Leçons de niveau 13

Arithmétique/Exercices/Diviseurs communs

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Diviseurs communs
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Exercices no3
Leçon : Arithmétique
Chapitre du cours : Divisibilité et congruences dans Z

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Multiples et diviseurs
Exo suiv. :PPCM et PGCD
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Arithmétique/Exercices/Diviseurs communs
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Pour chacun des entiers naturels a et b donnés, trouver l'ensemble des diviseurs D(a) et D(b). Déduisez-en le PGCD de a et b.

a = 48 ; b = 32.

a = 120 ; b = 168.

a = 60 ; b = 96.

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Dans les exemples suivants, indiquez si les nombres a et b sont premiers entre eux.

a = 42 ; b = 65.

a = 285 ; b = 1463.

a = 360 ; b = 707.

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

Trouver le PGCD des nombres suivants :

a) 360 et 2100 ;

b) 468 et 312 ;

c) 700 et 840 ;

d) 1640 et 492.

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

Expliquer pourquoi, dans chacun des cas suivants, on peut donner très rapidement le PGCD de a et b.

Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

Trouver le PGCD des trois nombres a, b, c.

a = 162 ; b = 270 ; c = 180.

a = 504 ; b = 630 ; c = 1764.

Note : Le PGCD de trois entiers est le plus grand des diviseurs positifs communs à ces trois entiers.

Exercice 3-6[modifier | modifier le wikicode]

a et b sont deux entiers, a = 18 ; trouvez quelles sont les valeurs de b sachant que b est premier avec a et 20 < b < 30.

Exercice 3-7[modifier | modifier le wikicode]

a et b sont deux entiers, a = 630 ; le PGCD de a et b est égal à 105 ; 600 < b < 1100. Trouver b.

Exercice 3-8[modifier | modifier le wikicode]

Résolvez dans ℕ2 les systèmes :

a)

b)

c)

Exercice 3-9[modifier | modifier le wikicode]

Trouver les entiers naturels vérifiant :

Exercice 3-10[modifier | modifier le wikicode]

Dans un repère , le point M a pour coordonnées deux entiers et premiers entre eux. Démontrer que sur le segment [OM], les seuls points à coordonnées entières sont les extrémités.

Exercice 3-11[modifier | modifier le wikicode]

a et b sont deux entiers non nuls et g est leur PGCD ; p, q, r, s sont des entiers tels que ps – qr = 1. On pose A = pa + qb et B = ra + sb. Quel est le PGCD g' de A et B ?

Exercice 3-12[modifier | modifier le wikicode]

a et b sont deux entiers. A = 11a + 2b et B = 18a + 5b. Démontrer que :

si l'un des deux nombres A ou B est divisible par 19, il en est de même pour l'autre ;

si a et b sont premiers entre eux, A et B ne peuvent avoir d'autres diviseurs communs que 1 et 19.

Exercice 3-13[modifier | modifier le wikicode]

a est un entier. On pose m = 20a + 357 et n = 15a + 187, et l'on note g le PGCD de m et n. Démontrer que :

g divise 323 ;

« g est un multiple de 17 » est équivalent à « a est un multiple de 17 » ;

« g est un multiple de 19 » est équivalent à « il existe un entier k, tel que a = 19k + 4 » ;

289 est le plus petit entier positif a tel que g = 323.

Exercice 3-14[modifier | modifier le wikicode]

Soit g le PGCD de deux entiers a et b.

  1. Si c est un entier premier avec b, démontrer que pgcd(ac, b) = g.
  2. Si g = 1, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel m, am et b sont premiers entre eux, puis en déduire que pour tous entiers naturels m et n, am et bn sont premiers entre eux.
  3. Quel est le PGCD de am et bm, pour m entier naturel ?
  4. Déduire du 3° que si am divise bm, alors a divise b.

Exercice 3-15[modifier | modifier le wikicode]

Soient a et b premiers entre eux.

  1. Démontrer que a + b et ab sont premiers entre eux.
  2. En est-il de même pour a + b et a2 + b2 ?