Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale

Exercice 6-1

Soit $E=\mathbb {R} _{1}[X]$, et soit $u$ l'endomorphisme de $E$ défini par $u(P)=P-P'$. Déterminer l'adjoint de $u$ pour les produits scalaires

$\varphi (P,Q)=P(0)Q(0)+P'(0)Q'(0)\qquad \mathrm {et} \qquad \psi (P,Q)=\int _{0}^{1}P(t)Q(t)\,\mathrm {d} t$.

Solution

Il s'agit, pour chacun des deux produits scalaires, de calculer les deux polynômes

$aX+b=u^{*}(1)\quad {\text{et}}\quad cX+d=u^{*}(X).$

1. Pour $\varphi$ :

   $b=\varphi (1,u^{*}(1))=\varphi (u(1),1)=1\quad {\text{et}}\quad a=\varphi (X,u^{*}(1))=\varphi (u(X),1)=-1$

   ${\text{donc}}\quad u^{*}(1)=1-X$.

   $d=\varphi (1,u^{*}(X))=\varphi (u(1),X)=0\quad {\text{et}}\quad c=\varphi (X,u^{*}(X))=\varphi (u(X),X)=1$

   ${\text{donc}}\quad u^{*}(X)=X$.

2. Pour $\psi$ :

   ${\frac {a}{2}}+b=\psi (1,u^{*}(1))=\psi (u(1),1)=1\quad {\text{et}}\quad {\frac {a}{3}}+{\frac {b}{2}}=\psi (X,u^{*}(1))=\psi (u(X),1)=-{\frac {1}{2}}$

   ${\text{donc}}\quad a=-12,\quad b=7\quad {\text{et}}\quad u^{*}(1)=7-12X$.

   ${\frac {c}{2}}+d=\psi (1,u^{*}(X))=\psi (u(1),X)={\frac {1}{2}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {c}{3}}+{\frac {d}{2}}=\psi (X,u^{*}(X))=\psi (u(X),X)=-{\frac {1}{6}}$

   ${\text{donc}}\quad c=-5,\quad d=3\quad {\text{et}}\quad u^{*}(X)=3-5X$.

 

Exercice 6-2

Diagonaliser dans une base orthonormée la matrice

$A={\begin{pmatrix}6&-2&2\\-2&5&0\\2&0&7\end{pmatrix}}$.

Solution

On calcule le polynôme caractéristique

$\det(A-\lambda \mathrm {I} _{3})=(3-\lambda )(6-\lambda )(9-\lambda )$.

Les valeurs propres de $A$ sont donc $3$, $6$ et $9$, et les sous-espaces propres associés sont des droites. On détermine comme d'habitude des vecteurs propres, que l'on norme ; on obtient

$v_{3}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(2,2,-1),\quad v_{6}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(-1,2,2),\quad v_{9}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(2,-1,2)$.

Ces vecteurs sont bien orthogonaux deux à deux, comme il se doit. On a donc bien diagonalisé $A$ dans la base orthonormée $(v_{3},v_{6},v_{9})$.

 

Même question pour la forme quadratique $q(x,y,z)=4x^{2}+7y^{2}+4z^{2}+4xy-2xz-4yz$.

Solution

$q$ a pour matrice $A={\begin{pmatrix}4&2&-1\\2&7&-2\\-1&-2&4\end{pmatrix}}$.

$\det(A-\lambda \mathrm {I} )=-(\lambda -3)^{2}(\lambda -9)$ et le plan propre associé à $3$ a pour équation $x+2y-z=0$ donc est l'orthogonal du vecteur $u=(1,2,-1)$, donc la droite propre associée à $9$ est $\mathbb {R} u$.

On pose $e_{1}=u/{\sqrt {6}}$ (de norme $1$) et l'on construit une base orthonormée $(e_{2},e_{3})$ du plan $u^{\perp }$ en posant par exemple $v=(1,0,1)$, $e_{2}=v/{\sqrt {2}}$, $w=(x,y,z)$ tel que $z=x+2y,x+z=0$ : $w=(-1,1,1)$, $e_{3}=w/{\sqrt {3}}$. La matrice $P={\begin{pmatrix}1/{\sqrt {6}}&1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {3}}\\2/{\sqrt {6}}&0&1/{\sqrt {3}}\\-1/{\sqrt {6}}&1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}$ est alors orthogonale et $P^{t}.A.P=\mathrm {diag} (9,3,3)$.

