Complexes et géométrie/Exercices/Étude de figures

Exercice 7-1

Dans le plan complexe, on considère les points $A$, $B$ et $C$, d'affixes respectives

$a=3{\sqrt {2}}\left(1+\mathrm {i} \right),\quad b=3\mathrm {i} {\sqrt {2}}\quad {\text{et}}\quad c=3{\frac {\sqrt {2}}{2}}\left(-1+\mathrm {i} \right)$.

1°  Calculez ${\frac {b-c}{a}}$ et ${\frac {c}{a}}$.

2°  Démontrez que $OABC$ est un trapèze rectangle.

Solution

1°  ${\frac {b-c}{a}}={\frac {1}{2}}$ et ${\frac {c}{a}}={\frac {\mathrm {i} }{2}}$.

2°  $OABC$ est un trapèze car ${\frac {b-c}{a-0}}\in \mathbb {R}$. Il est rectangle en $O$ car ${\frac {c-0}{a-0}}\in \mathrm {i} \mathbb {R}$.

 

Exercice 7-2

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O,{\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})$. Unité graphique : 8 cm. On note $C$ le milieu du segment $[AB]$.

Soit $r$ la rotation de centre $C$ et d'angle de mesure $-{\frac {\pi }{2}}$. Pour tout point $M$ du plan d'affixe $u$, on note $M'$ le transformé de $M$ par $r$.

1°  a)  Placez sur une figure les points $O$, $A$, $B$, $M$ et $M'$ lorsque $u={\frac {3}{4}}$.

b)  Déterminez l'image du segment $[OA]$ par $r$.

c)  Calculez l’affixe $u'$ de $M'$ en fonction de l'affixe $u$ de $M$.

2°  On note $P$ le milieu du segment $[OC]$, $N$ le milieu du segment $[BM]$ et $N'$ le milieu du segment $[AM']$.

a)  Exprimez en fonction de $u$ les affixes $Z$ et $Z'$ des vecteurs ${\overrightarrow {PN}}$ et ${\overrightarrow {PN'}}$.

b)  Prouvez que le triangle $PNN'$ est rectangle et isocèle.

c)  Lorsque $u={\frac {3}{4}}$, placez le triangle $PNN'$ sur la figure précédente.

Solution

1°  a)  

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b)  $r\left([OA]\right)=[BO]$.

c)  $u'=-\mathrm {i} \left(u-{\frac {1+\mathrm {i} }{2}}\right)+{\frac {1+\mathrm {i} }{2}}=-\mathrm {i} u+\mathrm {i}$. Pour $u={\frac {3}{4}}$, $u'={\frac {\mathrm {i} }{4}}$.

2°  a)  $p={\frac {1+\mathrm {i} }{4}}$, $n={\frac {u+\mathrm {i} }{2}}$, $n'={\frac {1-\mathrm {i} u+\mathrm {i} }{2}}$, $Z=n-p={\frac {2u-1+\mathrm {i} }{4}}$, $Z'=n'-p={\frac {1-2\mathrm {i} u+\mathrm {i} }{4}}$.

b)  $Z'=-\mathrm {i} Z$.

c)  

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Exercice 7-3

1°  Déterminez le module et un argument des deux nombres complexes

$Z_{1}=2+2\mathrm {i}$ et $Z_{2}=1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

2°  Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct $(O,{\vec {u}},{\vec {v}})$, on note $A$ le point d'affixe $Z_{1}$ et $B$ le point d'affixe $Z_{2}$.

a)  La rotation $r$ de centre $O$ et d'angle ${\frac {5\pi }{6}}$ radians transforme le point $A$ en un point $C$ d’affixe $Z_{3}$.

Démontrez que $Z_{3}=-\left(1+{\sqrt {3}}\right)+\left(1-{\sqrt {3}}\right)\mathrm {i}$.

b)  Démontrez que le quotient ${\frac {Z_{3}-Z_{2}}{Z_{1}-Z_{2}}}$ est imaginaire pur.

Calculez le module et un argument de ce quotient.

Interprétez géométriquement ces résultats en indiquant les particularités du triangle $ABC$.

Solution

1°  $|Z_{1}|=2{\sqrt {2}}$, $\arg Z_{1}={\frac {\pi }{4}}$, $|Z_{2}|=2$ et $\arg Z_{2}=-{\frac {\pi }{3}}$.

