Fonctions convexes/Exercices/Inégalité de Minkowski

Exercice 2-1

Soient un espace mesuré $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ et un réel $p\ge 1$.

Pour toute fonction mesurable $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ de puissance p-ième intégrable, on pose

$\Vert f{\Vert }_p={(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}$.

Soient deux fonctions mesurables $f,g:\mathrm{\Omega }\to ℂ$, de puissances p-ièmes intégrables. On souhaite démontrer l'inégalité de Minkowski :

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$.

1. Se ramener au cas où $f,g$ sont à valeurs dans ${ℝ}_{+}$ et $\Vert f{\Vert }_p,\Vert g{\Vert }_p\ne 0$.
2. Déterminer alors $t\in [0,1]$ tel que $\frac{f+g}{\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p}=t\frac{f}{\Vert f{\Vert }_p}+(1-t)\frac{g}{\Vert g{\Vert }_p}$.
3. Montrer qu'alors, ${\left(\frac{f+g}{\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p}\right)}^p\le t{\left(\frac{f}{\Vert f{\Vert }_p}\right)}^p+(1-t){\left(\frac{g}{\Vert g{\Vert }_p}\right)}^p$.
4. Conclure.
5. En déduire la forme discrète de l'inégalité de Minkowski.

Solution

1. $\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert |f|+|g|{\Vert }_p$ et si par exemple $\Vert f{\Vert }_p=0$, on a immédiatement $\Vert f+g{\Vert }_p=\Vert g{\Vert }_p$.
2. $t=\frac{\Vert f{\Vert }_p}{\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p}$.
3. La fonction puissance $p$-ième (définie sur ${ℝ}_{+}$) est convexe (cf. chapitre « Fonctions convexes dérivables »).
4. En intégrant l'inégalité précédente, on obtient ${\left(\frac{\Vert f+g{\Vert }_p}{\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p}\right)}^p\le t+(1-t)=1$, cqfd.
5. En prenant comme espace mesurable $\mathbb{N}$ muni de la mesure de comptage, donc comme fonctions $f$ et $g$ deux suites $x$ et $y$ de complexes, on en déduit :

   ${(\sum _k|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _k|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _k|y_k{|}^p)}^{1/p}$.