En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Sur l’inégalité de Jensen
Fonctions convexes/Exercices/Sur l’inégalité de Jensen », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
et
. Démontrer que
.
Soit a1, a2,…, an, une famille de nombres strictement positifs.
Montrer que l’on a :
Solution
Considérons la fonction
définie par :
.
On a alors :
Par conséquent
est convexe.
En appliquant le corollaire, on obtient :
.
Posons :
.
On obtient :
.
Soit
un espace mesuré. On considère les « normes »
associées.
- À l'aide de l'inégalité de Young, démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder : si
et
alors, pour toutes fonctions mesurables
et
,![{\displaystyle \|fg\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9c10254a2f67b7ddcc9d96085f1b01fa7b36d1)
.
- Pour quel espace mesuré la forme discrète vue en cours est-elle un cas particulier de la forme intégrale ci-dessus ?
- Montrer que le résultat suivant en est un second cas particulier : si
est finie, de masse totale
, alors, pour toute fonction mesurable
,![{\displaystyle 0<r\leq q\leq +\infty \Rightarrow \|g\|_{r}\leq M^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{q}}}\|g\|_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4705984281ad69b9f0151a51353b44e4233e72c9)
.
- Montrer que réciproquement, ce second cas particulier peut servir de lemme pour démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder.
- Redémontrer ce lemme à partir de la version intégrale de l'inégalité de Jensen.
Solution
Référence : Intégration et Probabilités (M43050) 2010–2011, cours 15 par Bernard Maurey, université Paris VII - Diderot.
- Le résultat étant immédiat si
,
,
ou
est infini ou si
est nulle p.p., supposons que
et
sont finis et que
et
sont finis et non nuls et même, sans perte de généralité, égaux à
(par homogénéité).
En appliquant l'inégalité de Young![{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p'}}{p'}}+{\frac {b^{q'}}{q'}}\quad \mathrm {\grave {a}} \quad a=|f|^{r},~b=|g|^{r},~p'={\tfrac {p}{r}},~q'={\tfrac {q}{r}}\quad ({\tfrac {1}{p'}}+{\tfrac {1}{q'}}=1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16987c6ad58f9ccc7ddf6ccf0ec2b24ad1855c7f)
on obtient, pour tout
,![{\displaystyle |f(x)g(x)|^{r}\leq {\tfrac {1}{p'}}|f(x)|^{p}+{\tfrac {1}{q'}}|g(x)|^{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c77d9008c3d2ca5115a492869e4de3b6ba3e0b7)
(avec égalité si et seulement si
) et, après intégration,![{\displaystyle {\|fg\|_{r}}^{r}\leq {\tfrac {1}{p'}}{\|f\|_{p}}^{p}+{\tfrac {1}{q'}}{\|g\|_{q}}^{q}={\tfrac {1}{p'}}+{\tfrac {1}{q'}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cdac40206566a7b6846fd4cc3a3d4cb3d267f3)
On a donc bien![{\displaystyle \|fg\|_{r}\leq 1=\|f\|_{p}\|g\|_{q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7844c43d8e10ac663c7334c5b45273f35b28f5c8)
avec égalité si et seulement si
p.p.
muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage.
- Prendre
.
- Supposons, comme dans la question 1, que
et
sont finis et que
.
En appliquant le lemme à la mesure de probabilité à densité
sur l'ensemble
et à la fonction
, on obtient![{\displaystyle \|fg\|_{\mathrm {L} ^{r}(\mu )}=\|G\|_{\mathrm {L} ^{r}(\nu )}\leq \|G\|_{\mathrm {L} ^{q}(\nu )}\leq \|g\|_{\mathrm {L} ^{q}(\mu )}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51af2d5f91523fb40b1c80d40a8d6229aaa42f8e)
.
On peut de plus remarquer que l'égalité a lieu si et seulement s'il existe une constante
telle que, μ-p.p.,![{\displaystyle {\Big (}{\big (}f(x)=0\Rightarrow g(x)=0{\big )}{\text{ et }}{\big (}f(x)\neq 0\Rightarrow G(x)=C{\big )}{\Big )}{\text{ i.e. }}|g(x)|^{q}=C^{q}|f(x)|^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0f9916e6eb724bbb18df53722a240786bc8876)
.
- Le cas
ou
est immédiat et le cas
quelconque se ramène facilement au cas
en divisant
par
. Supposons donc que
et
, et montrons que pour toute fonction
,![{\displaystyle \left(\int |g|^{r}~\mathrm {d} \mu \right)^{1/r}\leq \left(\int |g|^{q}~\mathrm {d} \mu \right)^{1/q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90fbee1bc5d1bfbf793dd0c517fcf554967d3531)
ou encore, en posant
, que pour toute fonction positive
,![{\displaystyle \left(\int h\mathrm {d} \mu \right)^{s}\leq \int h^{s}~\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e453020b6be9b097d6fe5917f8eb3b9d81c3b9b)
.
Le cas où
est intégrable résulte de l'inégalité de Jensen intégrale appliquée à la fonction
, qui est convexe sur
car
. Le cas général s'en déduit par convergence monotone.
Soient
une fonction convexe et
une fonction continue par morceaux. En considérant des sommes de Riemann, redémontrer directement dans ce cas la version intégrale de l'inégalité de Jensen :
![{\displaystyle f\left(\int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x\right)\leq \int _{0}^{1}f\circ g(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c05a42a17d100a1e0cab6d9afe867ef2ebb1f9)
à partir de la version discrète.
Solution
est continue (d'après la propriété 6) donc
est, comme
, continue par morceaux donc :
et
.
En utilisant l'inégalité de Jensen discrète, on obtient :
.
En faisant tendre
vers l'infini, on en déduit :
.