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{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 6
  | précédent = [[../Symétrie/]]
  | suivant   = [[../Étude de figures/]]
  | niveau    = 13
}}
__TOC__
{{Clr}}

== Exercice 6-1 ==
Ci-dessous on donne l'écriture complexe, dans un repère orthonormal direct, d'une transformation <math>f</math> qui à un point d'affixe <math>z</math> associe un point d'affixe <math>z'</math>. Reconnaissez <math>f</math> et précisez ses éléments caractéristiques.

'''1°''' &nbsp;<math>z'-\mathrm i=\left(1+\mathrm i\right)\left(z-\mathrm i\right)</math>.
{{Solution|contenu=
Similitude directe de centre le point d'affixe <math>\mathrm i</math>, de rapport <math>\sqrt2</math> et d'angle <math>\frac\pi4</math>.
}}

'''2°''' &nbsp;<math>z'=\left(-2+2\mathrm i\right)z+5+\mathrm i</math>.
{{Solution|contenu=
Similitude directe de rapport <math>2\sqrt2</math>, d'angle <math>\frac{3\pi}4</math> et de centre le point d'affixe <math>\frac{5+\mathrm i}{1-\left(-2+2\mathrm i\right)}=1+\mathrm i</math>.
}}

'''3°''' &nbsp;<math>z'=\frac{1+\mathrm i}{1-\mathrm i}\,z+2\mathrm i</math>.
{{Solution|contenu=
<math>z'=\mathrm iz+2\mathrm i</math>. Rotation d'angle <math>\frac\pi2</math> et de centre le point d'affixe <math>\frac{2\mathrm i}{1-\mathrm i}=-1+\mathrm i</math>.
}}

'''4°''' &nbsp;<math>z'=\frac{2-\mathrm i}{\mathrm i+1}\,z</math>.
{{Solution|contenu=
<math>z'=\frac{1-3\mathrm i}2\,z</math>. Similitude directe de centre <math>O</math>, de rapport <math>\sqrt{\frac52}</math> et d'angle <math>-\arctan3</math>.
}}

'''5°''' &nbsp;<math>z'=\left(1+\mathrm i\sqrt3\right)z+1</math>.
{{Solution|contenu=
Similitude directe de rapport <math>2</math>, d'angle <math>\frac\pi3</math> et de centre le point d'affixe <math>\frac1{1-\left(1+\mathrm i\sqrt3\right)}=\frac{\mathrm i}{\sqrt3}</math>.
}}

'''6°''' &nbsp;<math>z'=\left(-1+2\mathrm i\right)z+3-4\mathrm i</math>
{{Solution|contenu=Similitude directe de rapport <math>\sqrt5</math>, d'angle <math>\pi-\arctan2</math> et de centre le point d'affixe <math>\frac{3-4\mathrm i}{1-\left(-1+2\mathrm i\right)}=\frac{7-\mathrm i}4</math>.
}}

== Exercice 6-2 ==
Dans le plan orienté, on considère un carré <math>ABCD</math> tel que l'angle <math>(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})</math> a pour mesure <math>\frac\pi2</math>.

On désigne par <math>I</math> et <math>K</math> les milieux respectifs des segments <math>[AC]</math> et <math>[CD]</math>.

Représentez ces points sur une figure.

On se propose d'étudier la similitude directe <math>S</math> telle que :
:<math>S(A)=I</math> et <math>S(C)=K</math>.

'''1°''' &nbsp;Indiquez le rapport et l’angle de <math>S</math>.

'''2°''' &nbsp;Recherche du centre de <math>S</math> à l'aide des nombres complexes.
:On choisit comme repère orthonormal direct <math>(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})</math>.
:'''a)''' &nbsp;Quelle est l'affixe de <math>I</math> ?
:'''b)''' &nbsp;Donnez l'écriture complexe de <math>S</math>.
:'''c)''' &nbsp;Déduisez-en les coordonnées du centre <math>\Omega</math> de <math>S</math>.
{{Solution|contenu=
{{...}}
'''1°''' &nbsp;<math>\frac{IK}{AC}=\frac1{2\sqrt2}</math> et <math>(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{IK})=\frac\pi4</math>.

