Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la résolution d'équation

Exercice 4-1

Résoudre les équations :

• $z^{2}-\left(3+\mathrm {i} \right)z+2\left(1+\mathrm {i} \right)=0$ ;
• $z^{4}-\left(3+\mathrm {i} \right)z^{2}+2\left(1+\mathrm {i} \right)=0$.

Solution

• $\Delta =\left(3+\mathrm {i} \right)^{2}-8\left(1+\mathrm {i} \right)=-2\mathrm {i} =\left(\mathrm {i} -1\right)^{2}$ donc les deux solutions sont ${\frac {3+\mathrm {i} \pm \left(\mathrm {i} -1\right)}{2}}$, c'est-à-dire $1+\mathrm {i}$ et $2$.
• Les quatre solutions sont les racines carrées de $1+\mathrm {i} ={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}$ et $2$, c'est-à-dire $\pm {\sqrt[{4}]{2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /8}$ et $\pm {\sqrt {2}}$.

 

Résoudre dans $\mathbb {C}$, en donnant la forme cartésienne et la forme polaire des solutions :

1. $z^{2}+(8-\mathrm {i} )z-8\mathrm {i} =0$ (indication : ${\sqrt {63^{2}+16^{2}}}=65$) ;
2. $Z^{6}+(8-\mathrm {i} )Z^{3}-8\mathrm {i} =0$.

Solution

1. $\Delta =63+16\mathrm {i} =(8+\mathrm {i} )^{2}$, $z_{1}=\mathrm {i} =\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2},z_{2}=-8=8\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi }$.
2. Les solutions de $[(Z^{3}=\mathrm {i} )\lor (Z^{3}=-8)]$ sont $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}={{\sqrt {3}}+\mathrm {i} \over 2},\operatorname {e} ^{5\mathrm {i} \pi /6}={-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} \over 2},\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 3\pi /2}=-\mathrm {i} ,2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}=1+\mathrm {i} {\sqrt {3}},2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-2,2\operatorname {e} ^{5\mathrm {i} \pi /3}=1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

 

Exercice 4-2

1. Résoudre les équations :
   • $z^{2}+4z+1+\left(3z+5\right)\mathrm {i} =0$ ;
   • $\left(z^{2}+4z+1\right)^{2}+\left(3z+5\right)^{2}=0$.
2. En déduire $a,b,c,d$ réels tels que :

   $\left(z^{2}+4z+1\right)^{2}+\left(3z+5\right)^{2}=\left(z^{2}+az+b\right)\left(z^{2}+cz+d\right)$.

Solution

1. • $z^{2}+4z+1+\left(3z+5\right)\mathrm {i} =z^{2}+\left(4+3\mathrm {i} \right)z+1+5\mathrm {i}$. $\Delta =\left(4+3\mathrm {i} \right)^{2}-4\left(1+5\mathrm {i} \right)=3+4\mathrm {i} =\left(2+\mathrm {i} \right)^{2}$ donc les deux solutions sont ${\frac {-4-3\mathrm {i} \pm \left(2+\mathrm {i} \right)}{2}}$, c'est-à-dire $-1-\mathrm {i}$ et $-3-2\mathrm {i}$.
   • $\left(z^{2}+4z+1\right)^{2}=-\left(3z+5\right)^{2}\Leftrightarrow z^{2}+4z+1+\left(3z+5\right)\mathrm {i} =0{\text{ ou }}z^{2}+4z+1-\left(3z+5\right)\mathrm {i} =0\Leftrightarrow z^{2}+4z+1+\left(3z+5\right)\mathrm {i} =0{\text{ ou }}{\bar {z}}^{2}+4{\bar {z}}+1+\left(3{\bar {z}}+5\right)\mathrm {i} =0$ donc les quatre solutions sont $-1\pm \mathrm {i}$ et $-3\pm 2\mathrm {i}$.
2. $\left(z^{2}+4z+1\right)^{2}+\left(3z+5\right)^{2}=\left(z+1-\mathrm {i} \right)\left(z+1+\mathrm {i} \right)\left(z+3-2\mathrm {i} \right)\left(z+3+2\mathrm {i} \right)=\left(\left(z+1\right)^{2}+1\right)\left(\left(z+3\right)^{2}+4\right)=\left(z^{2}+2z+2\right)\left(z^{2}+6z+13\right)$.

 

Exercice 4-3

Résoudre les équations :

• $z^{2}-2z\sin \theta +\tan ^{2}\theta \qquad -{\frac {\pi }{2}}<\theta <+{\frac {\pi }{2}}$ ;
• $z^{4}-2z^{2}\sin \theta +\tan ^{2}\theta$.

