Complexes et géométrie/Exercices/Symétrie

Exercice 5-1

On considère les points $A$ d'affixe $1+2\mathrm{i}$ et $B$ d'affixe $4+\mathrm{i}$.

Donnez l'écriture complexe de la symétrie axiale d'axe la médiatrice de $[AB]$.

Solution

$z^{\prime }=a\overline{z}+b$ avec :

• $a(1-2\mathrm{i})+b=4+\mathrm{i}$ et
• $a(4-\mathrm{i})+b=1+2\mathrm{i}$

donc $a=\frac{-4+3\mathrm{i}}{5}$ et $b=\frac{18-6\mathrm{i}}{5}$.

 

Exercice 5-2

Au point d'affixe $z$, l'application $f$ associe le point d'affixe $z^{\prime }=-\overline{z}$.

1°  Pourquoi $f$ est-elle un antidéplacement ?

2°  Déterminez $f\circ f$.

3°  Rechercher l'ensemble des points invariants par $f$.

4°  Démontrer que $f$ est une symétrie axiale dont vous préciserez l'axe.

Solution

1°  $z^{\prime }=a\overline{z}+b$ avec $|a|=1$.

2°  $f\circ f=\mathrm{i}\mathrm{d}$.

3°  $z=-\overline{z}\iff z\in \mathrm{i}ℝ$ donc l'ensemble des points fixes par $f$ est l'axe $(Oy)$.

4°  D'après les questions 1 et 3, $f$ est la symétrie axiale d'axe $(Oy)$.