Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur la résolution d'équation

Exercice 6-1

Résoudre dans $\mathbb {C}$ :

1°  $z^{2}-\left(5+3\mathrm {i} \right)z+4+7\mathrm {i} =0$ ;

2°  $z^{2}-\left(5-9\mathrm {i} \right)z-14-23\mathrm {i} =0$ ;

3°  $\left(4-3\mathrm {i} \right)z^{2}-\left(10+5\mathrm {i} \right)z+3+5\mathrm {i} =0$ ;

4°  $z^{2}-\left(3+2\mathrm {i} \right)z+5+\mathrm {i} =0$ ;

5°  $z^{2}-\left(1+2\mathrm {i} \right)z+3\left(1+\mathrm {i} \right)=0$ ;

6°  $z^{2}-\left(a+\mathrm {i} b\right)z+\mathrm {i} ab=0$ ;

7°  $z^{2}-2az+a^{2}+b^{2}=0$ ;

8°  $z^{2}+\left(5+4\mathrm {i} \right)z+3+11\mathrm {i} =0$ ;

9°  $z^{2}+4\left(1+\mathrm {i} \right)z+10\mathrm {i} =0$ ;

10°  $z^{2}-z{\sqrt {3}}-\mathrm {i} =0$.

Solution

1. $\Delta =\left(5+3\mathrm {i} \right)^{2}-4\left(4+7\mathrm {i} \right)=2\mathrm {i} =\left(1+\mathrm {i} \right)^{2}$ donc les solutions sont ${\frac {5+3\mathrm {i} +1+\mathrm {i} }{2}}=3+2\mathrm {i}$ et ${\frac {5+3\mathrm {i} -\left(1+\mathrm {i} \right)}{2}}=2+\mathrm {i}$.
2. $\Delta =\left(5-9\mathrm {i} \right)^{2}+4\left(14+23\mathrm {i} \right)=2\mathrm {i} =\left(1+\mathrm {i} \right)^{2}$ donc les solutions sont ${\frac {5-9\mathrm {i} +1+\mathrm {i} }{2}}=3-4\mathrm {i}$ et ${\frac {5-9\mathrm {i} -\left(1+\mathrm {i} \right)}{2}}=2-5\mathrm {i}$.
3. $\Delta =\left(10+5\mathrm {i} \right)^{2}-4\left(4-3\mathrm {i} \right)\left(3+5\mathrm {i} \right)=-33+56\mathrm {i} =\left(4+7\mathrm {i} \right)^{2}$ donc les solutions sont ${\frac {10+5\mathrm {i} +4+7\mathrm {i} }{2\left(4-3\mathrm {i} \right)}}={\frac {7+6\mathrm {i} }{4-3\mathrm {i} }}={\frac {2+9\mathrm {i} }{5}}$ et ${\frac {10+5\mathrm {i} -\left(4+7\mathrm {i} \right)}{2\left(4-3\mathrm {i} \right)}}={\frac {3-\mathrm {i} }{4-3\mathrm {i} }}={\frac {3+\mathrm {i} }{5}}$.
4. $\Delta =\left(3+2\mathrm {i} \right)^{2}-4\left(5+\mathrm {i} \right)=-15+8\mathrm {i} =\left(1+4\mathrm {i} \right)^{2}$ donc les solutions sont ${\frac {3+2\mathrm {i} +1+4\mathrm {i} }{2}}=2+3\mathrm {i}$ et ${\frac {3+2\mathrm {i} -\left(1+4\mathrm {i} \right)}{2}}=1-\mathrm {i}$.
5. $\Delta =\left(1+2\mathrm {i} \right)^{2}-12\left(1+\mathrm {i} \right)=-15-8\mathrm {i} =\left(1-4\mathrm {i} \right)^{2}$ donc les solutions sont ${\frac {1+2\mathrm {i} +1-4\mathrm {i} }{2}}=1-\mathrm {i}$ et ${\frac {1+2\mathrm {i} -\left(1-4\mathrm {i} \right)}{2}}=3\mathrm {i}$.
6. $\Delta =\left(a+\mathrm {i} b\right)^{2}-4\mathrm {i} ab=\left(a-\mathrm {i} b\right)^{2}$ donc les solutions sont ${\frac {a+\mathrm {i} b+a-\mathrm {i} b}{2}}=a$ et ${\frac {a+\mathrm {i} b-a+\mathrm {i} b}{2}}=\mathrm {i} b$.
7. $\Delta =\left(-2a\right)^{2}-4\left(a^{2}+b^{2}\right)=-4b^{2}=\left(2\mathrm {i} b\right)^{2}$ donc les solutions sont $a+\mathrm {i} b$ et $a-\mathrm {i} b$.
8. $\Delta =\left(5+4\mathrm {i} \right)^{2}-4\left(3+11\mathrm {i} \right)=-3-4\mathrm {i} =\left(1-2\mathrm {i} \right)^{2}$ donc les solutions sont ${\frac {-5-4\mathrm {i} +1-2\mathrm {i} }{2}}=-2-3\mathrm {i}$ et ${\frac {-5-4\mathrm {i} -1+2\mathrm {i} }{2}}=-3-\mathrm {i}$.
9. $\Delta =16\left(1+\mathrm {i} \right)^{2}-40\mathrm {i} =-8\mathrm {i} =\left(2-2\mathrm {i} \right)^{2}$ donc les solutions sont ${\frac {-4\left(1+\mathrm {i} \right)+2-2\mathrm {i} }{2}}=-1-3\mathrm {i}$ et ${\frac {-4\left(1+\mathrm {i} \right)-2+2\mathrm {i} }{2}}=-3-\mathrm {i}$.
10. $\delta ^{2}=\Delta =3+4\mathrm {i}$ avec $\delta =x+\mathrm {i} y$, $x^{2}-y^{2}=3$ et $x^{2}+y^{2}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5$, donc $x=\pm 2$ et $y=\pm 1$ ; de plus, $xy$ est du signe de $4$. Donc $\delta =\pm (2+\mathrm {i} )$ et les solutions sont ${{\sqrt {3}}+2+\mathrm {i} \over 2}$ et ${{\sqrt {3}}-2-\mathrm {i} \over 2}$.

