Similitude/Exercices/Écriture complexe

Exercice 2-1

Ci-dessous, on donne l'écriture complexe, dans un repère orthonormal direct, d'une transformation $f$ qui à un point d'affixe $z$ associe un point d'affixe $z'$. Reconnaissez $f$ et précisez ses éléments caractéristiques :

1. $z'=\mathrm {i} z{\sqrt {2}}$ ;
2. $z'=-2\mathrm {i} z-1$ ;
3. $z'=5z-3\mathrm {i}$ ;
4. $z'-1+2\mathrm {i} =-3z+3(1-2\mathrm {i} )$.

Solution

$f$ est la similitude directe de rapport $k$, d'angle $\theta$ et dont le centre a pour affixe $\omega$, avec :

1. $k={\sqrt {2}}$, $\theta ={\frac {\pi }{2}}$, $\omega =0$ ;
2. $k=2$, $\theta =-{\frac {\pi }{2}}$, $\omega ={\frac {-1}{1+2\mathrm {i} }}={\frac {-1+2\mathrm {i} }{5}}$ ;
3. $k=5$, $\theta =0$ (homothétie de rapport $5$), $\omega ={\frac {3\mathrm {i} }{4}}$ ;
4. $k=3$, $\theta =\pi$ (homothétie de rapport $-3$), $\omega =1-2\mathrm {i}$.

 

Exercice 2-2

Dans le plan complexe, on donne les quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives :

$z_{A}=-2+6\mathrm {i}$, $z_{B}=1-3\mathrm {i}$, $z_{C}=5+5\mathrm {i}$ et $z_{D}=2+4\mathrm {i}$.

1°  Soit $S$ la similitude qui, à tout point d'affixe $z$, fait correspondre le point d'affixe $z'=3\mathrm {i} z+13-9\mathrm {i}$.

a)  Donnez les éléments de cette similitude : rapport, angle et centre.

b)  Quelle est l'image par $S$ du point $C$ ? du point $D$ ? Montrez que les vecteurs ${\overrightarrow {CD}}$ et ${\overrightarrow {S(C)S(D)}}$ sont orthogonaux.

2°  Soit $R$ la similitude directe déterminée par $R(B)=C$ et $R(D)=A$.

a)  Trouvez la relation liant l’affixe $z$ d'un point $M$ et l'affixe $z'$ de son image $R(M)$.

b)  Donnez les éléments de cette similitude.

Montrez que les vecteurs ${\overrightarrow {BD}}$ et ${\overrightarrow {CA}}$ sont orthogonaux.

c)  Que représente le point $D$ pour le triangle $ABC$ ?

Solution

1°  a)  $S$ est la similitude directe de rapport $3$, d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {13-9\mathrm {i} }{1-3\mathrm {i} }}=4+3\mathrm {i}$.

b)  $S(C)=A$, $S(D)=B$ et $({\overrightarrow {CD}},{\overrightarrow {S(C)S(D)}})={\frac {\pi }{2}}$ (l'angle de la similitude).

2°  a)  $z'=az+b$ avec $a,b$ déterminés par $az_{B}+b=z_{C}$ et $az_{D}+b=z_{A}$, soit $a={\frac {z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{D}}}={\frac {7-\mathrm {i} }{-1-7\mathrm {i} }}=\mathrm {i}$ et $b=z_{C}-\mathrm {i} z_{B}=2+4\mathrm {i}$.

b)  $R$ est la rotation d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {2+4\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}=-1+3\mathrm {i}$. $({\overrightarrow {BD}},{\overrightarrow {CA}})=({\overrightarrow {BD}},{\overrightarrow {R(B)R(D)}})={\frac {\pi }{2}}$ (l'angle de la rotation).

c)  $D$ est l'orthocentre de $ABC$.

 

Exercice 2-3

$f$ est la transformation dont l'écriture complexe est :

$z'=u^{2}z+u-1\qquad (u\in \mathbb {C} )$.

1°  Déterminez l’ensemble des nombres complexes $u$ pour lesquels :

a)  $f$ est une translation ;

b)  $f$ est une rotation d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ ;

c)  $f$ est une homothétie de rapport $-2$.

2°  On suppose que $u=1-\mathrm {i}$. Déterminez alors la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques.

Solution

1°  a)  $u^{2}=1\Leftrightarrow u=\pm 1$.

b)  $u^{2}=\mathrm {i} \Leftrightarrow u=\pm {\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$.

c)  $u^{2}=-2\Leftrightarrow u=\pm \mathrm {i} {\sqrt {2}}$.

2°  $f$ est la similitude directe de rapport $2$, d'angle $-{\frac {\pi }{2}}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {u-1}{1-u^{2}}}=-{\frac {1}{1+u}}=-{\frac {1}{2-\mathrm {i} }}=-{\frac {2+\mathrm {i} }{5}}$.

 

Exercice 2-4

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O;{\vec {i}},\,{\vec {j}})$. On considère le point $A$ de coordonnées $(1,0)$ et le point $B$ de coordonnées $(0,1)$.

