Leçons de niveau 13

Similitude/Exercices/Écriture complexe

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Écriture complexe
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Exercices no2
Leçon : Similitude

Exercices de niveau 13.

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Similitude/Exercices/Écriture complexe
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Ci-dessous, on donne l'écriture complexe, dans un repère orthonormal direct, d'une transformation qui à un point d'affixe associe un point d'affixe . Reconnaissez et précisez ses éléments caractéristiques :

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4. .

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan complexe, on donne les quatre points , , et d'affixes respectives :

, , et .

 Soit la similitude qui, à tout point d'affixe , fait correspondre le point d'affixe .

a)  Donnez les éléments de cette similitude : rapport, angle et centre.
b)  Quelle est l'image par du point  ? du point  ? Montrez que les vecteurs et sont orthogonaux.

 Soit la similitude directe déterminée par et .

a)  Trouvez la relation liant l’affixe d'un point et l'affixe de son image .
b)  Donnez les éléments de cette similitude.
Montrez que les vecteurs et sont orthogonaux.
c)  Que représente le point pour le triangle  ?

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

est la transformation dont l'écriture complexe est :

.

 Déterminez l’ensemble des nombres complexes pour lesquels :

a)   est une translation ;
b)   est une rotation d'angle  ;
c)   est une homothétie de rapport .

 On suppose que . Déterminez alors la nature de et ses éléments caractéristiques.

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct . On considère le point de coordonnées et le point de coordonnées .

Soit la similitude directe de centre , d'angle et de rapport .

Soit la similitude directe de centre , d'angle et de rapport .

 Donnez l'écriture complexe de , puis celle de .

2°  a)  Quelle est la nature de la transformation  ?

b)  Précisez son point fixe et son écriture complexe.
c)  Soit un point de coordonnées . Exprimez les coordonnées de en fonction de et .

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan muni du repère orthonormal direct , on considère les points et .

On désigne par :

  • l'homothétie de centre et de rapport  ;
  • la rotation de centre et d'angle  ;
  • la translation de vecteur .
  1. Construisez, après avoir donné une justification rapide, le point du plan dont l'image par est l'origine .
  2. Quelle est la nature de la transformation  ? Donnez-en les éléments caractéristiques.

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

On considère dans l'équation :

.

 Montrez que cette équation admet deux solutions réelles (on les notera et , avec ) et une solution imaginaire pure, notée .

 Soit une application telle que pour tout complexe  : ( et complexes).

a)  Déterminez et de telle sorte que : et .
b)  Calculez le module et l'argument de .
c)  Caractérisez la transformation du plan complexe qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe .

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Si vous souhaitez faire d'autres exercices utilisant l'écriture complexe d'une similitude, cliquez sur ce lien vers une page d'exercices de la leçon « Complexes et géométrie ».