Complexes et géométrie/Exercices/Similitude

Exercice 6-1

Ci-dessous on donne l'écriture complexe, dans un repère orthonormal direct, d'une transformation $f$ qui à un point d'affixe $z$ associe un point d'affixe $z'$. Reconnaissez $f$ et précisez ses éléments caractéristiques.

1°  $z'-\mathrm {i} =\left(1+\mathrm {i} \right)\left(z-\mathrm {i} \right)$.

Solution

Similitude directe de centre le point d'affixe $\mathrm {i}$, de rapport ${\sqrt {2}}$ et d'angle ${\frac {\pi }{4}}$.

 

2°  $z'=\left(-2+2\mathrm {i} \right)z+5+\mathrm {i}$.

Solution

Similitude directe de rapport $2{\sqrt {2}}$, d'angle ${\frac {3\pi }{4}}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {5+\mathrm {i} }{1-\left(-2+2\mathrm {i} \right)}}=1+\mathrm {i}$.

 

3°  $z'={\frac {1+\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}\,z+2\mathrm {i}$.

Solution

$z'=\mathrm {i} z+2\mathrm {i}$. Rotation d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {2\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}=-1+\mathrm {i}$.

 

4°  $z'={\frac {2-\mathrm {i} }{\mathrm {i} +1}}\,z$.

Solution

$z'={\frac {1-3\mathrm {i} }{2}}\,z$. Similitude directe de centre $O$, de rapport ${\sqrt {\frac {5}{2}}}$ et d'angle $-\arctan 3$.

 

5°  $z'=\left(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)z+1$.

Solution

Similitude directe de rapport $2$, d'angle ${\frac {\pi }{3}}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {1}{1-\left(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)}}={\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}$.

 

6°  $z'=\left(-1+2\mathrm {i} \right)z+3-4\mathrm {i}$

Solution

Similitude directe de rapport ${\sqrt {5}}$, d'angle $\pi -\arctan 2$ et de centre le point d'affixe ${\frac {3-4\mathrm {i} }{1-\left(-1+2\mathrm {i} \right)}}={\frac {7-\mathrm {i} }{4}}$.

 

Exercice 6-2

Dans le plan orienté, on considère un carré $ABCD$ tel que l'angle $({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AD}})$ a pour mesure ${\frac {\pi }{2}}$.

On désigne par $I$ et $K$ les milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[CD]$.

Représentez ces points sur une figure.

On se propose d'étudier la similitude directe $S$ telle que :

$S(A)=I$ et $S(C)=K$.

1°  Indiquez le rapport et l’angle de $S$.

2°  Recherche du centre de $S$ à l'aide des nombres complexes.

On choisit comme repère orthonormal direct $(A,{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AD}})$.

a)  Quelle est l'affixe de $I$ ?

b)  Donnez l'écriture complexe de $S$.

c)  Déduisez-en les coordonnées du centre $\Omega$ de $S$.

Solution

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1°  ${\frac {IK}{AC}}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}$ et $({\overrightarrow {AC}},{\overrightarrow {IK}})={\frac {\pi }{4}}$.

2°  a)  ${\frac {1+\mathrm {i} }{2}}$.

b)  $z'={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}z+{\frac {1+\mathrm {i} }{2}}={\frac {1+\mathrm {i} }{4}}z+{\frac {1+\mathrm {i} }{2}}$.

c)  ${\frac {\frac {1+\mathrm {i} }{2}}{1-{\frac {1+\mathrm {i} }{4}}}}={\frac {2+4\mathrm {i} }{5}}$.

 

Exercice 6-3

Dans le plan complexe, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :

$z_{A}=-1+2\mathrm {i}$, $z_{B}=3-\mathrm {i}$ et $z_{C}=7+\lambda \mathrm {i} \quad (\lambda \in \mathbb {R} )$.

$T$ est la transformation qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'=az+b\quad (a\in \mathbb {C} ^{*},\,b\in \mathbb {C} )$ pour laquelle $T(A)=B$ et $T(B)=C$.

1°  Déterminez $a$ en fonction de $\lambda$.