'''2° &nbsp;a)''' &nbsp;<math>\frac{1+\mathrm i}2</math>.
:'''b)''' &nbsp;<math>z'=\frac1{2\sqrt2}\operatorname e^{\frac{\mathrm i\pi}4}z+\frac{1+\mathrm i}2=\frac{1+\mathrm i}4z+\frac{1+\mathrm i}2</math>.
:'''c)''' &nbsp;<math>\frac{\frac{1+\mathrm i}2}{1-\frac{1+\mathrm i}4}=\frac{2+4\mathrm i}5</math>.
}}

== Exercice 6-3 ==
Dans le plan complexe, on considère les points <math>A</math>, <math>B</math> et <math>C</math> d'affixes respectives :
:<math>z_A=-1+2\mathrm i</math>, <math>z_B=3-\mathrm i</math> et <math>z_C=7+\lambda\mathrm i\quad(\lambda\in\R)</math>.

<math>T</math> est la transformation qui à tout point d'affixe <math>z</math> associe le point d'affixe <math>z'=az+b\quad(a\in\Complex^*,\,b\in\Complex)</math> pour laquelle <math>T(A)=B</math> et <math>T(B)=C</math>.

'''1°''' &nbsp;Déterminez <math>a</math> en fonction de <math>\lambda</math>.

'''2°''' &nbsp;Pouvez-vous déterminer <math>\lambda</math> de telle sorte que <math>T</math> soit :
:'''a)''' &nbsp;Une translation ?
:'''b)''' &nbsp;Une rotation ?
:'''c)''' &nbsp;Une similitude directe d'angle <math>\frac{3\pi}2</math> ?
{{Solution|contenu=
'''1°''' &nbsp;<math>a=\frac{z_C-z_B}{z_B-z_A}=\frac{4+\left(\lambda+1\right)\mathrm i}{4-3\mathrm i}=\frac{[4+\left(\lambda+1\right)\mathrm i][4+3\mathrm i]}{25}=\frac{13-3\lambda+\left(4\lambda+16\right)\mathrm i}{25}</math>.

'''2° &nbsp;a)''' &nbsp;<math>a=1\Leftrightarrow\lambda=-4</math>.
:'''b)''' &nbsp;<math>|a|^2=\frac{(13-3\lambda)^2+(4\lambda+16)^2}{25^2}=\frac{\lambda^2+2\lambda+17}{25}</math>, donc <math>\left(|a|=1\text{ et }a\ne1\right)\Leftrightarrow\lambda=2</math>.
:'''c)''' &nbsp;Non car <math>\arg a\equiv\frac{3\pi}2\bmod\pi\Leftrightarrow\lambda=\frac{13}3</math> mais pour cette valeur, <math>\arg a=\frac\pi2</math>.
}}

== Exercice 6-4 ==
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct.

On considère le point <math>A</math> de coordonnées <math>(1,0)</math> et le point <math>B</math> de coordonnées <math>(0,1)</math>.

Soit <math>S_1</math> la similitude directe de centre <math>A</math>, d'angle <math>\frac{2\pi}3</math> et de rapport <math>2</math>.

Soit <math>S_2</math> la similitude directe de centre <math>B</math>, d'angle <math>\frac\pi3</math> et de rapport <math>\frac12</math>.

'''1°''' &nbsp;Donnez l'écriture complexe de <math>S_1</math>, puis celle de <math>S_2</math>.