$e_{i}^{t}.Ae_{j}=(P^{t}.A.P)_{i,j}=D_{i,j}=0$ si $i\neq j$ donc $(e_{1},e_{2},e_{3})$ est orthogonale pour $q$.

 

Exercice 6-3

On se place dans $E=\mathbb {R} _{n}[X]$ muni du produit scalaire $\varphi (P,Q)=\int _{-1}^{1}P(x)Q(x)\,\mathrm {d} x$.

Soit $u$ l'endomorphisme de $E$ défini par

$u(P)(X)=2XP'(X)+(X^{2}-1)P''(X)$.

1. Montrer que $u$ est diagonalisable et que si $A$ et $B$ sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, alors $\varphi (A,B)=0$.
2. Diagonaliser $u$ pour $n\leq 3$.

Solution

1. Il suffit de montrer que $u$ est autoadjoint. On remarque pour cela que $u(P)(X)$ est le polynôme dérivé de $(X^{2}-1)P'(X)$. Comme ce polynôme s’annule en $\pm 1$, une intégration par parties donne
   $\varphi (u(P),Q)=-\int _{-1}^{1}(X^{2}-1)P'(x)Q'(x)\,\mathrm {d} x$,
   qui est bien symétrique en $P$ et $Q$.
2. Comme $u$ envoie un polynôme de degré $d$ sur un polynôme de degré au plus $d$, il suffit de le diagonaliser pour $n=3$.
   On calcule $u(1)=0,\quad u(X)=2X,\quad u(X^{2})=6X^{2}-2,\quad u(X^{3})=12X^{3}-6X$.
   Les valeurs propres de $u$ sont donc $0,\quad 2,\quad 6,\quad 12$, et des vecteurs propres sont $v_{0}=1,\quad v_{2}=X,\quad v_{6}=X^{2}-{\frac {1}{2}},\quad v_{12}=X^{3}+{\frac {3}{5}}X$. Comme il se doit, ces vecteurs propres sont orthogonaux par rapport à $\varphi$ (on aurait pu aussi utiliser cette propriété pour les déterminer)

 

Exercice 6-4

On considère la matrice

$M={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {5}{12}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {5}{12}}&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$.

1. Montrer que la suite $(M^{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge. Que représente sa limite $N$ ?
2. Calculer $N$.
3. Soit $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de vecteurs tels que $v_{n+1}=M(v_{n})$. Converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?

Solution

1. La matrice $M$ est symétrique, donc il existe une matrice orthogonale $P$ telle que $M=PDP^{-1}$, avec $D$ diagonale. Alors $M=PD^{n}P^{-1}$, et cette suite converge si et seulement si la suite $(D^{n})$ converge, autrement dit si et seulement si les valeurs propres de $M$ appartiennent à l'intervalle $\left]-1,1\right]$. De plus, la limite $N$ est alors la projection orthogonale sur l'espace propre associé à la valeur propre $1$. Cette analyse suggère d'étudier la valeur propre $1$. On trouve comme sous-espace propre associé la droite engendrée par $v=(1,1,1)$. Comme on sait que $M$ est diagonalisable dans une base orthogonale, on se place dans l'orthogonal de $v$, qui est le plan engendré par les vecteurs $e=(1,-1,0)$ et $f=(0,1,-1)$. On constate alors que $M(f)=-f/12$, ce qui donne une deuxième valeur propre égale à $-1/12$. Comme la trace de $M$ est égale à $7/6$, la troisième valeur propre doit valoir $1/4$, et la droite propre associée doit être orthogonale à v et à $f$, donc engendrée par $g=(2,-1,-1)$. Comme les trois valeurs propres sont dans l'intervalle $\left]-1,1\right]$, la suite $(M^{n})$ converge bien, et sa limite $N$ est la projection orthogonale sur la droite engendrée par $v$.
2. On sait que $N(f)=N(g)=0$ et $N(v)=v$. On obtient la matrice de $N$ dans la base canonique $(e_{1},e_{2},e_{3})$ en inversant la matrice de passage.
   Comme $e_{1}={\frac {v+g}{3}}$, $e_{2}={\frac {2v+3f-g}{6}}$ et $e_{3}={\frac {2v-3f-g}{6}}$, on a $N(e_{1})=N(e_{2})=N(e_{3})={\frac {v}{3}}$. En conséquence, $N={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}$.
3. Puisque $M^{n}\to N$, $v_{n}=M^{n}v_{0}\to Nv_{0}$, qui est le projeté orthogonal de $v_{0}$ sur la droite engendrée par $v$.