2°  Pouvez-vous déterminer $\lambda$ de telle sorte que $T$ soit :

a)  Une translation ?

b)  Une rotation ?

c)  Une similitude directe d'angle ${\frac {3\pi }{2}}$ ?

Solution

1°  $a={\frac {z_{C}-z_{B}}{z_{B}-z_{A}}}={\frac {4+\left(\lambda +1\right)\mathrm {i} }{4-3\mathrm {i} }}={\frac {[4+\left(\lambda +1\right)\mathrm {i} ][4+3\mathrm {i} ]}{25}}={\frac {13-3\lambda +\left(4\lambda +16\right)\mathrm {i} }{25}}$.

2°  a)  $a=1\Leftrightarrow \lambda =-4$.

b)  $|a|^{2}={\frac {(13-3\lambda )^{2}+(4\lambda +16)^{2}}{25^{2}}}={\frac {\lambda ^{2}+2\lambda +17}{25}}$, donc $\left(|a|=1{\text{ et }}a\neq 1\right)\Leftrightarrow \lambda =2$.

c)  Non car $\arg a\equiv {\frac {3\pi }{2}}{\bmod {\pi }}\Leftrightarrow \lambda ={\frac {13}{3}}$ mais pour cette valeur, $\arg a={\frac {\pi }{2}}$.

 

Exercice 6-4

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct.

On considère le point $A$ de coordonnées $(1,0)$ et le point $B$ de coordonnées $(0,1)$.

Soit $S_{1}$ la similitude directe de centre $A$, d'angle ${\frac {2\pi }{3}}$ et de rapport $2$.

Soit $S_{2}$ la similitude directe de centre $B$, d'angle ${\frac {\pi }{3}}$ et de rapport ${\frac {1}{2}}$.

1°  Donnez l'écriture complexe de $S_{1}$, puis celle de $S_{2}$.

2°  a)  Déduisez-en l'écriture complexe de la transformation $T=S_{2}\circ S_{1}$.

b)  Quelle est la nature de $T$ ? Précisez ses éléments caractéristiques.

c)  Soient $M$ un point de coordonnées $(x,y)$ et $M'$ le point $T(M)$.

Exprimez les coordonnées $(x',y')$ de $M'$ en fonction de $x$ et $y$.

Solution

1°  $s_{1}(z)=\left(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)\left(z-1\right)+1=\left(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)z+2-\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

$s_{2}(z)={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}\left(z-\mathrm {i} \right)+\mathrm {i} ={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}z+{\frac {{\sqrt {3}}+3\mathrm {i} }{4}}={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}\left(z+{\sqrt {3}}\right)$.

2°  a)  $t(z)={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}\left(\left(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)z+2-\mathrm {i} {\sqrt {3}}+{\sqrt {3}}\right)=-z+{\frac {5+{\sqrt {3}}+\mathrm {i} \left(3+{\sqrt {3}}\right)}{4}}$

b)  $T$ est la symétrie centrale dont le centre a pour affixe ${\frac {5+{\sqrt {3}}+\mathrm {i} \left(3+{\sqrt {3}}\right)}{8}}$.

c)  $x'=-x+{\frac {5+{\sqrt {3}}}{4}}$, $y'=-y+{\frac {3+{\sqrt {3}}}{4}}$.

 

Exercice 6-5 (Conservation du barycentre)

Soient $s$ une similitude directe, $G$ le barycentre de deux points pondérés $(M,t),\;(N,1-t)$.

On pose $G'=S(G)$, $M'=s(M)$ et $N'=s(N)$.

En utilisant l'écriture complexe de $s$ dans un repère orthonormal, prouvez que $G'$ est le barycentre de $(M',t),\;(N',1-t)$.

Comment peut-on généraliser aux barycentres de $n$ points ?

Solution

L'écriture complexe de $s$ étant $z'=az+b$, l'affixe de $G'$ est (avec des notations qui vont de soi) :

$g'=ag+b=a\left[tz_{1}+(1-t)z_{2}\right]+\left[tb+(1-t)b\right]=t\left[az_{1}+b\right]+(1-t)\left[az_{2}+b\right]=tz'_{1}+(1-t)z'_{2}$.