'''2°''' &nbsp;'''a)''' &nbsp;Déduisez-en l'écriture complexe de la transformation <math>T=S_2\circ S_1</math>.
:'''b)''' &nbsp;Quelle est la nature de <math>T</math> ? Précisez ses éléments caractéristiques.
:'''c)''' &nbsp;Soient <math>M</math> un point de coordonnées <math>(x,y)</math> et <math>M'</math> le point <math>T(M)</math>.
::Exprimez les coordonnées <math>(x',y')</math> de <math>M'</math> en fonction de <math>x</math> et <math>y</math>.
{{Solution|contenu=
'''1°''' &nbsp;<math>s_1(z)=\left(-1+\mathrm i\sqrt3\right)\left(z-1\right)+1=\left(-1+\mathrm i\sqrt3\right)z+2-\mathrm i\sqrt3</math>.
:<math>s_2(z)=\frac{1+\mathrm i\sqrt3}4\left(z-\mathrm i\right)+\mathrm i=\frac{1+\mathrm i\sqrt3}4z+\frac{\sqrt3+3\mathrm i}4=\frac{1+\mathrm i\sqrt3}4\left(z+\sqrt3\right)</math>.
'''2°''' &nbsp;'''a)''' &nbsp;<math>t(z)=\frac{1+\mathrm i\sqrt3}4\left(\left(-1+\mathrm i\sqrt3\right)z+2-\mathrm i\sqrt3+\sqrt3\right)=-z+\frac{5+\sqrt3+\mathrm i\left(3+\sqrt3\right)}4</math>
:'''b)''' &nbsp;<math>T</math> est la symétrie centrale dont le centre a pour affixe <math>\frac{5+\sqrt3+\mathrm i\left(3+\sqrt3\right)}8</math>.
:'''c)''' &nbsp;<math>x'=-x+\frac{5+\sqrt3}4</math>, <math>y'=-y+\frac{3+\sqrt3}4</math>.
}}

== Exercice 6-5 (Conservation du barycentre) ==
Soient <math>s</math> une similitude directe, <math>G</math> le barycentre de deux points pondérés <math>(M,t),\;(N,1-t)</math>.

On pose <math>G'=S(G)</math>, <math>M'=s(M)</math> et <math>N'=s(N)</math>.

En utilisant l'écriture complexe de <math>s</math> dans un repère orthonormal, prouvez que <math>G'</math> est le barycentre de <math>(M',t),\;(N',1-t)</math>. 

Comment peut-on généraliser aux barycentres de <math>n</math> points ?
{{Solution|contenu=
L'écriture complexe de <math>s</math> étant <math>z'=az+b</math>, l'affixe de <math>G'</math> est (avec des notations qui vont de soi) :
:<math>g'=ag+b=a\left[tz_1+(1-t)z_2\right]+\left[tb+(1-t)b\right]=t\left[az_1+b\right]+(1-t)\left[az_2+b\right]=tz'_1+(1-t)z'_2</math>.
On peut généraliser à <math>n</math> points en imitant ce calcul (avec des notations plus lourdes) ou plus simplement, en invoquant l'associativité du barycentre.
}}

== Exercice 6-6 ==
Dans le plan complexe, on considère deux similitudes directes <math>S</math> et <math>R</math>.

'''1°''' &nbsp;Montrez que les transformées d'une même figure par <math>R\circ S</math> et par <math>S\circ R</math> se déduisent l'une de l'autre par une translation, notée <math>T</math>.

'''2°''' &nbsp;On munit le plan d'un repère orthonormal direct <math>(O,\vec u,\vec v)</math> et l'on suppose que <math>S</math> a pour centre <math>O</math>, angle <math>\theta=-\frac\pi6</math> et rapport <math>r</math>, et que <math>R</math> est une rotation de centre <math>A\ne O</math> et d'angle <math>\varphi=\frac{2\pi}3</math>.
:Déterminez <math>r</math> de façon que le vecteur de <math>T</math> soit orthogonal à <math>\overrightarrow{OA}</math>.
{{Solution|contenu=
'''1°''' &nbsp;<math>T:=S\circ R\circ(R\circ S)^{-1}=S\circ R\circ S^{-1}\circ R^{-1}</math> est une similitude directe de rapport <math>1</math> et d'angle nul, c'est-à-dire une translation.

