Droites et plans de l'espace/Définition et paramétrage d'une droite

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Présentation générale

En géométrie affine, une droite est généralement considérée comme un « alignement de points ». Cet alignement est défini par soit deux points (distincts), soit par un point et un vecteur (non nul).

Définir une représentation paramétrique de la droite consistera à faire intervenir une variable qui décrit l'alignement. Cette description se fera en coordonnées cartésiennes, dans un repère affine.

Dans cette leçon, l'espace affine $E$ considéré est toujours supposé de dimension 3, muni d'un repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$ (non nécessairement orthonormé ni même orthogonal).

Définition d'une droite affine

Définition

Soient $A$ un point et ${\vec {u}}$ un vecteur non nul.

La droite passant par le point $A$ et de vecteur directeur ${\vec {u}}$ est l'ensemble, noté $A+\mathbb {R} {\vec {u}}$, des points $M$ de l'espace tels que ${\overrightarrow {AM}}$ soit colinéaire à ${\vec {u}}$ :

$A+\mathbb {R} {\vec {u}}=\{A+t{\vec {u}}\mid t\in \mathbb {R} \}=\{M\in E\mid \exists t\in \mathbb {R} \quad {\overrightarrow {AM}}=t{\vec {u}}\}$.

Remarque

L'application $\mathbb {R} \to A+\mathbb {R} {\vec {u}},\ t\mapsto A+t{\vec {u}}$ est une bijection, c'est-à-dire que chaque point de la droite correspond à une valeur de paramètre réel $t$ et réciproquement. Le point $A$ correspond à $t=0$.

Proposition

Pour deux points distincts $A$ et $B$ de l'espace, la droite $(AB):=A+\mathbb {R} {\overrightarrow {AB}}$ est l'unique droite passant par $A$ et $B$.

Démonstration

• La droite $A+\mathbb {R} {\overrightarrow {AB}}$ est bien définie (car ${\overrightarrow {AB}}\neq {\vec {0}}$) et passe par $A+0{\overrightarrow {AB}}=A$ et par $A+1{\overrightarrow {AB}}=B$.
• Réciproquement, si une droite $C+\mathbb {R} {\vec {u}}$ (où $C$ est un point et ${\vec {u}}$ un vecteur non nul) passe par $A$ et $B$, c'est-à-dire s'il existe deux réels $t_{A},t_{B}$ (nécessairement distincts) tels que $A=C+t_{A}{\vec {u}}$ et $B=C+t_{B}{\vec {u}}$, alors $C+\mathbb {R} {\vec {u}}=A-t_{A}{\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {u}}=A+\mathbb {R} {\vec {u}}=A+\mathbb {R} \left(t_{B}-t_{A}\right){\vec {u}}=A+\mathbb {R} {\overrightarrow {AB}}$.

 

Représentation paramétrique

Étant donné un repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$, par définition :

• le triplet des coordonnées d'un vecteur ${\vec {u}}$ est l'unique matrice colonne ${\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \\\gamma \end{pmatrix}}$ telle que ${\vec {u}}=\alpha {\vec {i}}+\beta {\vec {j}}+\gamma {\vec {k}}$ ;
• les coordonnées ${\begin{pmatrix}x_{A}\\y_{A}\\z_{A}\end{pmatrix}}$ d'un point $A$ sont les coordonnées du vecteur ${\overrightarrow {OA}}$.

La représentation paramétrique d'une droite s'écrit donc :

• pour une droite définie par un point $A$ et un vecteur directeur ${\vec {u}}$ (non nul) :

$A+\mathbb {R} {\vec {u}}:{\begin{cases}x=x_{A}+t\alpha \\y=y_{A}+t\beta \\z=z_{A}+t\gamma \end{cases}}\quad (t\in \mathbb {R} )$ ;

• pour une droite définie par deux points distincts $A$ et $B$ :

$(AB):{\begin{cases}x=x_{A}+t\left(x_{B}-x_{A}\right)=\left(1-t\right)x_{A}+tx_{B}\\y=y_{A}+t\left(y_{B}-y_{A}\right)=\left(1-t\right)y_{A}+ty_{B}\\z=z_{A}+t\left(z_{B}-z_{A}\right)=\left(1-t\right)z_{A}+tz_{B}\end{cases}}\quad (t\in \mathbb {R} )$, ou encore, en échangeant les rôles de $A$ et $B$ :

$(AB):{\begin{cases}x=sx_{A}+\left(1-s\right)x_{B}\\y=sy_{A}+\left(1-s\right)y_{B}\\z=sz_{A}+\left(1-s\right)z_{B}\end{cases}}\quad (s\in \mathbb {R} )$

On reconnaît l'écriture des coordonnées du barycentre de $(A,(1-t)),(B,t)$ ou de $(A,s),(B,(1-s))$.

Remarque

Réciproquement, pour tous triplets de réels $(\alpha ,\beta ,\gamma )\neq (0,0,0)$ et $(x_{0},y_{0},z_{0})$,

${\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha \\y=y_{0}+t\beta \\z=z_{0}+t\gamma \end{cases}}\quad (t\in \mathbb {R} )$

est la représentation paramétrique (dans le repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$) de la droite passant par le point de coordonnées ${\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{pmatrix}}$ et de vecteur directeur $\alpha {\vec {i}}+\beta {\vec {j}}+\gamma {\vec {k}}$.