Leçons de niveau 13

Complexes et géométrie/Exercices/Similitude

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Similitude
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Exercices no6
Leçon : Complexes et géométrie

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Symétrie
Exo suiv. :Étude de figures
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Complexes et géométrie/Exercices/Similitude
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Exercice 6-1[modifier | modifier le wikicode]

Ci-dessous on donne l'écriture complexe, dans un repère orthonormal direct, d'une transformation qui à un point d'affixe associe un point d'affixe . Reconnaissez et précisez ses éléments caractéristiques.

 .

 .

 .

 .

 .

 

Exercice 6-2[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan orienté, on considère un carré tel que l'angle a pour mesure .

On désigne par et les milieux respectifs des segments et .

Représentez ces points sur une figure.

On se propose d'étudier la similitude directe telle que :

et .

 Indiquez le rapport et l’angle de .

 Recherche du centre de à l'aide des nombres complexes.

On choisit comme repère orthonormal direct .
a)  Quelle est l'affixe de  ?
b)  Donnez l'écriture complexe de .
c)  Déduisez-en les coordonnées du centre de .

Exercice 6-3[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan complexe, on considère les points , et d'affixes respectives :

, et .

est la transformation qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe pour laquelle et .

 Déterminez en fonction de .

 Pouvez-vous déterminer de telle sorte que soit :

a)  Une translation ?
b)  Une rotation ?
c)  Une similitude directe d'angle  ?

Exercice 6-4[modifier | modifier le wikicode]

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct.

On considère le point de coordonnées et le point de coordonnées .

Soit la similitude directe de centre , d'angle et de rapport .

Soit la similitude directe de centre , d'angle et de rapport .

 Donnez l'écriture complexe de , puis celle de .

 a)  Déduisez-en l'écriture complexe de la transformation .

b)  Quelle est la nature de  ? Précisez ses éléments caractéristiques.
c)  Soient un point de coordonnées et le point .
Exprimez les coordonnées de en fonction de et .

Exercice 6-5 (Conservation du barycentre)[modifier | modifier le wikicode]

Soient une similitude directe, le barycentre de deux points pondérés .

On pose , et .

En utilisant l'écriture complexe de dans un repère orthonormal, prouvez que est le barycentre de .

Comment peut-on généraliser aux barycentres de points ?

Exercice 6-6[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan complexe, on considère deux similitudes directes et .

 Montrez que les transformées d'une même figure par et par se déduisent l'une de l'autre par une translation, notée .

 On munit le plan d'un repère orthonormal direct et l'on suppose que a pour centre , angle et rapport , et que est une rotation de centre et d'angle .

Déterminez de façon que le vecteur de soit orthogonal à .

Exercice 6-7[modifier | modifier le wikicode]

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct . On considère les points :

d'affixe , d'affixe , d'affixe , et tels que les quadrilatères et soient des carrés.

 Placez les points précédents dans le repère et donnez les affixes des points et .

 Soit la transformation du plan qui à tout point d'affixe fait correspondre le point d'affixe .

a)  Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de .
b)  Précisez les points et .
Déterminez l'image par de la droite et celle de la médiatrice du segment .
c)  Exprimez, pour tout point d'affixe , l'affixe des vecteurs et en fonction de .
Déduisez-en que et, pour distinct de , montrez que .

 Soit le milieu du segment et le milieu de .

Déterminez l'image de par la rotation de centre et d'angle .

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Si vous souhaitez faire d'autres exercices utilisant l'écriture complexe d'une similitude : Cliquez ici ! (Attention, ce lien renvoie vers une page d'exercices de la leçon Similitude)