2°  a)  $Z_{3}=\operatorname {e} ^{\frac {5\mathrm {i} \pi }{6}}Z_{1}={\frac {-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{2}}\left(2+2\mathrm {i} \right)=-\left(1+{\sqrt {3}}\right)+\left(1-{\sqrt {3}}\right)\mathrm {i}$.

b)  ${\frac {Z_{3}-Z_{2}}{Z_{1}-Z_{2}}}={\frac {-2-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{1+2\mathrm {i} +\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}=\mathrm {i}$ (module $1$, argument ${\frac {\pi }{2}}$). $ABC$ est donc isocèle et rectangle en $B$.

 

Exercice 7-4

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère les points distincts $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $-b$.

1°  À quelle condition nécessaire et suffisante, portant sur $a$ et $b$, les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?

On suppose dans la suite que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2°  On construit les carrés orientés dans le sens direct $AFGB$ et $ACDE$, puis le parallélogramme $AEHF$.

a)  En considérant la rotation de centre $A$ qui transforme $C$ en $E$, montrez que l'affixe du point $E$ est $e=-\mathrm {i} b+a\left(1-\mathrm {i} \right)$.

b)  Calculez les affixes respectives $f$, $h$ et $d$ des points $F$, $H$ et $D$ en fonction de $a$ et $b$.

3°  Déduisez du 2° que :

a)  $FE=2OA$ et que les droites $(EF)$ et $(OA)$ sont perpendiculaires.

b)  $BD=CH$ et que les droites $(BD)$ et $(CH)$ sont perpendiculaires.

Solution

1°  ${\frac {a}{b}}\in \mathbb {R}$.

2°  a)  $e=\mathrm {i} \left((-b)-a\right)+a=-\mathrm {i} b+a\left(1-\mathrm {i} \right)$.

b)  $f=-\mathrm {i} \left(b-a\right)+a=-\mathrm {i} b+a\left(1+\mathrm {i} \right)$.

$h=e+(f-a)=-2\mathrm {i} b+a$.

$d=e+((-b)-a)=-\left(1+\mathrm {i} \right)b-\mathrm {i} a$.

3°  a)  $f-e=2\mathrm {i} \left(a-0\right)$.

b)  $d-b=-\left(2+\mathrm {i} \right)b-\mathrm {i} a$ et $h-(-b)=\left(1-2\mathrm {i} \right)b+a=\mathrm {i} \left(d-b\right)$ ;

 

Exercice 7-5

On considère le polynôme $P(z)$ défini par $P(z)=z^{3}-2z^{2}-4\left(1+\mathrm {i} \right)z-16\left(1-\mathrm {i} \right)$ où $z$ désigne une variable complexe.

1°  Montrez que l’équation $P(z)=0$ admet une solution réelle notée $a$, et une solution imaginaire pure notée $b$.

2°  Déterminez le complexe $c$ tel que :

$P(z)=(z-a)(z-b)(z-c)$.

3°  On désigne par $A$, $B$ et $C$ les points du plan complexe dont les affixes sont respectivement $a$, $b$ et $c$.

Calculez ${\frac {c-b}{a-b}}$ et déduisez-en la nature du triangle $ABC$.

Solution

1°  En isolant partie réelle et partie imaginaire :

• un réel $a$ est racine de $P$ si et seulement si $a^{3}-2a^{2}-4a-16=-4a+16=0$, c'est-à-dire $a=4$ ;
• un imaginaire pur $b$ est racine de $P$ si et seulement si $b^{3}-4b+16\mathrm {i} =-2b^{2}-4\mathrm {i} b-16=0$, c'est-à-dire $b=2\mathrm {i}$.

2°  $c=2-a-b=-2-2\mathrm {i}$.

3°  ${\frac {c-b}{a-b}}={\frac {-2-4\mathrm {i} }{4-2\mathrm {i} }}=-\mathrm {i}$ donc $ABC$ est isocèle et rectangle en $B$.

 

Exercice 7-6

1°  Exprimez $1-\cos 2\theta$ en fonction de $\sin \theta$, puis $\sin 2\theta$ en fonction de $\sin \theta$ et $\cos \theta$.

2°  Résolvez dans $\mathbb {C}$ l'équation :

$2z^{2}(1-\cos 2\theta )-2z\sin 2\theta +1=0$

où $z$ désigne l’inconnue et $\theta$ un réel non nul de l’intervalle $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$.

3°  Déterminez le module et l’argument de chacune des racines $z_{1}$ et $z_{2}$.

4°  On désigne par $M_{1}$ et $M_{2}$ les points d'affixes $z_{1}$ et $z_{2}$.

Déterminez les réels non nuls $\theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ tels que le triangle $OM_{1}M_{2}$ est isocèle et rectangle en $O$.

Solution

1°  $1-\cos 2\theta =2\sin ^{2}\theta$ et $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$.