 

Exercice 6-5

Soient $a$ et $b$ des nombres réels. Diagonaliser la matrice

$M={\begin{pmatrix}a&b&b\\b&a&b\\b&b&a\end{pmatrix}}$.

En déduire $M^{n}$ pour tout entier $n$.

Solution

Le vecteur $v=(1,1,1)$ est manifestement un vecteur propre de $M$ pour la valeur propre $a+2b$. $M$ restreinte au plan $v^{\bot }$ est $a-b$ fois l'identité. Une base orthonormée de vecteurs propres est donc donnée par exemple par

$v_{1}={\frac {v}{\sqrt {3}}}$, $v_{2}={\frac {(0,1,-1)}{\sqrt {2}}}$, $v_{3}={\frac {(2,-1,1)}{\sqrt {6}}}$.

Si $P$ est la matrice de passage de la base canonique à la base $(v_{1},v_{2},v_{3})$, on a donc $P^{-1}MP=D$, avec $D$ la matrice diagonale à coefficients diagonaux $(a+2b,a-b,a-b)$. On en déduit que $M^{n}=PD^{n}P^{-1}$, ce qui donne :

$M^{n}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {3}}}&0&{\frac {2}{\sqrt {6}}}\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}(a+2b)^{n}&0&0\\0&(a-b)^{n}&0\\0&0&(a-b)^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {2}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}$

et donc après calcul :

$M^{n}={\frac {(a+2b)^{n}}{2}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}+{\frac {(a-b)^{n}}{3}}{\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}}$.

(Autre méthode : écrire $M=(a-b)\mathrm {I} _{3}+3bN$ et remarquer que $N$ est un projecteur.)

 

Exercice 6-6

On se place dans $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$. Soit $M$ une matrice symétrique définie positive.

1. Montrer qu'il existe une matrice symétrique définie positive $N$ telle que $M=N^{2}$.
2. Montrer que $N$ est unique.
3. Calculer $N$ lorsque $M={\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}}$.

Solution

1. Comme $M$ est symétrique, il existe une matrice orthogonale $P$ telle que $P^{-1}MP=D$ diagonale. De plus, comme $M$ est définie positive, ses valeurs propres sont strictement positives, autrement dit les coefficients diagonaux de $D$ sont strictement positifs. En les remplaçant par leurs racines, on obtient une matrice diagonale $E$ telle que $D=E^{2}$. En posant alors $N=PEP^{-1}$, on a :
   • $N^{2}=PE^{2}P^{-1}=M$ ;
   • ${}^{\mathrm {t} }\!N={}^{\mathrm {t} }\!P^{-1}{}^{\mathrm {t} }\!E\,{}^{\mathrm {t} }\!P=PEP^{-1}=N$ donc $N$ est symétrique ;
   • $N$ est définie positive car ses valeurs propres sont strictement positives.
2. Réciproquement, soit $N$ symétrique positive telle que $M=N^{2}$. Alors il existe une matrice orthogonale $P$ telle que $P^{-1}NP=E$ diagonale, d'où $P^{-1}MP=E^{2}$. Donc $N$ et $M$ ont les mêmes sous-espaces propres, et les valeurs propres associées pour $N$ sont les racines carrées de celles pour $M$. Ceci détermine entièrement $N$.
3. Les valeurs propres de $M$ sont $3\pm 2{\sqrt {2}}$, avec comme vecteurs propres associés $(1,-1\pm {\sqrt {2}})$.
   La matrice de passage est $P={\begin{pmatrix}1&1\\-1+{\sqrt {2}}&-1-{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$ et l'on a $M=PDP^{-1}$ avec $D={\begin{pmatrix}3+2{\sqrt {2}}&0\\0&3-2{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$.

