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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Approximation affine localeFonction dérivée/Exercices/Approximation affine locale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La production d'une quantité x d'une marchandise coûte :
C
(
x
)
=
x
3
4
−
3
x
2
+
63
x
4
+
10
{\displaystyle C(x)={\frac {x^{3}}{4}}-3x^{2}+63{\frac {x}{4}}+10}
avec
x
∈
[
2
;
6
]
{\displaystyle x\in [2;6]}
Un chef d'entreprise utilise l'astuce suivante pour simplifier son calcul :
« Je multiplie la quantité par 15, je la divise par 4 et j'ajoute 26 pour obtenir le coût. »
On veut démontrer que son erreur ne dépasse pas 7 %.
1. Transformons la recette en formule mathématique :
pour tout
x
∈
[
2
;
6
]
,
C
a
p
p
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in [2;6],~C_{app}(x)=\cdots }
2. Tracer le graphe des fonctions C et C app . Que remarque-t-on ?
3. Déterminons une approximation affine de
C
(
x
)
{\displaystyle C(x)}
x = 4,
en assimilant la courbe de C à sa tangente au point d'abscisse x = 4
a. Calculer :pour tout
x
∈
[
2
;
6
]
,
C
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in [2;6],~C'(x)=\cdots }
b. Calculer :
C
′
(
4
)
=
⋯
{\displaystyle C'(4)=\cdots }
C
(
4
)
=
⋯
{\displaystyle C(4)=\cdots }
En déduire l'équation de la tangente en
x
=
4
{\displaystyle x=4}
Pour tout
x
∈
[
2
;
6
]
,
C
a
p
p
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in [2;6],~C_{app}(x)=\cdots }
4. Soit la fonction "erreur" définie par :
pour tout
x
∈
[
2
;
6
]
,
e
(
x
)
=
C
(
x
)
−
C
a
p
p
(
x
)
{\displaystyle x\in [2;6],~e(x)=C(x)-C_{app}(x)}
Calculer :
pour tout
x
∈
[
2
;
6
]
,
e
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in [2;6],~e(x)=\cdots }
pour tout
x
∈
⋯
,
e
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \cdots ,~e'(x)=\cdots }
x
Signe de e'(x)
Variations de e
5. Calculer
C
(
2
)
{\displaystyle C(2)}
C
(
6
)
{\displaystyle C(6)}
Solution
1. Pour tout
x
∈
[
2
;
6
]
,
C
a
p
p
(
x
)
=
15
4
x
+
26
{\displaystyle x\in [2;6],~C_{app}(x)={\frac {15}{4}}x+26}
2. Les graphes des fonctions sont :
On remarque qu'aux alentours du point d'abscisse x = 4, les deux courbes sont très proches. En s'éloignant de ce point, l'écart augmente.
3.a. Pour tout
x
∈
[
2
;
6
]
,
C
′
(
x
)
=
3
4
x
2
−
6
x
+
63
4
{\displaystyle x\in [2;6],~C'(x)={\frac {3}{4}}x^{2}-6x+{\frac {63}{4}}}
3.b. On a :
C
(
4
)
=
41
{\displaystyle C(4)=41}
C
′
(
4
)
=
15
4
{\displaystyle C'(4)={\frac {15}{4}}}
d'où l'équation de la tangente à la courbe de C au point d'abscisse 4 :
Pour tout
x
∈
[
2
;
6
]
,
C
a
p
p
(
x
)
=
C
′
(
4
)
(
x
−
4
)
+
C
(
4
)
=
15
4
x
+
26
{\displaystyle x\in [2;6],~C_{app}(x)=C'(4)(x-4)+C(4)={\frac {15}{4}}x+26}
4. On aboutit aux expressions suivantes
Pour tout
x
∈
[
2
;
6
]
,
e
(
x
)
=
x
3
4
−
3
x
2
+
12
x
−
16
{\displaystyle x\in [2;6],~e(x)={\frac {x^{3}}{4}}-3x^{2}+12x-16}
La fonction e est dérivable sur
[
2
;
6
]
{\displaystyle [2;6]}