Solution

• $\Delta '=\sin ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta =-{\frac {\sin ^{4}\theta }{\cos ^{2}\theta }}$ donc les deux solutions sont $\sin \theta \pm \mathrm {i} {\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos \theta }}=\tan \theta \operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \theta }$.
• Les quatre solutions sont les racines carrées de $\tan \theta \operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \theta }$, c'est-à-dire $\pm {\sqrt {\tan \theta }}\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \theta /2}$ si $0\leq \theta <\pi /2$ et $\pm {\sqrt {-\tan \theta }}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} (\pi \pm \theta )2}$ si $-\pi /2<\theta \leq 0$.

 

Exercice 4-4

Résoudre l'équation :

$z^{6}+\left(1-2\mathrm {i} {\sqrt {2}}\right)z^{3}-2\mathrm {i} {\sqrt {2}}=0$.

Solution

Une solution évidente de $z^{2}+\left(1-2\mathrm {i} {\sqrt {2}}\right)z-2\mathrm {i} {\sqrt {2}}=0$ est $-1$ donc l'autre est $2\mathrm {i} {\sqrt {2}}$. Les six solutions de l'équation proposée sont leurs racines cubiques : $-1$, $\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \pi /3}$, $-{\sqrt {2}}\mathrm {i}$, ${\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}$ et ${\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /6}$.

 

Exercice 4-5

Résoudre les équations :

• $z^{2}-2{\bar {z}}+1=0$ ;
• $z+3{\bar {z}}=\left(2+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)|z|$.

Solution

• $x^{2}-y^{2}-2x+1=0{\text{ et }}2xy+2y=0\Longleftrightarrow \left(y=0{\text{ et }}\left(x-1\right)^{2}=0\right){\text{ ou }}\left(x=-1{\text{ et }}y^{2}=4\right)$. Il y a donc 3 solutions : $1$, $-1+2\mathrm {i}$ et $-1-2\mathrm {i}$ ;
• $4x=2|z|{\text{ et }}-2y={\sqrt {3}}|z|\Longleftrightarrow y=-{\sqrt {3}}x{\text{ et }}x\geq 0$. Il y a donc une demi-droite (d'origine $0$) de solutions.

 

Exercice 4-6

Résoudre l'équation :

$8z^{4}+8z^{3}-z-1=0$.

Solution

$8z^{4}+8z^{3}-z-1=\left(8z^{3}-1\right)\left(z+1\right)$ donc les quatre solutions sont $-1$, ${\frac {1}{2}}$ et ${\frac {-1\pm \mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}$.

 

Exercice 4-7

Démontrez que l'équation suivante admet une racine réelle puis la résoudre :

$z^{3}-\left(3+2\mathrm {i} \right)z^{2}+\left(3+11\mathrm {i} \right)z-2\left(1+7\mathrm {i} \right)=0$.

Solution

$x^{3}-3x^{2}+3x-2=0{\text{ et }}-2x^{2}+11x-14=0\Leftrightarrow x=2$.

$z^{3}-\left(3+2\mathrm {i} \right)z^{2}+\left(3+11\mathrm {i} \right)z-2\left(1+7\mathrm {i} \right)=\left(z-2\right)\left(z^{2}-\left(1+2\mathrm {i} \right)z+1+7\mathrm {i} \right)$.

$\Delta =\left(1+2\mathrm {i} \right)^{2}-4\left(1+7\mathrm {i} \right)=-7-24\mathrm {i} =\left(3-4\mathrm {i} \right)^{2}$.

Les trois solutions sont donc $2$ et ${\frac {1+2\mathrm {i} \pm \left(3-4\mathrm {i} \right)}{2}}$, c'est-à-dire $2$, $2-\mathrm {i}$ et $-1+3\mathrm {i}$.

 

Exercice 4-8

Quelle est la condition nécessaire et suffisante sur $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {C}$ pour que le triangle des images des solutions de

$z^{3}+\alpha z^{2}+\beta z+\gamma =0$

soit équilatéral ?

Solution

Notons $a,b,c$ les trois solutions. Le triangle est équilatéral si et seulement si $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$. Or $ab+bc+ca=\beta$ et $a+b+c=-\alpha$ donc $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\alpha ^{2}-2\beta$. Par conséquent, le triangle est équilatéral si et seulement si $\alpha ^{2}=3\beta$.