 

Exercice 6-7

Soient $A$ et $B$ deux matrices symétriques d'ordre $n$. On note $\alpha ^{-}$ et $\beta ^{-}$ leurs plus petites valeurs propres, $\alpha ^{+}$ et $\beta ^{+}$ leurs plus grandes valeurs propres. Montrer que pour toute valeur propre $\gamma$ de la matrice $A+B$, on a $\alpha ^{-}+\beta ^{-}\leq \gamma \leq \alpha ^{+}+\beta ^{+}$.

Solution

Soit $v$ un vecteur propre pour $A+B$ pour la valeur propre $\gamma$. Alors, $\gamma \|v\|^{2}=\langle (A+B)v,v\rangle =\langle Av,v\rangle +\langle Bv,v\rangle$ donc il suffit de démontrer que $\langle Av,v\rangle$ est compris entre $\alpha ^{-}\|v\|^{2}$ et $\alpha ^{+}\|v\|^{2}$ (on aura bien sûr l'analogue pour $B,\beta ^{-},\beta ^{+}$). Soient $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ les valeurs propres de $A$ et $(v_{1},\dots ,v_{n})$ les coordonnées de $v$ dans une base propre orthonormée associée. On a bien $\langle Av,v\rangle =\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}v_{k}^{2}\leq \sum _{k=1}^{n}\alpha ^{+}v_{k}^{2}=\alpha ^{+}\|v\|^{2}$ et (de même) minoré par $\langle Av,v\rangle \geq \alpha ^{-}\|v\|^{2}$.

 

Exercice 6-8

$E=\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$ est muni de son produit scalaire canonique : $\langle M\mid N\rangle =\operatorname {tr} ({}^{\operatorname {t} }\!MN)$.

Soient $A,B\in E$. Soit $\phi :E\to E,\,M\mapsto AMB$.

Déterminer l'adjoint de $\phi$.

Solution

$\forall M,N\in E\quad \langle \phi (M)\mid N\rangle =\operatorname {tr} ({}^{\operatorname {t} }\!(AMB)N)=\operatorname {tr} ({}^{\operatorname {t} }\!B\,{}^{\operatorname {t} }\!M\,{}^{\operatorname {t} }\!AN)=\operatorname {tr} ({}^{\operatorname {t} }\!M\,{}^{\operatorname {t} }\!A\,N{}^{\operatorname {t} }\!B)=\langle M\mid {}^{\operatorname {t} }\!A\,N\,{}^{\operatorname {t} }\!B\rangle$

donc $\phi ^{*}(N)={}^{\operatorname {t} }\!A\,N\,{}^{\operatorname {t} }\!B$.

 

Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$, $\mathrm {L} (E)$ l'espace des endomorphismes de $E$, muni du produit scalaire $\langle x,y\rangle :=Trace(x^{*}y)$, et $S(E)$ le sous-espace des endomorphismes symétriques. Pour tout $a\in \mathrm {L} (E)$, on note $g_{a}$ l'endomorphisme de $S(E)$ défini par $g_{a}(x)=axa^{*}$.

1. Montrer que $g_{ab}=g_{a}g_{b}$.
2. Calculer l'adjoint de $g_{a}$, et montrer que $g_{a}$ est orthogonal si et seulement si $a$ l'est.
3. Si $a$ est symétrique, calculer le déterminant de $g_{a}$.

Solution

1. Immédiat.
2. $\forall x,y\in S(E)\quad \langle (g_{a})^{*}(x),y\rangle =\langle x,g_{a}(y)\rangle =\mathrm {Trace} (x^{*}aya^{*})=\mathrm {Trace} (a^{*}x^{*}ay)=\mathrm {Trace} ((a^{*}xa)^{*}y)=\langle a^{*}xa,y\rangle$ donc $\forall x\in S(E)\quad (g_{a})^{*}(x)=a^{*}xa$ c'est-à-dire $(g_{a})^{*}=g_{(a^{*})}$.
   $g_{a}$ est orthogonal si et seulement si $id=(g_{a})(g_{a})^{*}=g_{a}g_{a^{*}}=g_{aa^{*}}$ c'est-à-dire si et seulement si $aa^{*}=id$ c'est-à-dire si et seulement si $a$ est orthogonal.
3. Si $a$ est symétrique, on se place dans une base orthonormée propre pour $a$ et l'on identifie les endomorphismes (symétriques) avec leur matrice (symétrique) dans cette base, en particulier on identifie $a$ à une matrice diagonale $D=\mathrm {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})$. Alors, $DE_{i,j}D=d_{i}d_{j}E_{i,j}$ donc les $\varepsilon _{i,j}:=E_{i,j}+E_{j,i}$ pour $i\leq j$ forment une base de $S(E)$ propre pour $g_{a}$, de valeurs propres associées $d_{i}d_{j}$, d'où $\det g_{a}=\prod _{1\leq i\leq j\leq n}d_{i}d_{j}=\det a^{n+1}$. Vérification pour $a=k\mathrm {id}$ : $g_{a}=k^{2}\mathrm {id}$, $\det a=k^{n}$, $\det g_{a}=(k^{2})^{n(n+1)/2}=|k|^{n(n+1)}=k^{n(n+1)}$ (car $n(n+1)$ est pair)$=(\det a)^{n+1}$.

