Équations et fonctions du second degré/Inéquations du second degré

**Inéquations du second degré**
Leçon : Équations et fonctions du second degré

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Équations du second degré
Chap. suiv. :	Factorisation d'un trinôme

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Équations et fonctions du second degré/Inéquations du second degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ce chapitre traite de l'étude des inéquations du second degré, comme $(I)~:~2x^{2}-3x+1\leq 0$ d'inconnue x.

Signe d'un trinôme

Résolution d'une inéquation du second degré

On sait, pour une fonction trinôme donnée, déterminer :

ses variations
ses racines

À partir de ces renseignements, on peut établir le tableau de signes de la fonction trinôme.

Soit f le polynôme tel que f(x) = ax² + bx + c et soit Δ son discriminant.

1^er cas : Δ > 0, on a deux racines x₁ et x₂ où x₁ < x₂.

valeurs de x

−∞ x₁ x₂ +∞

signe de f(x)

signe de a 0 opposé du signe de a 0 signe de a
2^e cas : Δ = 0, on a une racine double x₀.

valeurs de x

−∞ x₀ +∞

signe de f(x)

signe de a 0 signe de a
3e cas : Δ < 0, on n'a aucune racine réelle.

valeurs de x

−∞ +∞

signe de f(x)

signe de a

Pour étudier le signe d'un trinôme du second degré, il suffit juste de connaitre ses racines. Il est inutile de le factoriser.
Le lien entre graphique et expression algébrique : étudier le signe d'une expression f(x) revient à déterminer la position de la courbe représentative de f par rapport à l'axe des abscisses.

Si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, alors f(x) est positive.

Si la courbe est en-dessous de l'axe des abscisses, alors f(x) est négative.

Faites ces exercices : Situation économique conduisant à une étude de signe.

Début d’un théorème

Résumé

La fonction trinôme est du signe de -a pour toutes les valeurs de la variable x situées entre les racines réelles éventuelles.
La fonction est du signe de a pour toutes les valeurs de la variable x situées en dehors des racines réelles éventuelles.

Fin du théorème

Exemples

Début de l'exemple

Exemple détaillé

Résoudre l'inéquation −3x2 + 4x − 1 < 0.

Solution

Soit P ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c} avec a = −3, b = 4 et c = −1.

Δ = 4 2 − 4 × ( − 3 ) × ( − 1 ) = 16 − 12 = 4 > 0 {\displaystyle \Delta =4^{2}-4\times (-3)\times (-1)=16-12=4>0}

donc P a deux racines :

x 1 = − 4 − 4 2 × ( − 3 ) = − 4 − 2 − 6 = − 6 − 6 = 1 {\displaystyle x_{1}={\frac {-4-{\sqrt {4}}}{2\times (-3)}}={\frac {-4-2}{-6}}={\frac {-6}{-6}}=1}

et

x 2 = − 4 + 4 2 × ( − 3 ) = − 4 + 2 − 6 = − 2 − 6 = 1 3 {\displaystyle x_{2}={\frac {-4+{\sqrt {4}}}{2\times (-3)}}={\frac {-4+2}{-6}}={\frac {-2}{-6}}={\frac {1}{3}}} .

Comme a < 0, on a le tableau de signes suivant :

valeurs de x

-∞ 1/3 1 +∞

signe de P(x)

– 0 + 0 –

Donc S = ]–∞, 1/3[ ∪ ]1, +∞[.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Autres exemples

Donner les tableaux de signes des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment. Résoudre ensuite pour chaque fonction l'inéquation f ( x ) ≥ 0 {\displaystyle f(x)\geq 0} d'inconnue x {\displaystyle x} .

f 1 : x ↦ 2 x 2 + 3 x + 1 {\displaystyle f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1} ;

f 2 : x ↦ x 2 − 2 x + 2 {\displaystyle f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2} ;

f 3 : x ↦ − x 2 + 3 {\displaystyle f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3} ;

f 4 : x ↦ − 3 x 2 − x {\displaystyle f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x} .

Solution

f 1 : x ↦ 2 x 2 + 3 x + 1 {\displaystyle f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1}

Le discriminant est Δ = 1 > 0 {\displaystyle \Delta =1>0} donc f 1 {\displaystyle f_{1}} admet deux racines réelles : − 1 {\displaystyle -1} et − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} .
x − ∞ − 1 − 1 2 + ∞ Signe~de f 1 ( x ) + 0 − 0 + {\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&-{\frac {1}{2}}&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~f_{1}(x)&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array}}}
f 1 ( x ) ≥ 0 ⇔ x ∈ ] − ∞ , − 1 ] ∪ [ − 1 2 , + ∞ [ {\displaystyle f_{1}(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in ]-\infty ,-1]\cup \left[-{\frac {1}{2}},+\infty \right[}

f 2 : x ↦ x 2 − 2 x + 2 {\displaystyle f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2}

Le discriminant est Δ = − 4 < 0 {\displaystyle \Delta =-4<0} donc f 2 {\displaystyle f_{2}} n'admet aucune racine réelle.
x − ∞ + ∞ Signe de f 2 ( x ) + {\displaystyle {\begin{array}{c|ccc|}x&-\infty &&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}f_{2}(x)&&+&\\\hline \end{array}}}

Pour tout x ∈ R , f 2 ( x ) ≥ 0 {\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f_{2}(x)\geq 0} .

f 3 : x ↦ − x 2 + 3 {\displaystyle f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3}

Le discriminant vaut Δ = 12 > 0 {\displaystyle \Delta =12>0} , donc f 3 {\displaystyle f_{3}} admet deux racines réelles : − 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}} et 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} .
x − ∞ − 3 3 + ∞ Signe de f 3 ( x ) − 0 + 0 − {\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\sqrt {3}}&&{\sqrt {3}}&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}f_{3}(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}}
f 3 ( x ) ≥ 0 ⇔ x ∈ [ − 3 , 3 ] {\displaystyle f_{3}(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in \left[-{\sqrt {3}},{\sqrt {3}}\right]} .

f 4 : x ↦ − 3 x 2 − x {\displaystyle f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x}

Le discriminant est Δ = 1 > 0 {\displaystyle \Delta =1>0} , donc f 4 {\displaystyle f_{4}} admet deux racines réelles : 0 {\displaystyle 0} et − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{3}}} .
x − ∞ − 1 3 0 + ∞ Signe de f 4 ( x ) − 0 + 0 − {\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\frac {1}{3}}&&0&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}f_{4}(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}}
f 4 ( x ) ≥ 0 ⇔ x ∈ [ − 1 3 , 0 ] {\displaystyle f_{4}(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in \left[-{\frac {1}{3}},0\right]} .

Fin de l'exemple

Équations et fonctions du second degré

Équations du second degré
Factorisation d'un trinôme

Signe d'un trinôme

Exemples