Leçons de niveau 15

Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale

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Adjoints et réduction spectrale
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Exercices no6
Leçon : Espace euclidien
Chapitre du cours : Adjoint

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Projection et symétrie orthogonales
Exo suiv. :Sommaire
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Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale
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Exercice 6-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit , et soit l'endomorphisme de défini par . Déterminer l'adjoint de pour les produits scalaires

.

Exercice 6-2[modifier | modifier le wikicode]

Diagonaliser dans une base orthonormée la matrice

.

Exercice 6-3[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans muni du produit scalaire .

Soit l'endomorphisme de défini par

.
  1. Montrer que est diagonalisable et que si et sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, alors .
  2. Diagonaliser pour .

Exercice 6-4[modifier | modifier le wikicode]

On considère la matrice

.
  1. Montrer que la suite converge. Que représente sa limite  ?
  2. Calculer .
  3. Soit une suite de vecteurs tels que . Converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?

Exercice 6-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient et des nombres réels. Diagonaliser la matrice

.

En déduire pour tout entier .

Exercice 6-6[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans . Soit une matrice symétrique définie positive.

  1. Montrer qu'il existe une matrice symétrique définie positive telle que .
  2. Montrer que est unique.
  3. Calculer lorsque .

Exercice 6-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux matrices symétriques d'ordre . On note et leurs plus petites valeurs propres, et leurs plus grandes valeurs propres. Montrer que pour toute valeur propre de la matrice , on a .