x
∈
[
2
;
6
]
,
e
′
(
x
)
=
3
4
x
2
−
6
x
+
12
{\displaystyle x\in [2;6],~e'(x)={\frac {3}{4}}x^{2}-6x+12}
On cherche alors à étudier le signe de e'. Pour cela, écrivons que pour tout
x
∈
[
2
;
6
]
{\displaystyle x\in [2;6]}
e
′
(
x
)
=
3
4
x
2
−
6
x
+
12
=
3
4
(
x
2
−
8
x
+
16
)
=
3
4
(
x
−
4
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}e'(x)&={\frac {3}{4}}x^{2}-6x+12\\&={\frac {3}{4}}\left(x^{2}-8x+16\right)\\&={\frac {3}{4}}(x-4)^{2}\end{aligned}}}
On aboutit au tableau de signes suivant :
x
2
4
6
Signe~de
e
′
(
x
)
+
0
+
2
↗
Variations~de
e
0
↗
−
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc|}x&2&&4&&6\\\hline {\textrm {Signe~de}}~e'(x)&&+&0&+&\\\hline &&&&&2\\&&&&\nearrow &\\{\textrm {Variations~de}}~e&&&0&&\\&&\nearrow &&&\\&-2&&&&\\\hline \end{array}}}
5. On a :
C
(
2
)
=
63
2
{\displaystyle C(2)={\frac {63}{2}}}
C
(
6
)
=
101
2
{\displaystyle C(6)={\frac {101}{2}}}
L'erreur en pourcentage est donnée par
ϵ
:
x
↦
|
e
(
x
)
C
(
x
)
|
{\displaystyle \epsilon :x\mapsto \left|{\frac {e(x)}{C(x)}}\right|}
[
2
;
6
]
{\displaystyle [2;6]}
L'erreur maximale est obtenue en x = 2 (plus grande valeur de
e
(
x
)
{\displaystyle e(x)}
C
(
x
)
{\displaystyle C(x)}
ϵ
m
a
x
=
|
e
(
2
)
C
(
2
)
|
≈
6
,
3
%
{\displaystyle \epsilon _{max}=\left|{\frac {e(2)}{C(2)}}\right|\approx 6,3\%}
L'erreur n'excède donc pas 7%.
![{\displaystyle x\in [2;6]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83851ad88cddac3fd516f27bc381cb0e962382fa)
![{\displaystyle x\in [2;6],~C_{app}(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59a267bfd9beaa2581a331682b418acb6e60b7c)
![{\displaystyle x\in [2;6],~C'(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9406e535a55ec5271e57b35e9316a17b1809776a)
![{\displaystyle x\in [2;6],~e(x)=C(x)-C_{app}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6061ccb7fc15f2feb4a53b0b4b6d34207bc5ace0)
![{\displaystyle x\in [2;6],~e(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad72ba567fd12546544d45b744e77e1f9c2ad366)
![{\displaystyle x\in [2;6],~C_{app}(x)={\frac {15}{4}}x+26}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a65ba94473d99534aa88152209067d98ff3841)
![{\displaystyle x\in [2;6],~C'(x)={\frac {3}{4}}x^{2}-6x+{\frac {63}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f40d6741833dd3b846c730363b3c147ee1e04a5)
![{\displaystyle x\in [2;6],~C_{app}(x)=C'(4)(x-4)+C(4)={\frac {15}{4}}x+26}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4870af0fc22f4d083a42b035a5423152909c0c)
![{\displaystyle x\in [2;6],~e(x)={\frac {x^{3}}{4}}-3x^{2}+12x-16}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/242f74708163e87007dbc461c424c4688860b6bf)
![{\displaystyle [2;6]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00f340a99bb4afcecfc79bb4080ae80824a3bcb)
![{\displaystyle x\in [2;6],~e'(x)={\frac {3}{4}}x^{2}-6x+12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08f21d54088878fb066f072076a382ec5c93938)