 

Exercice 6-8

Soit $h\in \mathrm {L} (\mathbb {R} ^{n})$. Montrer qu'il existe une base orthonormée $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ de $\mathbb {R} ^{n}$ telle que les $h(e_{i})$ soient orthogonaux deux à deux.

Solution

$\forall i\neq j\quad 0=\langle h(e_{i}),h(e_{j})\rangle =\langle e_{i},h^{*}h(e_{j})\rangle \Leftrightarrow h^{*}h(e_{j})$ colinéaire à $e_{j}$. Cela revient donc à chercher une b.o.n. propre pour $h^{*}h$. Une telle base existe puisque $h^{*}h$ est symétrique.

 

Exercice 6-9

Soient $A,B\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$. On suppose $A$ symétrique définie positive et $B$ symétrique.

1. Montrer qu'il existe $P\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ et $D$ diagonale telles que $P^{t}.A.P=\mathrm {I} _{n}$ et $P^{t}.B.P=D$.
2. En déduire que $A^{-1}B$ est diagonalisable dans $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$, ainsi que $AB$.

Solution

1. $A$ définit un produit scalaire. Soit $P_{1}\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ la matrice (dans la base canonique de $\mathbb {R} ^{n}$) d'une base orthonormée pour ce produit scalaire : $P_{1}^{t}AP_{1}=I$. Cherchons $P$ sous la forme $P_{1}P_{2}$. On veut donc que $P_{2}\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$, $\mathrm {I} _{n}=P_{2}^{t}P_{2}$ et $P_{2}^{t}B'P_{2}=D$ pour $B'=P_{1}^{t}BP_{1}$. Autrement dit, on cherche $P_{2}$ orthogonale telle que $P_{2}^{t}B'P_{2}$ soit diagonale. Une telle $P_{2}$ existe puisque (comme $B$) $B'$ est symétrique.
2. On a alors $A^{-1}B=(P.P^{t})((P^{t})^{-1}DP^{-1})=PDP^{-1}$ donc $A^{-1}B$ est diagonalisable dans $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$. Tout ce qu'on a dit sur $A$ s'applique également à $A^{-1}$ (car les hypothèses sur $A$ — symétrique à valeurs propres $>0$ — se transmettent à $A^{-1}$), donc $AB$ est également diagonalisable.

 

1. Soit $u$ un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien $E$ de dimension $n$. Montrer que $\varphi :E\setminus \{0\}\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto \langle u(x)\mid x\rangle /\|x\|^{2}$ atteint ses bornes inférieure et supérieure et déterminer ces bornes en fonction du spectre de $u$.
2. Déterminer les bornes de la fonction $\varphi :\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\},\,(x,y)\mapsto {x^{2}+xy+y^{2} \over x^{2}-xy+y^{2}}$.

