Variables aléatoires continues/Définitions

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Chapitre no1
Leçon : Variables aléatoires continues
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Variable aléatoire continue[modifier | modifier le wikicode]

Quand le résultat d'un expérience aléatoire n'est pas un entier et n'appartient pas à un ensemble fini,

le mieux est de définir la variable aléatoire correspondante directement sur \R ou sur un intervalle de \R.



Remarques[modifier | modifier le wikicode]

  • Dans ce cours tourné vers les applications et destiné à des étudiants n'ayant pas abordé la théorie de l'intégration de Lebesgue, nous laisserons de côté les difficultés techniques liées à la définition des ensembles boréliens et des fonctions mesurables.
  • Le terme "variable aléatoire continue" en probabilités n'est pas synonyme de "fonction continue" en analyse, même si l'idée de départ est similaire. Il s'agit réellement d'un autre concept.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

On considère une variable aléatoire X prenant une valeur aléatoire entre 0 et 1,

et ce de manière uniforme (Cette v.a est similaire au générateur de nombres pseudo-aléatoires d'une calculatrice).

Toutes les valeurs de [0 ; 1] ont la même probabilité d'être obtenues.

Mais quelle est alors cette probabilité ?

Fonction de répartition[modifier | modifier le wikicode]


Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

  • Comme une probabilité est toujours inférieure ou égale à 1, on a F(x)<1.
  • Si on englobe toujours plus de valeurs de \R dans le calcul, la probabilité augmente et tend vers 1 donc F est croissante et :



  • De même, si on englobe de moins en moins de valeurs de \R, la probabilité tend vers 0.

Donc :



  • Finalement, on admettra sans démonstration que si la variable aléatoire X ne se concentre pas sur des valeurs spécifiques de \R, alors F est continue.
  • Une fonction de répartition a typiquement cette allure-là :
Fonction de répartition variable continue.png

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Reprenons l'exemple de la loi uniforme sur [0 ; 1]. Alors :


  F(x)=\begin{cases}
  0 & \mathrm{pour }\ x \leq 0 \\
  x & \mathrm{pour }\ 0 \leq x \leq 1 \\
  1 & \mathrm{pour}\ x>1
    \end{cases}

On constate que cette fonction vérifie les propriétés ci-dessus.

Densité de probabilité[modifier | modifier le wikicode]


Propriétés d'une densité de probabilités[modifier | modifier le wikicode]


  • Une densité de probabilité a en général cette allure  :
Densité de probabilité variable continue.png

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Reprenons l'exemple de la loi uniforme sur [0 ; 1]. Alors en dérivant F, on obtient :


  f(x)=\left\{\begin{matrix}
  0 & \ \ \ \mbox{pour } x < 0, \\  \\
  1 & \mathrm{pour}\ 0\leq x\leq 1\ , \\  \\
  0 & \ \ \ \mbox{pour }1<x.
  \end{matrix}\right.

On constate que cette fonction f vérifie les propriétés ci-dessus.

Espérance, variance, moments[modifier | modifier le wikicode]

Espérance[modifier | modifier le wikicode]


Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Reprenons l'exemple de la loi uniforme sur [0 ; 1]. Alors :

\mathbb E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \ dx=0 + \int_{0}^{1} x \ dx +0 =\frac{1}{2}

La v. a X vaut en moyenne \frac{1}{2}.

Variance et écart-type[modifier | modifier le wikicode]


Formule[modifier | modifier le wikicode]

Le calcul de la variance est plus facile avec la formule suivante :

Début d'un théorème
Fin du théorème



Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Écart-type[modifier | modifier le wikicode]


Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Reprenons l'exemple de la loi uniforme sur [0 ; 1]. Alors :

V(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \ dx - (\frac{1}{2})^2 = 0 + \int_{0}^{1} x^2 \ dx +0 -  \frac{1}{4} =\frac{1}{3} - \frac{1}{4}=\frac{1}{12}

.

Et :

\sigma = \sqrt{\frac{1}{12}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}

Autres moments[modifier | modifier le wikicode]

Deux autres moments, bien entendu sous réserve d'existence, sont parfois considérés pour affiner la prévision du comportement d'une variable aléatoire :

  • Le coefficient d'asymétrie \mu_3 = \mathbb{E} \left( \frac{(X-\mathbb E(X))^3}{\sigma^3}\right) , permet, selon le signe, de prédire où se trouve l'étalement de la distribution par rapport à l'espérance, soit si la décroissance de la fonction de densité est plus forte à gauche ou à droite.
  • La kurtosis \mu_4 = \mathbb{E} \left( \frac{(X-\mathbb E(X))^4}{\sigma^4}\right) donne une mesure de l'aplatissement de la densité, c'est-à-dire qu'elle permet de prédire si la mesure est fortement concentrée autour de l'espérance ou non.

Fonction génératrice des moments[modifier | modifier le wikicode]

Cette fonction permet de regrouper le calcul de l'intégralité des moments d'une loi, s'ils existent.



En effet, en utilisant le développement en série entière de la fonction exponentielle, on a :

M_X (t) = \mathbb{E} (e^{tX}) = \mathbb{E} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n X^n}{n!} \right) =   \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n }{n!} \mathbb{E} (X^n)

Ainsi, on trouve :



Fonction caractéristique[modifier | modifier le wikicode]

Cette fonction, semblable à la fonction génératrice mais définie sur \C, est une autre fonction qui caractérise la loi d'une variable aléatoire.



De même façon que pour la fonction génératrice, on trouve :



Il existe cependant un autre théorème, très important :


Début d'un théorème
Fin du théorème


Ce théorème sera admis.

Médiane, mode[modifier | modifier le wikicode]

Quand les moments ne peuvent être calculés, on peut néanmoins donner une idée de l'allure de la densité en déterminant la (ou les) médiane(s) et le(s) mode(s).

La médiane se définit comme une valeur qui permet de séparer en deux parties les échantillons ou la distribution d'une variable aléatoire de sorte que chacune des deux parties contiennent le même nombre de valeurs.



Le mode, quant à lui, représente la valeur la plus représentée dans la densité.



Il n'y a aucune garantie de l'unicité des médianes ou des modes dans le cas général.


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