2°  $2z^{2}(1-\cos 2\theta )-2z\sin 2\theta +1=0\Leftrightarrow z^{2}\sin ^{2}\theta -z\sin \theta \cos \theta +{\frac {1}{4}}=0$. Les solutions sont $z_{1}={\frac {\sin \theta }{2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ et $z_{2}={\overline {z}}_{1}$.

3°  $|z_{2}|=|z_{1}|$ et $\arg z_{2}=-\arg z_{1}$.

• Si $0<\theta \leq {\frac {\pi }{2}}$, $|z_{1}|={\frac {\sin \theta }{2}}$ et $\arg z_{1}=\theta$.
• Si $-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta <0$, $|z_{1}|=-{\frac {\sin \theta }{2}}$ et $\arg z_{1}=\theta +\pi$.

4°  $z_{2}=\pm \mathrm {i} z_{1}\Leftrightarrow -\theta \equiv \theta \pm {\frac {\pi }{2}}{\pmod {2\pi }}\Leftrightarrow \theta =\pm {\frac {\pi }{4}}$.

 

Exercice 7-7

Soit $\theta$ un réel de l'intervalle $\left[-\pi ,\pi \right[$.

1°  Résolvez dans $\mathbb {C}$ l'équation :

$z^{2}-\left(2^{\theta +1}\cos \theta \right)z+2^{2\theta }=0$.

Donnez chaque solution sous forme trigonométrique.

2°  $A$ et $B$ sont les images ponctuelles des solutions.

Déterminez $\theta$ de telle sorte que le triangle $OAB$ soit :

a)  rectangle ;

b)  équilatéral.

Solution

1°  $z=2^{\theta }\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \theta }$.

2°  a)  $2\theta \equiv \pm {\frac {\pi }{2}}{\pmod {2\pi }}\Leftrightarrow \theta =\pm {\frac {\pi }{4}}$ ou $\pm {\frac {3\pi }{4}}$.

b)  $2\theta \equiv \pm {\frac {\pi }{3}}{\pmod {2\pi }}\Leftrightarrow \theta =\pm {\frac {\pi }{6}}$ ou $\pm {\frac {5\pi }{6}}$.

 

Exercice 7-8

Le plan complexe $P$ est muni d'un repère orthonormal $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$.

1°  Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de l’application $T:P\to P$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'=-\mathrm {i} {\bar {z}}+2+2\mathrm {i}$.

2°  $H$ est le milieu du segment $[MM']$. Exprimez l'affixe de $H$ en fonction de l’affixe $z$ de $M$, et de ${\bar {z}}$.

Déduisez-en, toujours en fonction de $z$ et ${\bar {z}}$, la distance $MH$.

3°  Trouvez une équation cartésienne de l'ensemble ${\mathfrak {C}}$ des points $M$ de $P$ dont l’affixe $z$ vérifie :

$|z+1+\mathrm {i} |={\frac {1}{2}}\left|z+\mathrm {i} {\bar {z}}-2-2\mathrm {i} \right|$.

Représentez l'ensemble ${\mathfrak {C}}$ dans un repère $(O;{\vec {i}},\,{\vec {j}})$ avec ${\vec {i}}=-{\vec {u}}+{\vec {v}}$ et ${\vec {j}}=-{\vec {u}}-{\vec {v}}$.

Solution

1°   $T$ est un antidéplacement dont l'ensemble des points fixes est la droite $\Delta$ d'équation $x+y=2$. C'est donc la symétrie orthogonale par rapport à cette droite.

2°  $h={\frac {z+z'}{2}}={\frac {z-\mathrm {i} {\bar {z}}+2+2\mathrm {i} }{2}}$.

$MH=|z-h|={\frac {|z+\mathrm {i} {\bar {z}}-2-2\mathrm {i} |}{2}}$.

3°  $(x+1)^{2}+(y+1)^{2}=MH^{2}={\frac {(x+y-2)^{2}}{2}}$ (le carré de la distance de $M$ à la droite $\Delta$).

Si $(x',y')$ sont les coordonnées de $M$ dans le nouveau repère, on a

$x{\vec {u}}+y{\vec {v}}={\overrightarrow {OM}}=x'{\vec {i}}+y'{\vec {j}}=x'\left(-{\vec {u}}+{\vec {v}}\right)+y'\left(-{\vec {u}}-{\vec {v}}\right)$ donc

$x=-x'-y'$ et $y=x'-y'$ et l'équation de ${\mathfrak {C}}$ devient :

$(x'+y'-1)^{2}+(x'-y'+1)^{2}=2(y'+1)^{2}\Leftrightarrow x'^{2}=(y'+1)^{2}-(y'-1)^{2}\Leftrightarrow x'^{2}=4y'$.