Solution

1. Soit $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ une base orthonormée propre pour $u$, de valeurs propres associées $\lambda _{1}\leq \dots \leq \lambda _{n}$. Si $x$ a pour coordonnées $x_{i}$ dans cette base, $\varphi (x)=\left(\sum \lambda _{i}x_{i}^{2}\right)/\left(\sum x_{i}^{2}\right)\in [\lambda _{1},\lambda _{n}]$ et $\lambda _{1}=\varphi (e_{1})$, $\lambda _{n}=\varphi (e_{n})$. Donc les bornes de $\varphi$ sont $\lambda _{1}$ et $\lambda _{n}$ (la plus petite et la plus grande valeur propre de $u$) et sont atteintes.
2. La forme quadratique $q(x,y)=x^{2}-xy+y^{2}$ est définie positive et le produit scalaire associé est $\varphi ((x,y),(x',y')):=xx'-{xy'+yx' \over 2}+yy'$. Cherchons $u$ symétrique pour ce produit scalaire, tel que $\varphi (u(x,y),(x,y))=x^{2}+xy+y^{2}$. On cherche donc $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ tels que $u(x,y):=(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)$ vérifie $xx'+{xy'+yx' \over 2}+yy'=\varphi (u(x,y),(x',y'))=(\alpha -\gamma /2)xx'+(\gamma -\alpha /2)xy'+(\beta -\delta /2)yx'+(\delta -\beta /2)yy'$, d'où $\alpha =\delta =5/3$ et $\beta =\gamma =4/3$, d'où $u$. Les valeurs propres de $u$ (donc les bornes de $\varphi$) sont $3$ et $1/3$.
   Variante matricielle (d'après le début de cet exercice) : une base orthonormée pour $q$ est $e_{1}:=(1,0),e_{2}:={\frac {(1,2)}{\sqrt {3}}}$. Calculons la matrice $B'$ dans cette base de la forme quadratique $q'(x,y):=x^{2}-xy+y^{2}$. On a $q'(ae_{1}+be_{2})=a^{2}+{\frac {4ab}{\sqrt {3}}}+{\frac {7b^{2}}{3}}$ donc $B'={\begin{pmatrix}1&{\frac {2}{\sqrt {3}}}\\{\frac {2}{\sqrt {3}}}&{\frac {7}{3}}\end{pmatrix}}$. Les valeurs propres de $B'$ (donc les bornes de $\varphi$) sont $3$ et $1/3$.

 

Exercice 6-10

Soient $A,B$ deux matrices symétriques réelles de valeurs propres $\geq 0$.

1. Montrer que les $A_{i,i}$ sont tous $\geq 0$ et même $>0$ si $A$ est inversible.
2. En déduire que $\mathrm {Tr} (AB)\geq 0$, et même $>0$ si $A,B$ sont inversibles.

Solution

1. Soit $P$ orthogonale telle que $A=P^{t}.D.P$ avec $D=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$, alors $A_{i,i}=\sum _{j,k}(P^{t})_{i,j}D_{j,k}P_{k,i}=\sum _{j}P_{j,i}\lambda _{j}P_{j,i}=\sum _{j}(P_{j,i})^{2}\lambda _{j}\geq 0$, et $\neq 0$ si $A$ est inversible car sinon (comme les $\lambda _{j}$ sont tous $>0$) la colonne $i$ de $P$ serait nulle donc $P$ ne serait pas orthogonale car pas inversible.
2. Soit $Q$ orthogonale telle que $B=Q^{t}.D'.Q$ avec $D'=\mathrm {diag} (\lambda '_{1},\dots ,\lambda '_{n})$, alors $\mathrm {Tr} (AB)=\mathrm {Tr} (A.Q^{t}.D'.Q)=\mathrm {Tr} (A'D')$ avec $A'=Q.A.Q^{t}$, symétrique positive comme $A$ donc (d'après la question 1) $A'_{i,i}\geq 0$, d'où $\mathrm {Tr} (AB)=\sum _{i}A'_{i,i}\lambda '_{i}\geq 0$. De plus si $A,B$ sont inversibles (donc $A'$ aussi), les $\lambda '_{i}$ et les $A'_{i,i}$ sont $>0$ donc $\mathrm {Tr} (AB)$ aussi.

 

Exercice 6-11

Soit $A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$ symétrique.

1. Quelle est la forme du polynôme minimal $P(X)$ de $A$ ?
2. Si $A^{k}=\mathrm {I} _{n}$ (avec $k\in \mathbb {N} ^{*}$ choisi le plus petit possible), quelles sont les valeurs possibles pour $k$ et $P(X)$ ?

Solution

1. $P(X)$ est scindé sur $\mathbb {R}$ et ses racines sont simples.
2. Si $A^{k}=\mathrm {I} _{n}$ les valeurs propres $\lambda \in \mathbb {R}$ vérifient $\lambda ^{k}=1$ donc $\lambda =\pm 1$. D'où trois cas : $P(X)=X-1,A=\mathrm {I} _{n},k=1$, $P(X)=X+1,A=-\mathrm {I} _{n},k=2$, $P(X)=(X-1)(X+1),k=2,A=$ une symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace non trivial.