Soit $S_{1}$ la similitude directe de centre $A$, d'angle ${\frac {2\pi }{3}}$ et de rapport $2$.

Soit $S_{2}$ la similitude directe de centre $B$, d'angle ${\frac {\pi }{3}}$ et de rapport ${\frac {1}{2}}$.

1°  Donnez l'écriture complexe de $S_{1}$, puis celle de $S_{2}$.

2°  a)  Quelle est la nature de la transformation $T=S_{2}\circ S_{1}$ ?

b)  Précisez son point fixe et son écriture complexe.

c)  Soit $M$ un point de coordonnées $(x,y)$. Exprimez les coordonnées $(x',y')$ de $T(M)$ en fonction de $x$ et $y$.

Solution

1°  L'écriture complexe de $S_{1}$ est : $s_{1}(z)=(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})z+2-\mathrm {i} {\sqrt {3}}$. Celle de $S_{2}$ est : $s_{2}(z)={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}z+{\frac {3\mathrm {i} +{\sqrt {3}}}{4}}$.

2°  a)  $T$ est une rotation d'angle $\pi$, c'est-à-dire une symétrie centrale.

b)  L'écriture complexe de $T$ est par conséquent $t(z)=-z+2\omega$ où $\omega$ est l'affixe de son point fixe, donc $\omega ={\frac {1+t(1)}{2}}$, or

$t(1)=s_{2}(1)={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}+{\frac {3\mathrm {i} +{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {1+{\sqrt {3}}+\mathrm {i} (3+{\sqrt {3}})}{4}}$, donc

$\omega ={\frac {5+{\sqrt {3}}+\mathrm {i} (3+{\sqrt {3}})}{8}}$.

c)  $x'=-x+{\frac {5+{\sqrt {3}}}{4}}$ et $y'=-y+{\frac {3+{\sqrt {3}}}{4}}$.

 

Exercice 2-5

Dans le plan muni du repère orthonormal direct $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$, on considère les points $A(3,-1)$ et $B(0,2)$.

On désigne par :

• $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $-{\sqrt {2}}$ ;
• $r$ la rotation de centre $B$ et d'angle ${\frac {3\pi }{4}}$ ;
• $t$ la translation de vecteur ${\overrightarrow {BO}}$.

1. Construisez, après avoir donné une justification rapide, le point $\Omega$ du plan dont l'image par $t\circ r\circ h$ est l'origine $O$.
2. Quelle est la nature de la transformation $t\circ r\circ h$ ? Donnez-en les éléments caractéristiques.

Solution

1. $(t\circ r\circ h)(\Omega )=O\Leftrightarrow (r\circ h)(\Omega )=B\Leftrightarrow h(\Omega )=B\Leftrightarrow -{\sqrt {2}}{\overrightarrow {A\Omega }}={\overrightarrow {AB}}\Leftrightarrow {\overrightarrow {O\Omega }}={\overrightarrow {OA}}-{\frac {\overrightarrow {AB}}{\sqrt {2}}}$ donc $\Omega$ a pour affixe $\omega =3-\mathrm {i} +{\frac {3}{\sqrt {2}}}\left(1-\mathrm {i} \right)$.
2. $t\circ r\circ h$ est la similitude directe de rapport ${\sqrt {2}}$ et d'angle $-{\frac {\pi }{4}}$ qui envoie $\Omega$ sur $O$. Son expression complexe est donc $z'=(1-\mathrm {i} )(z-\omega )$. Par conséquent, l'affixe de son centre est
   $-{\frac {\left(1-\mathrm {i} \right)\omega }{1-\left(1-\mathrm {i} \right)}}=\left(1+\mathrm {i} \right)\omega =4+3{\sqrt {2}}+2\mathrm {i}$.

 

Exercice 2-6

On considère dans $\mathbb {C}$ l'équation :

$z^{3}-\left(4+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)z^{2}+\left(3+4\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)z-3\mathrm {i} {\sqrt {3}}=0$.

1°  Montrez que cette équation admet deux solutions réelles (on les notera $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha <\beta$) et une solution imaginaire pure, notée $\omega$.

2°  Soit $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ une application telle que pour tout complexe $z$ : $f(z)=az+b$ ($a$ et $b$ complexes).

a)  Déterminez $a$ et $b$ de telle sorte que : $f(\omega )=\omega$ et $f(\alpha )=\beta$.

b)  Calculez le module et l'argument de $a$.

c)  Caractérisez la transformation du plan complexe qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $f(z)$.

Solution

1°  $\alpha =1$, $\beta =3$, $\omega =\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

2°  a)  La solution de $a\mathrm {i} {\sqrt {3}}+b=\mathrm {i} {\sqrt {3}},\;a+b=3$ est $a={\frac {3-\omega }{1+\omega }}=-\omega =-\mathrm {i} {\sqrt {3}},\;b=3-a=3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

b)  $|a|=2{\sqrt {3}}$ et $\arg a={\frac {\pi }{3}}$.

c)  C'est la similitude directe de rapport $2{\sqrt {3}}$, d'angle ${\frac {\pi }{3}}$ et dont le centre a pour affixe $\omega$.

 

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