaystyle f_{1}(x)=2x^{2}+3x+1}
f
2
(
x
)
=
x
2
−
2
x
+
2
{\displaystyle f_{2}(x)=x^{2}-2x+2}
f
3
(
x
)
=
−
x
2
+
3
{\displaystyle f_{3}(x)=-x^{2}+3}
f
4
(
x
)
=
−
3
x
2
−
x
{\displaystyle f_{4}(x)=-3x^{2}-x}
Solution de
f
1
{\displaystyle f_{1}}
2
(
x
+
1
2
)
(
x
+
1
)
{\displaystyle 2(x+{\frac {1}{2}})(x+1)}
Solution de
f
2
{\displaystyle f_{2}}
Δ < 0. Il n'y a donc pas de racines réelles, donc pas de factorisation réelle possible.
Solution de
f
3
{\displaystyle f_{3}}
−
(
x
−
3
)
(
x
+
3
)
{\displaystyle -(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})}
Solution de
f
4
{\displaystyle f_{4}}
x(-3x-1)
Fin de l'exemple
Référents
Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant ce cours :
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Faites ces exercices : Un trinôme issu d'une situation géométrique.
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