Droites et plans de l'espace/Définition et paramétrage d'un plan

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Présentation générale

La définition et la représentation paramétrique d'un plan sont analogues à celles d'une droite, à ceci près que la direction n'est plus donnée par un vecteur (non nul) mais par deux vecteurs (non colinéaires), ce qui fera donc intervenir deux paramètres. Un plan sera ainsi défini par un point et deux vecteurs non colinéaires, ou par trois points non alignés.

Définition d'un plan affine

Définition

Soient $A$ un point et ${\vec {u}},{\vec {v}}$ deux vecteurs non colinéaires. Le plan passant par le point $A$ et de direction engendrée par ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ est l'ensemble, noté $A+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}$, des points $M$ de l'espace tels que ${\overrightarrow {AM}}$ soit combinaison linéaire de ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ :

$A+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}=\{A+s{\vec {u}}+t{\vec {v}}\mid (s,t)\in \mathbb {R} ^{2}\}=\{M\in E\mid \exists (s,t)\in \mathbb {R} ^{2}\quad {\overrightarrow {AM}}=s{\vec {u}}+t{\vec {v}}\}$.

Remarques

• L'application $\mathbb {R} ^{2}\to A+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}},\ (s,t)\mapsto A+s{\vec {u}}+t{\vec {v}}$ est une bijection, c'est-à-dire que chaque point du plan correspond à une valeur du couple de réels $(s,t)$ et réciproquement. Le point $A$ correspond à $(s,t)=(0,0)$.
• $(A;{\vec {u}},{\vec {v}})$ est un repère du plan $A+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}$.

Proposition

Pour trois points non alignés $A,B,C$ de l'espace, le plan $(ABC):=A+\mathbb {R} {\overrightarrow {AB}}+\mathbb {R} {\overrightarrow {AC}}$ est l'unique plan passant par $A$, $B$ et $C$.

Démonstration

• Le plan $A+\mathbb {R} {\overrightarrow {AB}}+\mathbb {R} {\overrightarrow {AC}}$ est bien défini (car ${\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}}$ sont non colinéaires puisque $A,B,C$ sont non alignés) et passe par $A+0{\overrightarrow {AB}}+0{\overrightarrow {AC}}=A$, $A+1{\overrightarrow {AB}}+0{\overrightarrow {AC}}=B$ et $A+0{\overrightarrow {AB}}+1{\overrightarrow {AC}}=C$.
• Réciproquement, si un plan $N+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}$ (où $N$ est un point et ${\vec {u}},{\vec {v}}$ deux vecteurs non colinéaires) passe par $A$, $B$ et $C$, c'est-à-dire s'il existe trois couples de réels $(s_{A},t_{A}),(s_{B},t_{B}),(s_{C},t_{C})$ tels que $A=N+s_{A}{\vec {u}}+t_{A}{\vec {v}}$, $B=N+s_{B}{\vec {u}}+t_{B}{\vec {v}}$ et $C=N+s_{C}{\vec {u}}+t_{C}{\vec {v}}$ alors, puisque les deux vecteurs ${\overrightarrow {AB}}=(s_{B}-s_{A}){\vec {u}}+(t_{B}-t_{A}){\vec {v}}$ et ${\overrightarrow {AC}}=(s_{C}-s_{A}){\vec {u}}+(t_{C}-t_{A}){\vec {v}}$ appartiennent à $\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}$ et ne sont pas colinéaires, ils engendrent ce plan vectoriel, et $N+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}=A+(\mathbb {R} -s_{A}){\vec {u}}+(\mathbb {R} -t_{A}){\vec {v}}=A+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}=A+\mathbb {R} {\overrightarrow {AB}}+\mathbb {R} {\overrightarrow {AC}}$.

 

Représentation paramétrique

Étant donné un repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$, la représentation paramétrique d'un plan s'écrit donc :

• pour un plan défini par un point $A$ et deux vecteurs non colinéaires ${\vec {u}}=\alpha {\vec {i}}+\beta {\vec {j}}+\gamma {\vec {k}},{\vec {v}}=\alpha '{\vec {i}}+\beta '{\vec {j}}+\gamma '{\vec {k}}$ :

$A+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}:{\begin{cases}x=x_{A}+s\alpha +t\alpha '\\y=y_{A}+s\beta +t\beta '\\z=z_{A}+s\gamma +t\gamma '\end{cases}}\quad (s,t\in \mathbb {R} )$ ;

• pour un plan défini par trois points non alignés $A,B,C$ :

$(ABC):{\begin{cases}x=x_{A}+s\left(x_{B}-x_{A}\right)+t\left(x_{C}-x_{A}\right)\\y=y_{A}+s\left(y_{B}-y_{A}\right)+t\left(y_{C}-y_{A}\right)\\z=z_{A}+s\left(z_{B}-z_{A}\right)+t\left(z_{C}-z_{A}\right)\end{cases}}\quad (s,t\in \mathbb {R} )$.

On reconnaît l'écriture des coordonnées du barycentre de $(A,1-s-t),(B,s),(C,t)$.

Remarque

Réciproquement, pour tous triplets de réels $(\alpha ,\beta ,\gamma ),(\alpha ',\beta ',\gamma ')$ non colinéaires et $(x_{0},y_{0},z_{0})$,

${\begin{cases}x=x_{0}+s\alpha +t\alpha '\\y=y_{0}+s\beta +t\beta '\\z=z_{0}+s\gamma +t\gamma '\end{cases}}\quad (s,t\in \mathbb {R} )$

est la représentation paramétrique du plan passant par le point de coordonnées ${\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{pmatrix}}$ et de direction engendrée par $\alpha {\vec {i}}+\beta {\vec {j}}+\gamma {\vec {k}}$ et $\alpha '{\vec {i}}+\beta '{\vec {j}}+\gamma '{\vec {k}}$.