Équations et fonctions du second degré/Exercices/Équations bicarrées
Soient , et
On appelle équation bicarrée toute équation du quatrième degré de la forme d'inconnue x.
On considère l'équation bicarrée d'inconnue .
(E) peut se ramener à l'étude d'une équation du second degré en posant simplement
(E) devient .
On déroule alors la méthode habituelle : discriminant, calcul des racines éventuelles…
Toute cette résolution se fait en X. Il faut ensuite revenir en x en utilisant le fait que .
Voyons les différents cas qui se présentent sur différents exercices.
Équation bicarrée 1
[modifier | modifier le wikicode]Résoudre l'équation bicarrée d'inconnue
- On pose . L'équation devient
- Le discriminant vaut
- donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes
et
Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient ou
On trouve ainsi quatre solutions :
L'ensemble des solutions de (E1) est alors .
Équation bicarrée 2
[modifier | modifier le wikicode]Résoudre l'équation bicarrée d'inconnue
- On pose . L'équation devient
- Le discriminant vaut , donc l'équation en X admet une racine réelle « double »
Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient
On trouve ainsi deux solutions :
L'ensemble des solutions de (E2) est alors
Équation bicarrée 3
[modifier | modifier le wikicode]Résoudre l'équation bicarrée d'inconnue
- On pose . L'équation devient
- Le discriminant vaut
- donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes
et
Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient ou
On trouve ainsi qu’il n'y a pas de solution réelle
L'ensemble des solutions de (E3) est alors
Équation bicarrée 4
[modifier | modifier le wikicode]Résoudre l'équation bicarrée d'inconnue
- On pose . L'équation devient
- Le discriminant vaut
- donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes
et
Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient ou
On trouve ainsi deux solutions :
L'ensemble des solutions de (E4) est alors