Leçons de niveau 15

Fonctions d'une variable complexe/Intégrales curvilignes

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Intégrales curvilignes
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Chapitre no 3
Leçon : Fonctions d'une variable complexe
Chap. préc. :Le logarithme complexe
Chap. suiv. :Formule intégrale de Cauchy
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Chemins dans le plan complexe[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


On peut toujours se ramener à des chemin définis sur l'intervalle via un changement de variable affine. Ainsi, défini pour se ramène à , avec .

On confondra souvent dans le langage informel un chemin et son image.

Chemins homotopes[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux chemins tels que :

On introduit alors la notion suivante :




Cette définition signifie que deux chemins possédant les mêmes extrémités sont homotopes si l'un peut se déformer continûment sur l'autre. En particulier, l'image de dans ne contient pas de "trou topologique".




Connexité simple[modifier | modifier le wikicode]



Concrètement, lorsqu'un ensemble est "troué", on ne peut contracter les lacets qui font le tour d'un de ces trous, c’est le cas pour un anneau ou un disque épointé, par exemple. La simple connexité dans le plan est la propriété des ensembles qui n'ont pas de trou.



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Intégrale curviligne[modifier | modifier le wikicode]



Notation alternative pour l'intégrale curviligne et lien avec l'analyse vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

On a aussi et désignent respectivement les parties réelles et imaginaires de . On peut alors définir

(intégration par rapport à la partie réelle et imaginaire) ce qui montre le lien entre l'intégrale curviligne dans et l'intégrale curviligne de fonctions vectorielles. Puisque toute fonction est équivalente à une fonction vectorielle

Inégalité ML[modifier | modifier le wikicode]

Début d'un lemme


Fin du lemme

Cette inégalité est très utile pour l'évaluation des intégrales curvilignes, en particulier pour montrer que certaines intégrales curvilignes sont nulles.

Théorème de Cauchy (invariance des intégrales curvilignes par homotopie)[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Indice d'un lacet[modifier | modifier le wikicode]

L'indice d'un lacet par rapport à un point , noté est "le nombre de tours" que fait le lacet autour de ce point.Ce nombre est positif pour les tours dans le sens trigonométrique (direct,anti-horlogique) et négatif dans le sens inverse (indirect,horlogique).

Ce lacet a un indice égal à deux autour de p (Ind(C,p)=2).




Primitive des fonctions holomorphes[modifier | modifier le wikicode]