Leçons de niveau 12

Fonction dérivée/Exercices/Dériver des fractions rationnelles

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Dériver des fractions rationnelles
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Exercices no5
Leçon : Fonction dérivée
Chapitre du cours : Dérivée d'un quotient

Ces exercices sont de niveau 12.

Exo préc. :Dériver un polynôme
Exo suiv. :Approximation affine locale
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Fonction dérivée/Exercices/Dériver des fractions rationnelles
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Les fonctions suivantes sont des quotients de polynômes qu'on appelle fonctions (ou fractions) rationnelles. Nous allons les dériver en utilisant le théorème du cours sur la dérivée d'un quotient.

Exercice 5-1[modifier | modifier le wikicode]

.

ƒ est définie et dérivable sur
Pour tout
Nature de la fonction u :
Pour tout
Nature de la fonction v :
Pour tout
Nature de la fonction u' :
Pour tout
Nature de la fonction v' :
Pour tout
Remarque
Lorsque numérateur et dénominateur sont affines, la fonction rationnelle est dite homographique, et les x se simplifient toujours au numérateur quand on dérive.

Exercice 5-2[modifier | modifier le wikicode]

ƒ est définie et dérivable sur
Pour tout
Nature de la fonction u :
Pour tout
Nature de la fonction v :
Pour tout
Nature de la fonction u' :
Pour tout
Nature de la fonction v' :
Pour tout

Exercice 5-3[modifier | modifier le wikicode]

ƒ est définie et dérivable sur
Pour tout
Nature de la fonction u :
Pour tout
Nature de la fonction v :
Pour tout
Nature de la fonction u' :
Pour tout
Nature de la fonction v' :
Pour tout

Exercice 5-4[modifier | modifier le wikicode]

On pose :

 ;
 ;
.

 Déterminer la primitive de qui est égale à pour . En déduire une expression de .

 Démontrer que , et que :

.

 En déduire des expressions de et .