Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les applications géométriques

Exercice 7-1

1°  Étant donnés les points M₁, M₂, M₃ d'affixes $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$, montrer que les trois points sont alignés si, et seulement si :

$z_{1}{\bar {z}}_{2}+z_{2}{\bar {z}}_{3}+z_{3}{\bar {z}}_{1}={\bar {z}}_{1}z_{2}+{\bar {z}}_{2}z_{3}+{\bar {z}}_{3}z_{1}$.

2°  Étant donnés les complexes distincts a et b de module 1, soient A et B leurs images respectives. Montrer qu'un point M d'affixe $z$ appartient à la droite (AB) si, et seulement si :

$z+ab{\bar {z}}=a+b$.

3°  Soient a, b, c, d des nombres complexes de module 1 tels que $a\neq b$ et $c\neq d$, d'images respectives A, B, C, D. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si, et seulement si :

$ab=-cd$.

Solution

1. Si $z_{1}=z_{2}$ (ou plus généralement si deux des trois points sont égaux), les deux assertions sont vraies donc l'équivalence est immédiate. Supposons maintenant que $z_{1}\neq z_{2}$. Alors, les trois points sont alignés si et seulement si ${\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}}$ est réel c'est-à-dire égal à son conjugué, ce qui équivaut à $\left(z_{3}-z_{1}\right){\overline {\left(z_{2}-z_{1}\right)}}=\left(z_{2}-z_{1}\right){\overline {\left(z_{3}-z_{1}\right)}}$, ou encore (en développant et simplifiant) $z_{3}{\bar {z}}_{2}-z_{1}{\bar {z}}_{2}-z_{3}{\bar {z}}_{1}=z_{2}{\bar {z}}_{3}-z_{2}{\bar {z}}_{1}-z_{1}{\bar {z}}_{3}$, qui est (en réordonnant) l'égalité annoncée.
2. D'après la question précédente, $M\in (AB)\Leftrightarrow z{\bar {a}}+a{\bar {b}}+b{\bar {z}}={\bar {z}}a+{\bar {a}}b+{\bar {b}}z\Leftrightarrow z\left({\bar {a}}-{\bar {b}}\right)+{\bar {z}}\left(b-a\right)={\bar {a}}b-a{\bar {b}}\Leftrightarrow z\left({\bar {a}}-{\bar {b}}\right)+{\bar {z}}\left({\bar {a}}-{\bar {b}}\right)ab=\left({\bar {a}}-{\bar {b}}\right)\left(a+b\right)\Leftrightarrow z+ab{\bar {z}}=a+b$.
3. ${\frac {d-c}{b-a}}$ est imaginaire pur si et seulement s'il est opposé à son conjugué, qui est ${\frac {{\bar {d}}-{\bar {c}}}{{\bar {b}}-{\bar {a}}}}={\frac {{\frac {1}{d}}-{\frac {1}{c}}}{{\frac {1}{b}}-{\frac {1}{a}}}}={\frac {c-d}{a-b}}\times {\frac {ab}{cd}}$, donc si et seulement si ${\frac {ab}{cd}}=-1$.

 

Exercice 7-2

Soit l'équation :

$z^{3}+\left(2{\sqrt {3}}-3\mathrm {i} \right)z^{2}+\left(1-4\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)z-10{\sqrt {3}}+21\mathrm {i} =0$.

Démontrer que le triangle des images des solutions de cette équation est, dans le plan complexe, équilatéral.

Solution

Le triangle des images des solutions de $z^{3}+\alpha z^{2}+\beta z+\gamma =0$ est équilatéral si et seulement si $\alpha ^{2}=3\beta$ (Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la résolution d'équation#Exercice 4-8).

$\left(2{\sqrt {3}}-3\mathrm {i} \right)^{2}$ est bien égal à $3\left(1-4\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)$.

Ou directement : l'équation a une solution réelle : ${\sqrt {3}}$.

