Leçons de niveau 14

Dérivation/Développement limité d'ordre 1

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Développement limité d'ordre 1
Icône de la faculté
Chapitre no 5
Leçon : Dérivation
Chap. préc. :Sens de variation
Chap. suiv. :Sommaire
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Dérivation : Développement limité d'ordre 1
Dérivation/Développement limité d'ordre 1
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Panneau d’avertissement Ce chapitre est d'un niveau strictement supérieur à celui de cette leçon.

Nous allons étudier dans ce chapitre le développement limité d'une fonction en un point de son domaine de dérivabilité.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction dérivable en un réel de son domaine de définition. Soit son nombre dérivé en . On définit alors une fonction , dont la variable sera notée , par :

.

Nous voyons immédiatement que :

.

D'autre part, nous voyons que :

Par définition, nous dirons que est le développement limité d'ordre 1 de la en .


Nous poserons alors la définition suivante :


Toute fonction dérivable en un point admet donc un développement limité d'ordre 1 en .


Visualisation graphique[modifier | modifier le wikicode]

Devlim1.png

De façon à mieux visualiser ce qu'est un développement limité d'ordre 1, nous allons étudier le graphique représenté à droite. Sur ce graphique, nous avons représenté une portion de courbe représentative d'une fonction et au point d'abscisse nous avons tracé la tangente à la courbe. Nous avons ensuite représenté une verticale coupant l'axe des abscisses en un point d'abscisse . Cette verticale recoupe la tangente et la courbe respectivement en et en . Nous avons ensuite représenté trois horizontales passant respectivement par , et , l'horizontale passant par recoupe la verticale en .

Nous pouvons alors écrire :

.

Sur le schéma, nous voyons immédiatement que :

et .

Pour le calcul , nous pouvons considérer le triangle rectangle en . Nous savons que le coefficient directeur d'une droite est la tangente de l'angle entre cette droite et l'horizontale. Nous avons donc :

.

Nous savons aussi que le coefficient directeur est donné par , le nombre dérivé de la fonction en  ; nous obtenons donc :

,

ce qui nous donne :

.

En reportant tout ce que nous avons trouvé dans :

,

nous obtenons :

et là, une simple comparaison avec la formule :

nous montre que :

.

Nous avons représenté toutes les valeurs que nous avons calculées sur le dessin.

Approximation affine[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction dérivable en . Nous avons vu que cette fonction admet un développement en et nous pouvons écrire :

avec

Si nous regardons de plus près ce développement, nous voyons que nous pouvons le considérer comme une fonction d'une variable pouvant s'écrire comme somme de deux fonctions :

  • d'une part, nous avons la fonction qui est une fonction affine ;
  • d'autre part, nous avons la fonction qui représente l'écart entre la fonction et la fonction .

Cela signifie que si l'on remplace la fonction par la fonction , on commet une erreur donnée par une fonction définie pour tout par :

.

Ce qui est remarquable dans cette erreur, c'est quelle s'exprime comme une valeur absolue du produit de deux fonctions qui tendent vers lorsque tend vers . Nous pouvons alors penser que pour suffisamment proche de l'erreur sera très faible.

On dira donc que l'on fait une approximation affine de la fonction lorsque l'on substituera à celle-ci la fonction .

Exemple d'approximations affines[modifier | modifier le wikicode]

Premier exemple[modifier | modifier le wikicode]

Soit la fonction définie par . Sa fonction dérivée étant définie par , son développement limité en sera alors :

avec .

Pour suffisamment petit nous aurons alors .

En particulier, si et , on obtient la formule :

si proche de ,

formule qui était bien connue des physiciens avant l'invention de la calculatrice.

Deuxième exemple[modifier | modifier le wikicode]

Soit la fonction définie par . Sa fonction dérivée étant définie par , son développement limité en sera alors :

avec .

Pour suffisamment petit nous aurons alors .

En particulier, si l'on pose et , on obtient la formule :

si proche de ,

formule qui était aussi bien connue des physiciens avant l'invention de la calculatrice.

Troixième exemple[modifier | modifier le wikicode]

Soit la fonction définie par . Sa fonction dérivée étant définie par , son développement limité en sera alors :

avec .

Pour suffisamment petit nous aurons alors .

En particulier, si l'on pose et , on obtient la formule :

si proche de ,

formule qui était, elle aussi, bien connue des physiciens avant l'invention de la calculatrice.

Différentiabilité[modifier | modifier le wikicode]

Nous poserons la définition suivante :



Nous avons la propriété suivante :




Question mark white icon.svg

Question : Puisqu'une fonction numérique est différentiable en si et seulement si elle est dérivable en , quel intérêt y a-t-il a introduire deux notions au lieu de se contenter d'une seule ?

Réponse : La dérivabilité nous permet de définir aisément la fonction dérivée, mais présente un inconvénient : elle fait intervenir le quotient . Or le quotient de deux éléments n'est pas défini dans tous les ensembles ; on ne définit pas, par exemple, le quotient de deux vecteurs. La notion de dérivabilité n'est donc pas généralisable aux fonctions vectorielles.

Par contre, la définition de la différentiabilité ne fait apparaître aucun quotient et nous verrons dans des leçons de niveau plus élevé (voir par exemple Calcul différentiel) que la différentiabilité est généralisable aux fonctions vectorielles et aux fonctions de plusieurs variables.