On peut généraliser à $n$ points en imitant ce calcul (avec des notations plus lourdes) ou plus simplement, en invoquant l'associativité du barycentre.

 

Exercice 6-6

Dans le plan complexe, on considère deux similitudes directes $S$ et $R$.

1°  Montrez que les transformées d'une même figure par $R\circ S$ et par $S\circ R$ se déduisent l'une de l'autre par une translation, notée $T$.

2°  On munit le plan d'un repère orthonormal direct $(O,{\vec {u}},{\vec {v}})$ et l'on suppose que $S$ a pour centre $O$, angle $\theta =-{\frac {\pi }{6}}$ et rapport $r$, et que $R$ est une rotation de centre $A\neq O$ et d'angle $\varphi ={\frac {2\pi }{3}}$.

Déterminez $r$ de façon que le vecteur de $T$ soit orthogonal à ${\overrightarrow {OA}}$.

Solution

1°  $T:=S\circ R\circ (R\circ S)^{-1}=S\circ R\circ S^{-1}\circ R^{-1}$ est une similitude directe de rapport $1$ et d'angle nul, c'est-à-dire une translation.

2°  Notons $u=r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$, $v=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$ et $a$ l'affixe de $A$. Les écritures complexes de $S$ et $R$ sont :

$s(z)=uz$ et $r(z)=v(z-a)+a=vz+(1-v)a$, donc ${\overrightarrow {AT(A)}}$ a pour affixe

$s\left(r(s^{-1}(a))\right)-a=u\left(v{\frac {a}{u}}+(1-v)a\right)-a=(u-1)(1-v)a$, donc

${\overrightarrow {AT(A)}}\perp {\overrightarrow {OA}}\Leftrightarrow (u-1)(v-1)\in \mathrm {i} \mathbb {R} \Leftrightarrow (u-1)\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \varphi /2}\in \mathrm {\mathbb {R} } \Leftrightarrow r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} (\varphi /2+\theta )}\in \mathbb {R} +\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \varphi /2}\Leftrightarrow r\sin(\varphi /2+\theta )=\sin(\varphi /2)$ donc

$r={\frac {\sin(\varphi /2)}{\sin(\varphi /2+\theta )}}={\frac {\sin(\pi /3)}{\sin(\pi /6)}}={\sqrt {3}}$.

 

Exercice 6-7

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O,{\vec {u}},{\vec {v}})$. On considère les points :

$A$ d'affixe $-4$, $B$ d'affixe $4$, $E$ d'affixe $4\mathrm {i}$, $C$ et $D$ tels que les quadrilatères $AOEC$ et $BOED$ soient des carrés.

1°  Placez les points précédents dans le repère $(O,{\vec {u}},{\vec {v}})$ et donnez les affixes des points $C$ et $D$.

2°  Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'=(1+\mathrm {i} )z+4+4\mathrm {i}$.

a)  Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de $f$.

b)  Précisez les points $f(A)$ et $f(O)$.

Déterminez l'image par $f$ de la droite $(CA)$ et celle de la médiatrice du segment $[AO]$.

c)  Exprimez, pour tout point $M$ d'affixe $z$, l'affixe des vecteurs ${\overrightarrow {MM'}}$ et ${\overrightarrow {MC}}$ en fonction de $z$.

Déduisez-en que $MM'=MC$ et, pour $M$ distinct de $C$, montrez que $({\overrightarrow {MM'}},{\overrightarrow {MC}})={\frac {\pi }{2}}$.

3°  Soit $J$ le milieu du segment $[EB]$ et $I$ le milieu de $[AO]$.

Déterminez l'image de $J$ par la rotation de centre $I$ et d'angle ${\frac {\pi }{2}}$.

Solution

1°  

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$C$ et $D$ ont pour affixes respectives $-4+4\mathrm {i}$ et $4+4\mathrm {i}$.