$z^{3}+\left(2{\sqrt {3}}-3\mathrm {i} \right)z^{2}+\left(1-4\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)z-10{\sqrt {3}}+21\mathrm {i} =\left(z-{\sqrt {3}}\right)\left(z^{2}+\left(3{\sqrt {3}}-3\mathrm {i} \right)z+\left(10-7{\sqrt {3}}\mathrm {i} \right)\right)$.

$\Delta =\left(3{\sqrt {3}}-3\mathrm {i} \right)^{2}-4\left(10-7{\sqrt {3}}\mathrm {i} \right)=-22+10{\sqrt {3}}\mathrm {i} =\left({\sqrt {3}}+5\mathrm {i} \right)^{2}$.

Les trois solutions $a={\sqrt {3}}$, $b={\frac {-3{\sqrt {3}}+3\mathrm {i} +{\sqrt {3}}+5\mathrm {i} }{2}}=-{\sqrt {3}}+4\mathrm {i}$ et $c={\frac {-3{\sqrt {3}}+3\mathrm {i} -{\sqrt {3}}-5\mathrm {i} }{2}}=-2{\sqrt {3}}-\mathrm {i}$ vérifient : ${\frac {c-a}{b-a}}={\frac {-3{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }{-2{\sqrt {3}}+4\mathrm {i} }}={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}$.

 

Exercice 7-3

Soient A et B deux points du plan complexe et soient $a$ et $b$ leurs affixes respectives.

Montrer que A et B sont sur la même demi-droite d'origine O (d'affixe $0$) si et seulement si :

$|a+b|=|a|+|b|$.

Solution

Voir Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Réels et imaginaires purs#Exercice 3-3, question 1.

 

Exercice 7-4

Soit l'équation :

$z^{2}-\left(3+4\mathrm {i} \right)z-\left(1-5\mathrm {i} \right)=0$.

Soient A, B, les images des solutions. Déterminez C tel que le triangle (A, B, C) soit équilatéral.

Solution

$\Delta =\left(3+4\mathrm {i} \right)^{2}+4\left(1-5\mathrm {i} \right)=-3+4\mathrm {i} =\left(1+2\mathrm {i} \right)^{2}$.

Les solutions sont $a={\frac {3+4\mathrm {i} +\left(1+2\mathrm {i} \right)}{2}}=2+3\mathrm {i}$ et $b={\frac {3+4\mathrm {i} -\left(1+2\mathrm {i} \right)}{2}}=1+\mathrm {i}$.

L'affixe de C est soit $-\mathrm {j} a-\mathrm {j} ^{2}b={\frac {\left(1-{\sqrt {3}}\mathrm {i} \right)\left(2+3\mathrm {i} \right)+\left(1+{\sqrt {3}}\mathrm {i} \right)\left(1+\mathrm {i} \right)}{2}}={\frac {3+2{\sqrt {3}}+\left(4-{\sqrt {3}}\right)\mathrm {i} }{2}}$, soit $-\mathrm {j} ^{2}a-\mathrm {j} b={\frac {\left(1+{\sqrt {3}}\mathrm {i} \right)\left(2+3\mathrm {i} \right)+\left(1-{\sqrt {3}}\mathrm {i} \right)\left(1+\mathrm {i} \right)}{2}}={\frac {3-2{\sqrt {3}}+\left(4+{\sqrt {3}}\right)\mathrm {i} }{2}}$, selon que le triangle est direct ou indirect.

 

Exercice 7-5

Soient deux points A et B deux points d'affixes respectives $a$ et $b$ non nulles. O est le point d'affixe $0$.

1°  Montrer que les droites (OA) et (OB) sont perpendiculaires si, et seulement si, ${\bar {a}}b$ est imaginaire pur.

2°  Montrer que les points O, A, B sont alignés si, et seulement si, ${\bar {a}}b$ est réel.