 

Exercice 6-2

Résoudre dans $\mathbb {C}$ :

1°  $z^{4}+z^{2}+1=0$ ;

2°  $(z+1)^{2}+\mathrm {i} (z+2)^{2}=0$ ;

3°  $(z-\mathrm {i} )^{3}=\mathrm {i} (z+\mathrm {i} )^{3}$ ;

4°  $(z+1)^{2}+\mathrm {i} (z^{2}+z)^{2}=0$ ;

5°  $z^{4}-(5-14\mathrm {i} )z^{2}-2(12+5\mathrm {i} )=0$ ;

6°  $z^{4}-(7+22\mathrm {i} )z^{2}+48-14\mathrm {i} =0$.

Solution

1. $z^{4}+z^{2}+1=0\Leftrightarrow z^{2}=\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} 2\pi /3}\Leftrightarrow z^{2}=\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \pi /3}{\text{ ou }}\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} 2\pi /3}$.
2. $(z+1)^{2}+\mathrm {i} (z+2)^{2}=0\Leftrightarrow \left(1+\mathrm {i} \right)z^{2}+2\left(1+2\mathrm {i} \right)z+1+4\mathrm {i} =0$.
   $\Delta '=\left(1+2\mathrm {i} \right)^{2}-\left(1+\mathrm {i} \right)\left(1+4\mathrm {i} \right)=-\mathrm {i} =\left({\frac {1-\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}\right)^{2}$
   Les solutions sont donc :

   ${\frac {-1-2\mathrm {i} \pm {\frac {1-\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}}{1+\mathrm {i} }}={\frac {\left(-1-2\mathrm {i} \right)\left(1-\mathrm {i} \right)}{2}}\pm {\frac {\left(1-\mathrm {i} \right)^{2}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {-3-\mathrm {i} }{2}}\mp {\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$.

