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Exercice : Espaces et sous-espaces vectoriels
Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
désigne
ou ![{\displaystyle \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
- E est un
-espace vectoriel.
1. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de
?
- a.
(où
est un réel fixé)
- b.
![{\displaystyle E_{1b}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf93cbfdbe39fcf06562031092578c75c5a92662)
- c.
![{\displaystyle E_{1c}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x=y\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9597b4aa5e8f7588f8953dd23a3b86b1a17e772f)
- d.
![{\displaystyle E_{1d}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x+y=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aab623710f18620dacf2d40d7eab1f18b71ea65)
- e.
![{\displaystyle E_{1d}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \sin x=y\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c39f1edfd08d94acb7e31cb251a93a0c0c4cfca)
2. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de
?
- a. E2a = Ensemble des suites bornées
- b. E2b = Ensemble des suites monotones
- c. E2c = Ensemble des suites convergentes
- d. E2d = Ensemble des suites arithmétiques
3. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de
?
- a.
![{\displaystyle E_{3a}=\{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\mid f{\text{ monotone}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5ee1cddd94444ad145f7bf77605497cf3ae05c)
- b.
![{\displaystyle E_{3b}=\{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\mid f{\text{ s'annule en }}0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48bfc3ef1a538e8ce4534fd7ded17de3c085f561)
- c.
![{\displaystyle E_{3c}=\{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\mid f{\text{ s'annule}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a035dfc4af8d0f89e3d5fd49593abb068bc32923)
- d.
![{\displaystyle E_{3d}=\{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\mid f{\text{ est impaire}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81f1a766c83c18464a45230336a22de80f38248)
4. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de
?
- a.
le sous-ensemble des matrices
vérifiant ![{\displaystyle A{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bd8fa6b39f5f677623144eb7bd162de5f993b4)
- b.
le sous-ensemble des matrices
vérifiant ![{\displaystyle A{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0cebf62bdda61c47bc79dc6986c8c182352159)
Solution
- Série 1
- a. Non car
et
.
- b. Non : cf. Exercice 1-3.
- c. Oui car
.
- d. Non car
.
- e. Non car (par exemple)
mais
.
- Série 2
- a. : Oui. b. : Non. c. : Oui. d. : Oui.
- Série 3
- a. : Non. b. : Oui. c. : Non. d. : Oui.
- Série 4
- a. : Oui. b. : Non.
Soient
et
.
- Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de
.
- Déterminer
.
Solution
-
- Soient
. Alors
et
. Donc F est bien un sous-espace vectoriel de
.
donc G est bien un sous-espace vectoriel de
.
-
![{\displaystyle {\begin{aligned}u\in F\cap G&\Leftrightarrow \exists (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\quad {\begin{cases}u=(a-b,a+b,a-3b)\\(a-b)+(a+b)-(a-3b)=0\end{cases}}\\&\Leftrightarrow \exists (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\quad {\begin{cases}u=(a-b,a+b,a-3b)\\a=-3b\end{cases}}\\&\Leftrightarrow \exists b\in \mathbb {R} \quad u=(-3b-b,-3b+b,-3b-3b)\\&\Leftrightarrow \exists b\in \mathbb {R} \quad u=b(-4,-2,-6).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34f4087a88fe1b0e21ba049d303aadb4d5c880d)
- Ainsi,
.
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que
.
Soient
et
deux sous-espaces vectoriels de
. Montrer que
est un sous-espace vectoriel de
(si et) seulement si
ou
.
Solution
est immédiat. Pour prouver
, démontrons la contraposée, c'est-à-dire : supposons que
et
et montrons qu'alors,
n'est pas un sous-espace vectoriel de
.
Par hypothèse, il existe un vecteur
et un vecteur
.
Ces deux vecteurs appartiennent à
mais leur somme
n'appartient ni à
(sinon, puisque
et que
est stable par différences, on aurait
, ce qui est contraire au choix de
), ni à
(de même en intervertissant les couples
et
). Donc
n'est pas stable par
.
Soient
et
.
Montrer que ces deux sous-espaces de
sont supplémentaires.
Soit
,
. Montrer que les sous-espaces
et
sont supplémentaires dans
.
Solution
Par division euclidienne, tout polynôme est, de façon unique, somme d'un élément de
et d'un élément de
.
Soit
muni de la loi interne
définie par
et de la loi externe
définie par
.
Montrer que
est un
-espace vectoriel.
Solution
Simple transport de structure de la structure canonique de
-espace vectoriel de
, par la bijection
.
Soient
et
l'espace vectoriel des polynômes de degré
. On définit (pour tout réel
)
.
Montrer que si
alors
. La somme est-elle directe ?
Soient
deux droites d'un même espace vectoriel. Montrer que si un vecteur non nul appartient à
, alors
.
Soient
et
.
- Déterminer l'ensemble des couples
tels que
.
- Même question pour les couples tels que
.
Solution
.
n'a pas de solution
.
a pour solution
.
Déterminer des équations cartésiennes des sous-espaces vectoriels suivants :
;
;
;
;
;
;
Solution
.
(une autre méthode est de calculer le produit vectoriel
de ces deux vecteurs, puis d'écrire que
appartient à
si et seulement si son produit scalaire par ce vecteur
est nul, ou plus directement, d'écrire que le déterminant des trois vecteurs
,
et
est nul).
donc
.
.
.
(analogue à
).
(analogue à
).
Soient
trois s.e.v. de
. On va comparer trois propriétés :
;
;
.
a) Démontrer que
équivaut à
.
b) En déduire que
équivaut à
.
Solution
b) résultera immédiatement de a), puisque
est symétrique en
.
Supposons
et montrons
. Soient
,
,
tels que
. Alors
, donc
et
, donc
et
.
Supposons
et montrons
: si
alors, de
on déduit
, et si
, de
on déduit
.
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