Solution

${\frac {b}{a}}$ est imaginaire pur (resp. réel) si et seulement si ${\frac {b}{a}}|a|^{2}={\bar {a}}b$ l'est.

 

Exercice 7-6

Soient A, B, C, D quatre points du plan complexe, d'affixes respectives $a,\,b,\,c,\,d$.

1°  Montrer que le quadrilatère (A, B, C, D) est un carré si, et seulement si :

$b-a=c-d$ et $d-b=\pm \mathrm {i} \left(c-a\right)$.

2°  Montrer qu'alors, l'affixe $z_{0}$ du point I, intersection de (AC) et (BD), vérifie :

$(a-z_{0})^{4}=(b-z_{0})^{4}=(c-z_{0})^{4}=(d-z_{0})^{4}$.

3°  Construire le carré dans le cas où $z_{0}=1+\mathrm {i}$ et $a+b=0$.

Déterminer les affixes $a,\,b,\,c,\,d$ dans ce cas.

Solution

1. (A, B, C, D) est un parallélogramme si et seulement si $b-a=c-d$. Ce parallélogramme est un carré si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires, c'est-à-dire $d-b=u\left(c-a\right)$, avec $u=\pm \mathrm {i}$.
2. $z_{0}$ vérifie alors : $b-z_{0}=u\left(a-z_{0}\right),c-z_{0}=u\left(b-z_{0}\right),c-z_{0}=u\left(b-z_{0}\right),d-z_{0}=u\left(c-z_{0}\right)$ et $u^{4}=1$.
3. $c=-a+2\left(1+\mathrm {i} \right)$ et $d=-b+2\left(1+\mathrm {i} \right)=a+2\left(1+\mathrm {i} \right)$, donc
   $d-b=u\left(c-a\right)$ équivaut à $a+1+\mathrm {i} =u\left(-a+1+\mathrm {i} \right)$, c'est-à-dire $a=\left(1+\mathrm {i} \right){\frac {u-1}{u+1}}=\left(1+\mathrm {i} \right)u$.
   Les deux solutions sont donc :
   • pour $u=\mathrm {i}$ : $\left(a,b,c,d\right)=\left(-1+\mathrm {i} ,1-\mathrm {i} ,3+\mathrm {i} ,1+3\mathrm {i} \right)$ ;
   • pour $u=-\mathrm {i}$ : $\left(a',b',c',d'\right)=\left(b,a,d,c\right)$.

 

Exercice 7-7

Soit $\theta$ un nombre réel appartenant à $\left[0,2\pi \right[$.

1°  Résoudre dans $\mathbb {C}$ l'équation d'inconnue $z$ :

$z^{2}-\left(2^{\theta +1}\cos \theta \right)z+2^{2\theta }=0$

Donner chaque solution sous forme trigonométrique.

2°  Le plan étant rapporté à un repère orthonormal d'origine O, on considère les points A et B dont les affixes sont les solutions de l'équation précédente.

Déterminer $\theta$ de manière que le triangle OAB soit équilatéral.

Solution

1. Le discriminant réduit est $\left(2^{\theta }\cos \theta \right)^{2}-2^{2\theta }=-2^{2\theta }\sin ^{2}\theta =\left(\mathrm {i} 2^{\theta }\sin \theta \right)^{2}$ donc les deux solutions sont $2^{\theta }\cos \theta \pm \mathrm {i} 2^{\theta }\sin \theta =2^{\theta }\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \theta }$.
2. OAB est équilatéral si et seulement si $2\theta \equiv \pm {\frac {\pi }{3}}{\bmod {2\pi }}$, c'est-à-dire (compte tenu de l'hypothèse $\theta \in \left[0,2\pi \right[$) : $\theta \in \left\{{\frac {\pi }{6}},{\frac {5\pi }{6}},{\frac {7\pi }{6}},{\frac {11\pi }{6}}\right\}$.