2°  a)  $f$ est la similitude directe de rapport ${\sqrt {2}}$, d'angle ${\frac {\pi }{4}}$ et de centre $C$.

b)  $f(A)=O$ et $f(O)=D$, donc l'image de la droite (CA) est la droite (CO) et celle de la médiatrice du segment $[AO]$ est la médiatrice du segment $[OD]$.

c)  L'affixe de ${\overrightarrow {MM'}}$ est $z'-z=\mathrm {i} z+4+4\mathrm {i}$ et celle de ${\overrightarrow {MC}}$ est $-4+4\mathrm {i} -z$. Le quotient est ${\frac {-4+4\mathrm {i} -z}{\mathrm {i} z+4+4\mathrm {i} }}=\mathrm {i}$, de module $1$ et d'argument ${\frac {\pi }{2}}$.

3°  $z_{J}=2+2\mathrm {i}$ et $z_{I}=-2$ donc l'image de $J$ par cette rotation a pour affixe $z_{I}+\mathrm {i} (z_{J}-z_{I})=-4+4\mathrm {i}$. C'est donc $C$.

 

Exercice 6-8

On considère, dans le plan complexe, les trois points $A_{0},A_{1},A_{2}$ d'affixes respectives $z_{0}=5-4\mathrm {i} ,z_{1}=-1-4\mathrm {i} ,z_{2}=-4-\mathrm {i}$.

Montrer qu'il existe une unique similitude directe $S$ telle que $S(A_{0})=A_{1}$ et $S(A_{1})=A_{2}$, puis déterminer son rapport, son angle et son centre.

Solution

On résout $az_{0}+b=z_{1},az_{1}+b=z_{2}$ et l'on trouve une unique solution $(a,b)$ donc une unique $S$ :

$a={z_{1}-z_{2} \over z_{0}-z_{1}}={3-3\mathrm {i} \over 6}={1-\mathrm {i} \over 2}$,

$b=z_{1}-az_{0}=-1-4\mathrm {i} -{(1-\mathrm {i} )(5-4\mathrm {i} ) \over 2}=-1-4\mathrm {i} -{1-9\mathrm {i} \over 2}={-3+\mathrm {i} \over 2}$.

Rapport et angle sont le module et l'argument de $a$, donc rapport $=1/{\sqrt {2}}$ et angle $=-\pi /4$.

Le centre est ${b \over 1-a}={-3+\mathrm {i} \over 1+\mathrm {i} }={(-3+\mathrm {i} )(1-\mathrm {i} ) \over 2}=-1+2\mathrm {i}$.

 

Exercice 6-9

1. Mettre les nombres complexes $z_{1}=-{\sqrt {2}}+\mathrm {i} {\sqrt {2}}$ et $z_{2}=-2{\sqrt {3}}-2\mathrm {i}$ sous forme polaire.
2. Déterminer une similitude directe $f$ de centre $0$ telle que $f(z_{1})=z_{2}$.
3. Quels sont le rapport et l'angle de cette similitude ?

Solution

1. $z_{1}={\sqrt {2}}(-1+\mathrm {i} )=2\operatorname {e} ^{3\mathrm {i} \pi /4}$.
   $z_{2}=-2({\sqrt {3}}+\mathrm {i} )=-4\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}=4\operatorname {e} ^{-5\mathrm {i} \pi /6}$.
2. La forme générale d'une similitude directe est $f(z)=az+b$. Son centre est $0$ lorsque $b$ est nul. Elle envoie de plus $z_{1}$ sur $z_{2}$ si $z_{2}=az_{1}$, c'est-à-dire $a={z_{2} \over z_{1}}={4\operatorname {e} ^{-5\mathrm {i} \pi /6} \over 2\operatorname {e} ^{3\mathrm {i} \pi /4}}=2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi ((-5/6)-(3/4))}=2\operatorname {e} ^{-19\mathrm {i} \pi /12}$. (Si l'on choisit, comme argument de $z_{2}$, plutôt $7\pi /6$ que $-5\pi /6$, on trouve, comme argument de $a$, $5\pi /12$, qui est égal à $-19\pi /12+2\pi$.)
3. Le rapport est $|a|=2$, l'angle est ${\rm {arg}}(a)=-19\pi /12$ modulo $2\pi$ (égal aussi à $5\pi /12$ modulo $2\pi$).

 

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