Arithmétique/Exercices/Fractions

Exercice 7-1

Prouvez que la fraction :

${\frac {n}{2n+1}}\qquad n\in \mathbb {N}$

est irréductible.

Solution

$\operatorname {pgcd} (2n+1,n)=\operatorname {pgcd} (1,n)=1$.

 

Exercice 7-2

La fraction :

${\frac {n+17}{n-4}}\qquad n\in \mathbb {N} \quad n>4$

peut-elle être égale à un entier ?

Solution

Pour $m=n-4\in \mathbb {N} ^{*}$, ${\frac {n+17}{n-4}}={\frac {m+21}{m}}=1+{\frac {21}{m}}$ est entier si et seulement si $m\mid 21$, c'est-à-dire $n\in \{5,7,11,25\}$.

 

Exercice 7-3

La fraction :

${\frac {n^{2}+n}{2n+1}}\qquad n\in \mathbb {N}$

est-elle irréductible ?

Solution

$n^{2}+n=n(n+1)$, $\operatorname {pgcd} (n,2n+1)=\operatorname {pgcd} (n,1)=1$ et $\operatorname {pgcd} (n+1,2n+1)=\operatorname {pgcd} (n+1,-1)=1$ donc (d'après un corollaire du théorème de Gauss) $\operatorname {pgcd} (n^{2}+n,2n+1)=1$.

 

Exercice 7-4

1° a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux. Démontrez qu'il en est de même :

a) de a + b et a ;

b) de a + b et b ;

c) de a + b et ab.

2° Déduisez de la question précédente que la fraction :

${\frac {2n+3}{n^{2}+3n+2}}\qquad n\in \mathbb {N}$

est irréductible.

Solution

1. • $\operatorname {pgcd} (a+b,a)=\operatorname {pgcd} (b,a)=1$ ;
   • $\operatorname {pgcd} (a+b,b)=\operatorname {pgcd} (a,b)=1$ ;
   • se déduit des deux points précédents et d'un corollaire du lemme de Gauss.
2. Appliquer 1.c à $a=n+1$ et $b=n+2$.

 

Exercice 7-5

Démontrer que si la fraction ${\frac {a}{b}}$ est irréductible, il en est de même pour les fractions :

1. ${\frac {a+b}{ab}}$
2. ${\frac {ab}{a^{2}+b^{2}}}$
3. ${\frac {a+b}{a^{2}+ab+b^{2}}}$
4. ${\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$

Solution

1. Cf. exercice précédent.
2. $\operatorname {pgcd} (ab,a^{2}+b^{2})=\operatorname {pgcd} (ab,(a+b)^{2})=1$, d'après la question précédente et un corollaire du lemme de Gauss
3. $\operatorname {pgcd} (ab,a^{2}+ab+b^{2})=\operatorname {pgcd} (ab,a^{2}+b^{2})=1$ d'après la question précédente
4. D'après un corollaire du lemme de Gauss (appliqué deux fois), $a^{2}$ et $b^{2}$ sont premiers entre eux donc d'après la question 1, $a^{2}b^{2}$ et $a^{2}+b^{2}$ le sont aussi.

 

Exercice 7-6

Prouvez que si la somme de deux fractions irréductibles est un entier, alors les dénominateurs de ces fractions sont égaux.

Solution

Soient $a,c\in \mathbb {Z}$ et $b,d\in \mathbb {N} ^{*}$ tels que $\operatorname {pgcd} (a,b)=\operatorname {pgcd} (c,d)=1$. Si $bd\mid ad+bc$ alors :

• $b\mid ad$ et $\operatorname {pgcd} (a,b)=1$ donc (théorème de Gauss) $b\mid d$ ;
• de même, $d\mid b$.

Donc $b=d$.

 

Exercice 7-7

On pose :

$a={\frac {n^{2}+1}{n(n^{2}-1)}}\qquad n\in \mathbb {N} ^{*}$.

1. Prouvez que les diviseurs communs au numérateur et au dénominateur de $a$ sont les diviseurs communs à n² – 1 et 2.
2. Déduisez-en que si n est pair, la fraction est irréductible, et que si n est impair, le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 2.

Solution

1. $\operatorname {pgcd} (n^{2}+1,n(n^{2}-1))=\operatorname {pgcd} (n^{2}+1,n(n^{2}-1)-n(n^{2}+1))=\operatorname {pgcd} (n^{2}+1,2n)$.
   D'après le théorème de Gauss, puisque $n$ est premier avec $n^{2}+1$, $\operatorname {pgcd} (n^{2}+1,2n)=\operatorname {pgcd} (n^{2}+1,2)=\operatorname {pgcd} (n^{2}+1-2,2)=\operatorname {pgcd} (n^{2}-1,2)$.
2. Si $n$ est pair, $n^{2}-1$ est impair donc premier avec $2$. Si $n$ est impair, $n^{2}-1$ est pair donc $\operatorname {pgcd} (n^{2}-1,2)=2$.