'''2°''' &nbsp;Notons <math>u=r\operatorname e^{\mathrm i\theta}</math>, <math>v=\operatorname e^{\mathrm i\varphi}</math> et <math>a</math> l'affixe de <math>A</math>. Les écritures complexes de <math>S</math> et <math>R</math> sont :
:<math>s(z)=uz</math> et <math>r(z)=v(z-a)+a=vz+(1-v)a</math>, donc <math>\overrightarrow{AT(A)}</math> a pour affixe
:<math>s\left(r(s^{-1}(a))\right)-a=u\left(v\frac au+(1-v)a\right)-a=(u-1)(1-v)a</math>, donc
:<math>\overrightarrow{AT(A)}\perp\overrightarrow{OA}\Leftrightarrow(u-1)(v-1)\in\mathrm i\R\Leftrightarrow(u-1)\operatorname e^{\mathrm i\varphi/2}\in\mathrm \R\Leftrightarrow r\operatorname e^{\mathrm i(\varphi/2+\theta)}\in\R+\operatorname e^{\mathrm i\varphi/2}\Leftrightarrow r\sin(\varphi/2+\theta)=\sin(\varphi/2)</math> donc
:<math>r=\frac{\sin(\varphi/2)}{\sin(\varphi/2+\theta)}=\frac{\sin(\pi/3)}{\sin(\pi/6)}=\sqrt3</math>.
}}

== Exercice 6-7 ==
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct <math>(O,\vec u,\vec v)</math>. On considère les points :
:<math>A</math> d'affixe <math>-4</math>, <math>B</math> d'affixe <math>4</math>, <math>E</math> d'affixe <math>4\mathrm i</math>, <math>C</math> et <math>D</math> tels que les quadrilatères <math>AOEC</math> et <math>BOED</math> soient des carrés.

'''1°''' &nbsp;Placez les points précédents dans le repère <math>(O,\vec u,\vec v)</math> et donnez les affixes des points <math>C</math> et <math>D</math>.

'''2°''' &nbsp;Soit <math>f</math> la transformation du plan qui à tout point <math>M</math> d'affixe <math>z</math> fait correspondre le point <math>M'</math> d'affixe <math>z'=(1+\mathrm i)z+4+4\mathrm i</math>.
:'''a)''' &nbsp;Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de <math>f</math>.
:'''b)''' &nbsp;Précisez les points <math>f(A)</math> et <math>f(O)</math>.
::Déterminez l'image par <math>f</math> de la droite <math>(CA)</math> et celle de la médiatrice du segment <math>[AO]</math>.
:'''c)''' &nbsp;Exprimez, pour tout point <math>M</math> d'affixe <math>z</math>, l'affixe des vecteurs <math>\overrightarrow{MM'}</math> et <math>\overrightarrow{MC}</math> en fonction de <math>z</math>.
::Déduisez-en que <math>MM'=MC</math> et, pour <math>M</math> distinct de <math>C</math>, montrez que <math>(\overrightarrow{MM'},\overrightarrow{MC})=\frac\pi2</math>.
'''3°''' &nbsp;Soit <math>J</math> le milieu du segment <math>[EB]</math> et <math>I</math> le milieu de <math>[AO]</math>.
:Déterminez l'image de <math>J</math> par la rotation de centre <math>I</math> et d'angle <math>\frac\pi2</math>.
{{Solution|contenu=
'''1°''' &nbsp;{{...}}<math>C</math> et <math>D</math> ont pour affixes respectives <math>-4+4\mathrm i</math> et <math>4+4\mathrm i</math>.

'''2° &nbsp;a)''' &nbsp;<math>f</math> est la similitude directe de rapport <math>\sqrt2</math>, d'angle <math>\frac\pi4</math> et de centre <math>C</math>.
:'''b)''' &nbsp;<math>f(A)=O</math> et <math>f(O)=D</math>, donc l'image de la droite (CA) est la droite (CO) et celle de la médiatrice du segment <math>[AO]</math> est la médiatrice du segment <math>[OD]</math>.
:'''c)''' &nbsp;L'affixe de <math>\overrightarrow{MM'}</math> est <math>z'-z=\mathrm iz+4+4\mathrm i</math> et celle de <math>\overrightarrow{MC}</math> est <math>-4+4\mathrm i-z</math>. Le quotient est <math>\frac{-4+4\mathrm i-z}{\mathrm iz+4+4\mathrm i}=\mathrm i</math>, de module <math>1</math> et d'argument <math>\frac\pi2</math>.
'''3°''' &nbsp;<math>z_J=2+2\mathrm i</math> et <math>z_I=-2</math> donc l'image de <math>J</math> par cette rotation a pour affixe <math>z_I+\mathrm i(z_J-z_I)=-4+4\mathrm i</math>. C'est donc <math>C</math>.
}}

