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Leçons de niveau 12

Fonction dérivée/Exercices/Formule de Taylor

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Formule de Taylor
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Exercices no8
Leçon : Fonction dérivée

Ces exercices sont de niveau 12.

Exo préc. :Dérivée d'une fonction composée
Exo suiv. :Étude de fonctions polynômes du second degré
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Fonction dérivée/Exercices/Formule de Taylor
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On considère la fonction ƒ définie par pour tout . L'objectif de la partie I est d'établir quelques propriétés de ƒ. L'objectif de la partie II est l'étude du comportement de ƒ au voisinage de l'abscisse x0 = 1 et son approximation par des fonctions plus simples au voisinage de ce point.

Partie I[modifier | modifier le wikicode]

1. Étudier la parité de la fonction ƒ. Quelle propriété graphique peut-on en déduire pour sa courbe Cƒ ?
2. Calculer la dérivée ƒ' . Factoriser ƒ'(x) puis étudier son signe. En déduire le tableau de variation de ƒ.
3. Tracer soigneusement Cƒ.
4. Résoudre algébriquement l’équation .

Partie II[modifier | modifier le wikicode]

On cherche à approximer la fonction ƒ par des fonctions « plus simples » au voisinage du point d'abscisse x0 = 1Truc évasif . Le mathématicien anglais Taylor (1685-1731) a mis en place une formule permettant une approximation polynomiale des fonctions (lorsque celles-ci sont suffisamment dérivables) au voisinage d'une abscisse x0 : lorsque x est proche de x0, on a :
Truc évasif
Dans cette formule, l'entier n s’appelle « l'ordre du développement de Taylor » et ƒ (n) désigne la dérivée n-ième de f, appelée encore dérivée d’ordre n de ƒ.

1. Utiliser la formule de Taylor à l’ordre n = 1 pour obtenir une approximation affine P1 de ƒ en x0 = 1.
2. Utiliser la formule de Taylor à l’ordre n = 2 pour obtenir une approximation polynomiale de degré 2 (que l’on notera P2) de ƒ en x0 = 1. (Vous devrez, au préalable, calculer la dérivée seconde ƒ'' de ƒ ).
3. Tracer les représentations graphiques de P1 et P2 sur le graphique de la partie I.

Remarque :

  • P1 est représentée par la tangente à Cƒ au point d'abscisse x0 = 1.
  • P2 est représentée par la « meilleure » parabole approchant Cf au voisinage de x0 = 1. Si on n’est pas satisfait par la qualité de l'approximation, on peut toujours augmenter l’ordre du développement n.

Application[modifier | modifier le wikicode]

On pose , et

1. Utiliser la formule de Taylor à l’ordre n = 2 pour obtenir une approximation polynomiale de degré 2 de la fonction ƒ au voisinage de 0 (c'est-à-dire en x0 = 0 ).
2. Utiliser le formule de Taylor à l’ordre n = 3 pour obtenir une approximation polynomiale (de degré 3) des fonctions sinus et tangente au voisinage de 0.