Leçons de niveau 13

Complexes et géométrie/Exercices/Étude de figures

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Étude de figures
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Exercices no7
Leçon : Complexes et géométrie

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Similitude
Exo suiv. :Suite de points
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Complexes et géométrie/Exercices/Étude de figures
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Exercice 7-1[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan complexe, on considère les points , et , d'affixes respectives

.

 Calculez et .

 Démontrez que est un trapèze rectangle.

Exercice 7-2[modifier | modifier le wikicode]

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct . Unité graphique : 8 cm. On note le milieu du segment .

Soit la rotation de centre et d'angle de mesure . Pour tout point du plan d'affixe , on note le transformé de par .

 a)  Placez sur une figure les points , , , et lorsque .

b)  Déterminez l'image du segment par .
c)  Calculez l’affixe de en fonction de l'affixe de .

 On note le milieu du segment , le milieu du segment et le milieu du segment .

a)  Exprimez en fonction de les affixes et des vecteurs et .
b)  Prouvez que le triangle est rectangle et isocèle.
c)  Lorsque , placez le triangle sur la figure précédente.

Exercice 7-3[modifier | modifier le wikicode]

 Déterminez le module et un argument des deux nombres complexes

et .

 Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct , on note le point d'affixe et le point d'affixe .

a)  La rotation de centre et d'angle radians transforme le point en un point d’affixe .
Démontrez que .
b)  Démontrez que le quotient est imaginaire pur.
Calculez le module et un argument de ce quotient.
Interprétez géométriquement ces résultats en indiquant les particularités du triangle .

Exercice 7-4[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère les points distincts , et d'affixes respectives , et .

 À quelle condition nécessaire et suffisante, portant sur et , les points , et sont-ils alignés ?

On suppose dans la suite que les points , et ne sont pas alignés.

 On construit les carrés orientés dans le sens direct et , puis le parallélogramme .

a)  En considérant la rotation de centre qui transforme en , montrez que l'affixe du point est .
b)  Calculez les affixes respectives , et des points , et en fonction de et .

 Déduisez du que :

a)   et que les droites et sont perpendiculaires.
b)   et que les droites et sont perpendiculaires.

Exercice 7-5[modifier | modifier le wikicode]

On considère le polynôme défini par désigne une variable complexe.

 Montrez que l’équation admet une solution réelle notée , et une solution imaginaire pure notée .

 Déterminez le complexe tel que :

.

 On désigne par , et les points du plan complexe dont les affixes sont respectivement , et .

Calculez et déduisez-en la nature du triangle .

Exercice 7-6[modifier | modifier le wikicode]

 Exprimez en fonction de , puis en fonction de et .

 Résolvez dans l'équation :

désigne l’inconnue et un réel non nul de l’intervalle .

 Déterminez le module et l’argument de chacune des racines et .

 On désigne par et les points d'affixes et .

Déterminez les réels non nuls tels que le triangle est isocèle et rectangle en .

Exercice 7-7[modifier | modifier le wikicode]

Soit un réel de l'intervalle .

 Résolvez dans l'équation :

.
Donnez chaque solution sous forme trigonométrique.

  et sont les images ponctuelles des solutions.

Déterminez de telle sorte que le triangle soit :
a)  rectangle ;
b)  équilatéral.

Exercice 7-8[modifier | modifier le wikicode]

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal .

 Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de l’application qui, à tout point d'affixe , associe le point d'affixe .

  est le milieu du segment . Exprimez l'affixe de en fonction de l’affixe de , et de .

Déduisez-en, toujours en fonction de et , la distance .

 Trouvez une équation cartésienne de l'ensemble des points de dont l’affixe vérifie :

.
Représentez l'ensemble dans un repère avec et .