 

Exercice 6-12

Pour $a,b\in \mathbb {R}$, on note $M(a,b)={\begin{pmatrix}a&-a&b\\-a&a&b\\b&b&0\end{pmatrix}}$.

1. Donner une base et la dimension du sous-espace $E:=\{M(a,b)\mid (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\}$ de $M_{3}(\mathbb {R} )$.
2. Justifier (sans calcul) le fait que pour tous $a,b\in \mathbb {R}$, $M(a,b)$ est diagonalisable puis prouver l'existence d'une matrice inversible $P$ telle que $M(a,b)=P\Delta (a,b)P^{T}$, où $\Delta (a,b)$ est diagonale : $\Delta (a,b)=\mathrm {diag} (2a,b{\sqrt {2}},-b{\sqrt {2}})$. (Il n'est pas demandé d'expliciter $P$.)
3. Déterminer les matrices de $E$ qui sont orthogonales.
4. Soient $A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1&1&{\sqrt {2}}\\1&-1&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}&0\end{pmatrix}}$ et $u$ l'endomorphisme de matrice $A$ dans la base canonique de l'espace euclidien usuel $\mathbb {R} ^{3}$. Montrer que $u$ est une isométrie vectorielle dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques.

Solution

1. $E$ est engendré par $M(1,0)$ et $M(0,1)$ qui sont linéairement indépendantes donc forment une base de $E$, qui est donc de dimension 2.
2. $M(a,b)$ est symétrique donc il existe une matrice orthogonale $P$ telle que $P^{-1}M(a,b)P=\Delta (a,b)$ soit diagonale, donc telle que $M(a,b)=P\Delta (a,b)P^{-1}=P\Delta (a,b)P^{T}$. $\det(M(a,b)-\lambda \mathrm {I} )=-(\lambda -2a)(\lambda ^{2}-2b^{2})$, d'où l'expression de $\Delta (a,b)$.
3. $M(a,b)\in O_{3}(\mathbb {R} )\Leftrightarrow \Delta (a,b)\in O_{3}(\mathbb {R} )\Leftrightarrow 2a=\pm 1,\pm b{\sqrt {2}}=\pm 1\Leftrightarrow a=\pm 1/2,b=\pm 1/{\sqrt {2}}$ (on trouve donc quatre matrices).
4. $A=M(-1/2,1/{\sqrt {2}})$ est diagonalisable d'après (2) et orthogonale d'après (3) donc $u$ est la symétrie orthogonale par rapport à $\ker(u-\mathrm {id} )=\mathbb {R} (1,1,{\sqrt {2}})$.

 

Exercice 6-13

Soient $E$ un espace euclidien et $f\in \mathrm {L} (E)$ tel que $\forall x\in E\quad \|f(x)\|\leq \|x\|$.

1. Soit $x\in \ker(f^{*}-\mathrm {id} )$. Montrer que $\|f(x)-x\|^{2}=\|f(x)\|^{2}-\|x\|^{2}$ et en déduire que $x\in \ker(f-\mathrm {id} )$.
2. Montrer que $\forall h\in \mathrm {L} (E)\quad \mathrm {im} h^{\perp }\subset \ker h^{*}$.
3. En déduire que $\mathrm {im} (f-\mathrm {id} )^{\perp }=\ker(f-\mathrm {id} )$.

Solution

1. $\langle x,f(x)\rangle =\langle f^{*}(x),x\rangle =\|x\|^{2}$ d'où l'égalité en développant. Donc $0\leq \|f(x)-x\|^{2}=\|f(x)\|^{2}-\|x\|^{2}\leq 0$, donc $\|f(x)-x\|^{2}=0$, c'est-à-dire $x\in \ker(f-\mathrm {id} )$.
2. Soit $x\perp \mathrm {im} h$ alors $\forall y\in E\quad \langle h^{*}(x),y\rangle =\langle x,h(y)\rangle =0$ donc $h^{*}(x)=0$.
3. $\mathrm {im} (f-\mathrm {id} )^{\perp }\subset \ker(f^{*}-\mathrm {id} )\subset \ker(f-\mathrm {id} )$, d'où l'égalité pour des raisons de dimension.