Leçons de niveau 12

Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les applications géométriques

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Sur les applications géométriques
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Exercices no7
Leçon : Approche géométrique des nombres complexes
Chapitre du cours : Apports à la géométrie

Ces exercices sont de niveau 12.

Exo préc. :Sur la résolution d'équation
Exo suiv. :Divers
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Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les applications géométriques
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Exercice 7-1[modifier | modifier le wikicode]

 Étant donnés les points M1, M2, M3 d'affixes , , , montrer que les trois points sont alignés si, et seulement si :

.

 Étant donnés les complexes distincts a et b de module 1, soit A et B leurs images respectives. Montrer qu'un point M d'affixe appartient à la droite (AB) si, et seulement si :

.

 Soit a, b, c, d des nombres complexes de module 1 tels que et , d'images respectives A, B, C, D. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si, et seulement si :

.

Exercice 7-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'équation :

.

Démontrez que le triangle des images, dans le plan complexe, des solutions de cette équation est équilatéral.

Exercice 7-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit A et B deux points du plan complexe et soit et leurs affixes respectives.

Montrez que A et B sont sur la même demi-droite d'origine O (d'affixe ) si et seulement si :

.

Exercice 7-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'équation :

.

Soit A, B, les images des solutions. Déterminez C tel que le triangle (A, B, C) soit équilatéral.

Exercice 7-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit deux points A et B deux points d'affixes respectives et non nulles. O est le point d'affixe .

 Montrez que les droites (OA) et (OB) sont perpendiculaires si, et seulement si, est imaginaire pur.

 Montrer que les points O, A, B sont alignés si, et seulement si, est réel.

Exercice 7-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient A, B, C, D quatre points du plan complexe, d'affixes respectives .

 Montrez que le quadrilatère (A, B, C, D) est un carré si, et seulement si :

et .

 Montrez qu'alors, l'affixe du point I, intersection de (AC) et (BD), vérifie :

.

 Construire le carré dans le cas où et .

Déterminez les affixes dans ce cas.

Exercice 7-7[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre réel appartenant à .

 Résoudre dans l'équation d'inconnue  :

Donnez chaque solution sous forme trigonométrique.

 Le plan étant rapporté à un repère orthonormal d'origine O, on considère les points A et B dont les affixes sont les solutions de l'équation précédente.

Déterminez de manière que le triangle OAB soit équilatéral.