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Fonction dérivée/Exercices/Dériver des fractions rationnelles

Leçons de niveau 12
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Dériver des fractions rationnelles
Image logo représentative de la faculté
Exercices no5
Leçon : Fonction dérivée
Chapitre du cours : Dérivée d'un quotient

Exercices de niveau 12.

Exo préc. :Dériver un polynôme
Exo suiv. :Approximation affine locale
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Dériver des fractions rationnelles
Fonction dérivée/Exercices/Dériver des fractions rationnelles
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Les fonctions suivantes sont des quotients de polynômes qu'on appelle fonctions (ou fractions) rationnelles. Nous allons les dériver en utilisant le théorème du cours sur la dérivée d'un quotient.

.

ƒ est définie et dérivable sur
Pour tout
Nature de la fonction u :
Pour tout
Nature de la fonction v :
Pour tout
Nature de la fonction u' :
Pour tout
Nature de la fonction v' :
Pour tout
Remarque
Lorsque numérateur et dénominateur sont affines, la fonction rationnelle est dite homographique, et les x se simplifient toujours au numérateur quand on dérive.

ƒ est définie et dérivable sur
Pour tout
Nature de la fonction u :
Pour tout
Nature de la fonction v :
Pour tout
Nature de la fonction u' :
Pour tout
Nature de la fonction v' :
Pour tout

ƒ est définie et dérivable sur
Pour tout
Nature de la fonction u :
Pour tout
Nature de la fonction v :
Pour tout
Nature de la fonction u' :
Pour tout
Nature de la fonction v' :
Pour tout

On pose :

 ;
 ;
.

 Déterminer la primitive de qui est égale à pour . En déduire une expression de .

 Démontrer que , et que :

.

 En déduire des expressions de et .