== Exercice 6-8 ==
On considère, dans le plan complexe, les trois points <math>A_0,A_1,A_2</math> d'affixes respectives <math>z_0=5-4\mathrm i,z_1=-1-4\mathrm i,z_2=-4-\mathrm i</math>.

Montrer qu'il existe une unique similitude directe <math>S</math> telle que <math>S(A_0)=A_1</math> et <math>S(A_1)=A_2</math>, puis déterminer son rapport, son angle et son centre.
{{Solution|contenu=
On résout <math>az_0+b=z_1,az_1+b=z_2</math> et l'on trouve une unique solution <math>(a,b)</math> donc une unique <math>S</math> :

<math>a={z_1-z_2\over z_0-z_1}={3-3\mathrm i\over6}={1-\mathrm i\over 2}</math>,

<math>b=z_1-az_0=-1-4\mathrm i-{(1-\mathrm i)(5-4\mathrm i)\over 2}=-1-4\mathrm i-{1-9\mathrm i\over 2}={-3+\mathrm i\over 2}</math>.

Rapport et angle sont le module et l'argument de <math>a</math>, donc rapport <math>=1/\sqrt2</math> et angle <math>=-\pi/4</math>.

Le centre est <math>{b\over 1-a}={-3+\mathrm i\over 1+\mathrm i}={(-3+\mathrm i)(1-\mathrm i)\over 2}=-1+2\mathrm i</math>.
}}

== Exercice 6-9 ==
#Mettre les nombres complexes <math>z_1=-\sqrt2+\mathrm i\sqrt2</math> et <math>z_2=-2\sqrt3-2\mathrm i</math> sous forme polaire.
#Déterminer une similitude directe <math>f</math> de centre <math>0</math> telle que <math>f(z_1)=z_2</math>.
#Quels sont le rapport et l'angle de cette similitude ?
{{Solution|contenu=
#<math>z_1=\sqrt2(-1+\mathrm i)=2\operatorname e^{3\mathrm i\pi/4}</math>.<br><math>z_2=-2(\sqrt3+\mathrm i)=-4\operatorname e^{\mathrm i\pi/6}=4\operatorname e^{-5\mathrm i\pi/6}</math>.
#La forme générale d'une similitude directe est <math>f(z)=az+b</math>. Son centre est <math>0</math> lorsque <math>b</math> est nul. Elle envoie de plus <math>z_1</math> sur <math>z_2</math> si <math>z_2=az_1</math>, c'est-à-dire <math>a={z_2\over z_1}={4\operatorname e^{-5\mathrm i\pi/6}\over2\operatorname e^{3\mathrm i\pi/4}}=2\operatorname e^{\mathrm i\pi((-5/6)-(3/4))}=2\operatorname e^{-19\mathrm i\pi/12}</math>. (Si l'on choisit, comme argument de <math>z_2</math>, plutôt <math>7\pi/6</math> que <math>-5\pi/6</math>, on trouve, comme argument de <math>a</math>, <math>5\pi/12</math>, qui est égal à <math>-19\pi/12+2\pi</math>.)
#Le rapport est <math>|a|=2</math>, l'angle est <math>{\rm arg}(a)=-19\pi/12</math> modulo <math>2\pi</math> (égal aussi à <math>5\pi/12</math> modulo <math>2\pi</math>).
}}

{{Encart
  | symbole = note
  | couleur = orange
  | contenu =
Si vous souhaitez faire d'autres exercices utilisant l'écriture complexe d'une similitude : [[Similitude/Exercices/Écriture complexe|Cliquez ici !]] (Ce lien renvoie vers une page d'exercices de la leçon [[Similitude]].)
}}

{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Symétrie/]]
  | suivant   = [[../Étude de figures/]]
}}