Leçons de niveau 15

Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Aller à la navigation Aller à la recherche
Adjoints et réduction spectrale
Image logo représentative de la faculté
Exercices no6
Leçon : Espace euclidien
Chapitre du cours : Adjoint

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Projection et symétrie orthogonales
Exo suiv. :Sommaire
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Adjoints et réduction spectrale
Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 6-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit , et soit l'endomorphisme de défini par . Déterminer l'adjoint de pour les produits scalaires

.

Exercice 6-2[modifier | modifier le wikicode]

Diagonaliser dans une base orthonormée la matrice

.

Même question pour la forme quadratique .

Exercice 6-3[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans muni du produit scalaire .

Soit l'endomorphisme de défini par

.
  1. Montrer que est diagonalisable et que si et sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, alors .
  2. Diagonaliser pour .

Exercice 6-4[modifier | modifier le wikicode]

On considère la matrice

.
  1. Montrer que la suite converge. Que représente sa limite  ?
  2. Calculer .
  3. Soit une suite de vecteurs tels que . Converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?

Exercice 6-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient et des nombres réels. Diagonaliser la matrice

.

En déduire pour tout entier .

Exercice 6-6[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans . Soit une matrice symétrique définie positive.

  1. Montrer qu'il existe une matrice symétrique définie positive telle que .
  2. Montrer que est unique.
  3. Calculer lorsque .

Exercice 6-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux matrices symétriques d'ordre . On note et leurs plus petites valeurs propres, et leurs plus grandes valeurs propres. Montrer que pour toute valeur propre de la matrice , on a .

Exercice 6-8[modifier | modifier le wikicode]

est muni de son produit scalaire canonique : .

Soient . Soit .

Déterminer l'adjoint de .

Soient un espace euclidien de dimension , l'espace des endomorphismes de , muni du produit scalaire , et le sous-espace des endomorphismes symétriques. Pour tout , on note l'endomorphisme de défini par .

  1. Montrer que .
  2. Calculer l'adjoint de , et montrer que est orthogonal si et seulement si l'est.
  3. Si est symétrique, calculer le déterminant de .

Exercice 6-8[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer qu'il existe une base orthonormée de telle que les soient orthogonaux deux à deux.

Exercice 6-9[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Orthogonalisation simultanée ».

Soient . On suppose symétrique définie positive et symétrique.

  1. Montrer qu'il existe et diagonale telles que et .
  2. En déduire que est diagonalisable dans , ainsi que .
  1. Soit un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien de dimension . Montrer que atteint ses bornes inférieure et supérieure et déterminer ces bornes en fonction du spectre de .
  2. Déterminer les bornes de la fonction .

Exercice 6-10[modifier | modifier le wikicode]

Soient deux matrices symétriques réelles de valeurs propres .

  1. Montrer que les sont tous et même si est inversible.
  2. En déduire que , et même si sont inversibles.

Exercice 6-11[modifier | modifier le wikicode]

Soit symétrique.

  1. Quelle est la forme du polynôme minimal de  ?
  2. Si (avec choisi le plus petit possible), quelles sont les valeurs possibles pour et  ?

Exercice 6-12[modifier | modifier le wikicode]

Pour , on note .

  1. Donner une base et la dimension du sous-espace de .
  2. Justifier (sans calcul) le fait que pour tous , est diagonalisable puis prouver l'existence d'une matrice inversible telle que , où est diagonale : . (Il n'est pas demandé d'expliciter .)
  3. Déterminer les matrices de qui sont orthogonales.
  4. Soient et l'endomorphisme de matrice dans la base canonique de l'espace euclidien usuel . Montrer que est une isométrie vectorielle dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques.

Exercice 6-13[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace euclidien et tel que .

  1. Soit . Montrer que et en déduire que .
  2. Montrer que .
  3. En déduire que .