Équations et fonctions du second degré/Exercices/Équations bicarrées

Équation bicarrée

Soient $a\in \mathbb {R} ^{*}$, $b\in \mathbb {R}$ et $c\in \mathbb {R}$

On appelle équation bicarrée toute équation du quatrième degré de la forme $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ d'inconnue x.

Début d’un principe

Résolution d'une équation bicarrée

On considère l'équation bicarrée $(E)~:~ax^{4}+bx^{2}+c=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$.

(E) peut se ramener à l'étude d'une équation du second degré en posant simplement $X=x^{2}$

(E) devient $aX^{2}+bX+c=0$.

On déroule alors la méthode habituelle : discriminant, calcul des racines éventuelles…

Toute cette résolution se fait en X. Il faut ensuite revenir en x en utilisant le fait que $x^{2}=X$.

Fin du principe

Voyons les différents cas qui se présentent sur différents exercices.

Équation bicarrée 1

Résoudre l'équation bicarrée $(E_{1})~:~x^{4}-3x^{2}+2=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$

Solution

• On pose $X=x^{2}$. L'équation devient $(E'_{1})~:~X^{2}-3X+2=0$
• Le discriminant vaut $\Delta =1$
• $\Delta >0$ donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes

$X_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=1$ et $X_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=2$

Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient $x^{2}=X_{1}$ ou $x^{2}=X_{2}$

On trouve ainsi quatre solutions :

• $x_{11}=1~~(x_{11}^{2}=X_{1})$
• $x_{12}=-1~~(x_{12}^{2}=X_{1})$
• $x_{21}={\sqrt {2}}~~(x_{21}^{2}=X_{2})$
• $x_{22}=-{\sqrt {2}}~~(x_{22}^{2}=X_{2})$

L'ensemble des solutions de (E₁) est alors ${\mathcal {S}}_{1}=\{1,-1,{\sqrt {2}},-{\sqrt {2}}\}$.

 

Équation bicarrée 2

Résoudre l'équation bicarrée $(E_{2})~:~2x^{4}-8{\sqrt {3}}x^{2}+24=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$

Solution

• On pose $X=x^{2}$. L'équation devient $(E'_{2})~:~2X^{2}-8{\sqrt {3}}X+24=0$
• Le discriminant vaut $\Delta =0$, donc l'équation en X admet une racine réelle « double »

$X_{0}=-{\frac {b}{2a}}=2{\sqrt {3}}$

Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient $x^{2}=X_{0}$

On trouve ainsi deux solutions :

• $x_{1}={\sqrt {2{\sqrt {3}}}}$
• $x_{2}=-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}$

L'ensemble des solutions de (E₂) est alors ${\mathcal {S}}_{2}=\left\{-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}};{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}\right\}$

 

Équation bicarrée 3

Résoudre l'équation bicarrée $(E_{3})~:~-x^{4}-6x^{2}-5=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$

Solution

• On pose $X=x^{2}$. L'équation devient $(E'_{3})~:~-X^{2}-6X-5=0$
• Le discriminant vaut $\Delta =16$
• $\Delta >0$ donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes

$X_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=-1$ et $X_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=-5$

Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient $x^{2}=X_{1}$ ou $x^{2}=X_{2}$

On trouve ainsi qu’il n'y a pas de solution réelle

L'ensemble des solutions de (E₃) est alors ${\mathcal {S}}_{3}=\varnothing$

 

Équation bicarrée 4

Résoudre l'équation bicarrée $(E_{4})~:~3x^{6}+4x^{3}-6=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$

Solution

• On pose $X=x^{3}$. L'équation devient $(E'_{4})~:~3X^{2}+3X-6=0$
• Le discriminant vaut $\Delta =81$
• $\Delta >0$ donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes

$X_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=-2$ et $X_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=1$

Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient $x^{3}=X_{1}$ ou $x^{3}=X_{2}$

On trouve ainsi deux solutions :

• $x_{11}={\sqrt[{3}]{-2}}~~(x_{11}^{3}=X_{1})$
• $x_{12}=1~~(x_{12}^{3}=X_{2})$

L'ensemble des solutions de (E₄) est alors ${\mathcal {S}}_{4}=\{{\sqrt[{3}]{-2}},1\}$