Complexes et géométrie/Exercices/Symétrie

Exercice 5-1

On considère les points $A$ d'affixe $1+2\mathrm {i}$ et $B$ d'affixe $4+\mathrm {i}$.

Donnez l'écriture complexe de la symétrie axiale d'axe la médiatrice de $[AB]$.

Solution

$z'=a{\bar {z}}+b$ avec :

• $a(1-2\mathrm {i} )+b=4+\mathrm {i}$ et
• $a(4-\mathrm {i} )+b=1+2\mathrm {i}$

donc $a={\frac {-4+3\mathrm {i} }{5}}$ et $b={\frac {18-6\mathrm {i} }{5}}$.

 

Exercice 5-2

Au point d'affixe $z$, l'application $f$ associe le point d'affixe $z'=-{\bar {z}}$.

1°  Pourquoi $f$ est-elle un antidéplacement ?

2°  Déterminez $f\circ f$.

3°  Rechercher l'ensemble des points invariants par $f$.

4°  Démontrer que $f$ est une symétrie axiale dont vous préciserez l'axe.

Solution

1°  $z'=a{\bar {z}}+b$ avec $|a|=1$.

2°  $f\circ f=\mathrm {id}$.

3°  $z=-{\bar {z}}\Leftrightarrow z\in \mathrm {i} \mathbb {R}$ donc l'ensemble des points fixes par $f$ est l'axe $(Oy)$.

4°  D'après les questions 1 et 3, $f$ est la symétrie axiale d'axe $(Oy)$.