Leçons de niveau 13

Droites et plans de l'espace/Définition et paramétrage d'une droite

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Définition et paramétrage d'une droite
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Chapitre no 1
Leçon : Droites et plans de l'espace
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Présentation générale[modifier | modifier le wikicode]

En géométrie affine, une droite est généralement considérée comme un « alignement de points ». Cet alignement est défini par soit deux points (distincts), soit par un point et un vecteur (non nul).

Définir une représentation paramétrique de la droite consistera à faire intervenir une variable qui décrit l'alignement. Cette description se fera en coordonnées cartésiennes, dans un repère affine.

Dans cette leçon, l'espace affine considéré est toujours supposé de dimension 3, muni d'un repère (non nécessairement orthonormé ni même orthogonal).

Définition d'une droite affine[modifier | modifier le wikicode]

Remarque 
L'application est une bijection, c'est-à-dire que chaque point de la droite correspond à une valeur de paramètre réel et réciproquement. Le point correspond à .

Représentation paramétrique[modifier | modifier le wikicode]

Étant donné un repère , par définition :

  • le triplet des coordonnées d'un vecteur est l'unique matrice colonne telle que  ;
  • les coordonnées d'un point sont les coordonnées du vecteur .

La représentation paramétrique d'une droite s'écrit donc :

  • pour une droite définie par un point et un vecteur directeur (non nul) :
 ;


  • pour une droite définie par deux points distincts et  :
, ou encore, en échangeant les rôles de et  :


On reconnaît l'écriture des coordonnées du barycentre de ou de .