 

Exercice 4-9

Soit l'équation :

$z^{3}-\left(2+3\mathrm {i} \right)z^{2}-\left(3-5\mathrm {i} \right)z+2\left(3+\mathrm {i} \right)=0$.

Démontrez que le triangle des images est rectangle isocèle.

Solution

L'équation a une solution réelle : $2$.

$z^{3}-\left(2+3\mathrm {i} \right)z^{2}-\left(3-5\mathrm {i} \right)z+2\left(3+\mathrm {i} \right)=\left(z-2\right)\left(z^{2}-3\mathrm {i} z-\left(3+\mathrm {i} \right)\right)$.

$\Delta =\left(-3\mathrm {i} \right)^{2}+4\left(3+\mathrm {i} \right)=3+4\mathrm {i} =\left(2+\mathrm {i} \right)^{2}$.

Les trois solutions $a=2$, $b={\frac {3\mathrm {i} +2+\mathrm {i} }{2}}=1+2\mathrm {i}$ et $c={\frac {3\mathrm {i} -2-\mathrm {i} }{2}}=-1+\mathrm {i}$ vérifient : $a-b=\mathrm {i} \left(c-b\right)$.

 

Exercice 4-10

Pour $a\in \mathbb {C} ^{*}$, soit :

$P_{a}(z)=z^{3}-6az^{2}+12a^{2}z-7a^{3}$.

1°  Vérifier que $P_{1}(1)=0$. Résoudre dans $\mathbb {C}$ : $P_{1}(z)=0$.

2°  Soit $Z={\frac {z}{a}}$. Résoudre dans $\mathbb {C}$ : $P_{a}(z)=0$.

3°  Démontrez que $T_{a}$ est équilatéral.

Solution

1. $P_{1}(1)=1-6+12-7=0$. $P_{1}(z)=\left(z-1\right)\left(z^{2}-5z+7\right)$. Les deux autres racines de $P_{1}$ sont donc ${\frac {5\pm \mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$.
2. $P_{a}(z)=a^{3}P_{1}(Z)$ donc les trois racines de $P_{a}$ sont $a$ et $a{\frac {5\pm \mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$.
3. Cf. exercice 4-8 ci-dessus : $(-6a)^{2}=3\times 12a^{2}$. Ou directement : ${\frac {a{\frac {5+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}-a}{a{\frac {5-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}-a}}={\frac {a{\sqrt {3}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}}{a{\sqrt {3}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /6}}}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}$.

 

Exercice 4-11

Soit, dans $\mathbb {C}$, les équations :

(1)  $z^{6}-9\mathrm {i} z^{3}+18-26\mathrm {i} =0$ ;

(2)  $Z^{3}-1=0$.

1°  Vérifiez que $2+\mathrm {i}$ et $1-\mathrm {i}$ sont solutions de (1).

2°  Résoudre (2).

3°  Démontrez que si $z_{0}$ est solution de (1) et $Z_{0}$ est solution de (2), alors $z_{0}Z_{0}$ est solution de (1).

4°  Résoudre (1).

Solution

1. • $\left(2+\mathrm {i} \right)^{3}=2+11\mathrm {i}$, $\left(2+11\mathrm {i} \right)^{2}=-117+44\mathrm {i}$ et $-117+44\mathrm {i} -9\mathrm {i} \left(2+11\mathrm {i} \right)+18-26\mathrm {i} =0$.
   • $\left(1-\mathrm {i} \right)^{3}=-2-2\mathrm {i}$, $\left(-2-2\mathrm {i} \right)^{2}=8\mathrm {i}$ et $8\mathrm {i} -9\mathrm {i} \left(-2-2\mathrm {i} \right)+18-26\mathrm {i} =0$.
2. Les trois solutions de (2) sont $1$ et ${\frac {-1\pm \mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$.
3. Si $Z_{0}^{3}=1$ alors $\left(z_{0}Z_{0}\right)^{3}=z_{0}^{3}$ et (donc) $\left(z_{0}Z_{0}\right)^{6}=z_{0}^{6}$.
4. Les six solutions de (1) sont donc $2+\mathrm {i}$, $1-\mathrm {i}$, ${\frac {\left(2+\mathrm {i} \right)\left(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)}{2}}$, ${\frac {\left(1-\mathrm {i} \right)\left(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)}{2}}$, ${\frac {\left(2+\mathrm {i} \right)\left(-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)}{2}}$ et ${\frac {\left(1-\mathrm {i} \right)\left(-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)}{2}}$.