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Fonction logarithme : Étude de la fonction logarithme népérien Fonction logarithme/Étude de la fonction logarithme népérien », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Étude des variations de la fonction logarithme népérien [ modifier | modifier le wikicode ]
Début d’un théorème
Théorème
La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]0,+\infty \right[}
, sur lequel elle est strictement croissante .
x
0
+
∞
Variations de
ln
↗
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc|}x&0&&+\infty \\\hline {\text{Variations de }}\ln &&\nearrow &\\\end{array}}}
Fin du théorème
En effet,
∀
x
>
0
ln
′
(
x
)
=
1
x
>
0
{\displaystyle \forall x>0\quad \ln '(x)={\frac {1}{x}}>0}
x
0
1
+
∞
Signe de
ln
(
x
)
−
0
+
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&1&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}\ln(x)&&-&0&+&\\\end{array}}}
En effet,
ln
{\displaystyle \ln }
est strictement croissante et s'annule en
1
{\displaystyle 1}
.
Étude des limites aux bornes du domaine de définition de la fonction logarithme népérien [ modifier | modifier le wikicode ]
lim
x
→
+
∞
ln
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\ln(x)=+\infty }
lim
x
→
0
+
ln
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty }
Compléter le tableau de variations avec ces deux limites.
Tableau de variations complet de la fonction ln
x
0
+
∞
Signe de
ln
′
(
x
)
+
+
∞
Variations de
ln
↗
−
∞
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc|}x&0&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}\ln '(x)&&+&\\\hline &&&+\infty \\{\text{Variations de }}\ln &&\nearrow &\\&-\infty &&\end{array}}}
Propriété
La courbe est en dessous de toutes les tangentes de la fonction logarithme népérien. En particulier :
∀
x
>
0
ln
(
x
)
≤
x
−
1
{\displaystyle \forall x>0\quad \ln(x)\leq x-1}
, l'inégalité étant même stricte si
x
≠
1
{\displaystyle x\neq 1}
.
Démonstration
Montrons d'abord que
∀
x
≠
1
ln
(
x
)
<
x
−
1
{\displaystyle \forall x\neq 1\quad \ln(x)<x-1}
, en étudiant la fonction
f
:
]
0
,
+
∞
[
→
R
,
x
↦
ln
(
x
)
−
x
+
1
{\displaystyle f:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \ln(x)-x+1}
.
f
′
(
x
)
=
1
x
−
1
=
1
−
x
x
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}-1={\frac {1-x}{x}}}
. Cette dernière écriture est du signe de
1
−
x
{\displaystyle 1-x}
donc
f
{\displaystyle f}
a un maximum en
1
{\displaystyle 1}
. Par conséquent, on a bien
∀
x
≠
1
f
(
x
)
<
f
(
1
)
=
0
{\displaystyle \forall x\neq 1\quad f(x)<f(1)=0}
, c'est-à-dire
ln
(
x
)
<
x
−
1
{\displaystyle \ln(x)<x-1}
.
Par changement de variable, on en déduit que, plus généralement, pour tout
a
>
0
{\displaystyle a>0}
,
∀
t
≠
a
ln
(
t
a
)
<
t
a
−
1
{\displaystyle \forall t\neq a\quad \ln \left({\frac {t}{a}}\right)<{\frac {t}{a}}-1}
, c'est-à-dire
ln
(
t
)
<
ln
(
a
)
+
1
a
(
t
−
a
)
{\displaystyle \ln(t)<\ln(a)+{\frac {1}{a}}(t-a)}
.
D’après le tableau de variations,
ln
{\displaystyle \ln }
est une bijection de
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]0,+\infty \right[}
sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
. En particulier :
Début d’un théorème
Fin du théorème
Propriété
Le nombre
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
est irrationnel , de valeur approchée 2,718 .
(En fait, e est même transcendant .)