Leçons de niveau 13

Arithmétique/Exercices/PPCM et PGCD

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PPCM et PGCD
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Exercices no4
Leçon : Arithmétique
Chapitre du cours : PPCM et PGCD

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Diviseurs communs
Exo suiv. :Théorème de Bézout
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Arithmétique/Exercices/PPCM et PGCD
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Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

Pour chacun des entiers naturels a et b donnés, trouver leur PPCM.

a = 24 ; b = 56.

a = 180 ; b = 450.

a = 308 ; b = 4004.

a = 120 ; b = 300.

a = 72 ; b = 108.

a = 175 ; b = 490.

Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

Pour chacun des entiers naturels a et b donnés, trouver leur PGCD et déduisez-en leur PPCM.

a = 24 ; b = 56.

a = 300 ; b = 750.

a = 1386 ; b = 546.

Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

Le PPCM de deux nombres est 216. L'un des deux nombres est 72. Quel est l'autre ?

Exercice 4-4[modifier | modifier le wikicode]

Quel est le plus petit entier strictement supérieur à 40 qui, divisé par 140 et par 252, donne 40 comme reste ?

Exercice 4-5[modifier | modifier le wikicode]

Trouvez tous les diviseurs naturels de 108.

Trouvez tous les couples (x, y) d'entiers naturels dont le PGCD d et le PPCM m sont tels que m – 3d = 108, avec 10 < d < 15.

Exercice 4-6[modifier | modifier le wikicode]

Résolvez dans ℕ2, les systèmes :

a)

b)

c)

Exercice 4-7[modifier | modifier le wikicode]

x et y sont deux entiers naturels, m est leur PPCM, d leur PGCD, et l'on note a et b les entiers tels que x = ad et y = bd.

  1. Démontrer que a + b et ab sont premiers entre eux.
  2. Déduisez-en que pgcd(x + y, m) = d.

Exercice 4-8[modifier | modifier le wikicode]

Résolvez, dans ℕ2, les systèmes :

a)

b)

c)

Exercice 4-9[modifier | modifier le wikicode]

Trouver deux entiers positifs x et y sachant que leur PGCD est 24 et que leur PPCM est 1344.

Exercice 4-10[modifier | modifier le wikicode]

a et b sont deux entiers tels que a > b > 0 ; g est leur PGCD et m leur PPCM.

 Pour cette question, a = n(2n – 1) et b = (n – 1)(2n – 1), avec n entier positif. Déterminez alors g et m.

 Soient p et q premiers entre eux tels que p > q > 0. Exprimer, en fonction de p et q, les nombres a et b tels que m(a + b) = abg [1], p = a/g et q = b/g.

 Parmi les nombres a et b qui satisfont à la relation [1], trouver ceux qui satisfont à g = a – b [2].

 Démontrer que les couples (a, b) qui satisfont à la fois à [1] et à [2], sont tels que (a – b)2 = a + b [3].

 Soit un entier r > 0. Calculer en fonction de r (lorsqu'il en existe) les solutions (a, b) de [3] pour lesquelles r est le reste de la division de a par b, et préciser la valeur de g correspondante.

 Même question pour r = 0.

Exercice 4-11[modifier | modifier le wikicode]

Pour , soit le PGCD des deux entiers et .

  1. Démontrer que .
  2. En déduire que .
  3. En déduire que .
  4. En déduire les deux valeurs possibles de .

Exercice 4-12[modifier | modifier le wikicode]

Trouvez deux entiers positifs a et b tels que a2 + b2 = 5409 et PPCM(a, b) = 360.