3. $(z-\mathrm {i} )^{3}-\mathrm {i} (z+\mathrm {i} )^{3}=\left(1-\mathrm {i} \right)\left(z^{3}+3z^{2}-3z-1\right)=\left(1-\mathrm {i} \right)\left(z-1\right)\left(z^{2}+4z+1\right)$. Les solutions sont donc : $1$, $-2-{\sqrt {3}}$ et $-2+{\sqrt {3}}$.
4. $(z+1)^{2}+\mathrm {i} (z^{2}+z)^{2}=(z+1)^{2}\left(1+\mathrm {i} z^{2}\right)$. Les solutions sont donc $-1$ et $\pm {\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$.
5. $\Delta =(5-14\mathrm {i} )^{2}+8(12+5\mathrm {i} )=5^{2}(-3-4\mathrm {i} )=5^{2}(1-2\mathrm {i} )^{2}$.
   $z^{2}={\frac {5-14\mathrm {i} \pm 5(1-2\mathrm {i} )}{2}}=5-12\mathrm {i} {\text{ ou }}-4\mathrm {i} \Leftrightarrow z=\pm (3-2\mathrm {i} ){\text{ ou }}\pm {\sqrt {2}}(1-\mathrm {i} )$.
6. $\Delta =(7+22\mathrm {i} )^{2}-8(24-7\mathrm {i} )=-627+364\mathrm {i} =(7+26\mathrm {i} )^{2}$.
   $z^{2}={\frac {7+22\mathrm {i} \pm (7+26\mathrm {i} )}{2}}=7+24\mathrm {i} {\text{ ou }}-2\mathrm {i} \Leftrightarrow z=\pm (4+3\mathrm {i} ){\text{ ou }}\pm (1-\mathrm {i} )$.

 

Exercice 6-3

Dans le corps des nombres complexes, résoudre l'équation :

$\mathrm {i} z^{2}-2{\bar {z}}+2-\mathrm {i} =0$

où $z$ est l'inconnue et ${\bar {z}}$ le complexe conjugué.

Solution

$\mathrm {i} \left(x^{2}-y^{2}+2xy\mathrm {i} \right)-2\left(x-\mathrm {i} y\right)+2-\mathrm {i} =2\left(1-xy-x\right)+\mathrm {i} \left(x^{2}-y^{2}+2y-1\right)$.

$x(y+1)=1{\text{ et }}x^{2}=(y-1)^{2}\Leftrightarrow x={\frac {1}{y+1}}{\text{ et }}x=\pm (y-1)\Leftrightarrow x={\frac {1}{y+1}}{\text{ et }}y^{2}-1=\pm 1\Leftrightarrow (x,y)=(1,0),\left(-1+{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right){\text{ ou }}\left(-1-{\sqrt {2}},-{\sqrt {2}}\right)$.

Il y a donc trois solutions : $1$ et $-1\pm {\sqrt {2}}(1+\mathrm {i} )$.

 

Exercice 6-4

On considère l'équation du second degré :

$z^{2}+2(1-\cos u)z+2(1-\cos u)=0$,

$u$ étant un paramètre réel appartenant à l'intervalle $\left[0,\pi \right]$.

1°  Résoudre cette équation dans $\mathbb {C}$. On notera $z_{1}$ et $z_{-1}$ les solutions.

2°  Déterminer le module et l'argument de $z_{1}$ et $z_{-1}$.

Solution

1. $\Delta '=(1-\cos u)^{2}-2(1-\cos u)=\cos ^{2}u-1=-\sin ^{2}u$ donc $z_{\varepsilon }=-1+\cos u+\varepsilon \mathrm {i} \sin u$.
2. $z_{\varepsilon }=-1+\operatorname {e} ^{\varepsilon \mathrm {i} u}=\operatorname {e} ^{\varepsilon \mathrm {i} u/2}\left(\operatorname {e} ^{-\varepsilon \mathrm {i} u/2}+\operatorname {e} ^{\varepsilon \mathrm {i} u/2}\right)=2\cos(u/2)\operatorname {e} ^{\varepsilon \mathrm {i} u/2}$ donc $\left|z_{\varepsilon }\right|=2|\cos(u/2)|$ et $\arg z_{\varepsilon }=\varepsilon u/2$ ou $\varepsilon u/2+\pi$, selon le signe de $\cos(u/2)$.

 

Exercice 6-5

Résoudre les équations suivantes :

1°  $z^{3}-\mathrm {i} =0$ ;

2°  $z^{3}-\mathrm {i} =6\left(z+\mathrm {i} \right)$.

Solution

1. $z^{3}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}\Leftrightarrow z=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }{\text{ avec }}\theta \in \left\{{\frac {\pi }{6}},{\frac {\pi }{6}}-{\frac {2\pi }{3}},{\frac {\pi }{6}}+{\frac {2\pi }{3}}\right\}=\left\{{\frac {\pi }{6}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {5\pi }{6}}\right\}\Leftrightarrow z\in \left\{{\frac {{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{2}},-\mathrm {i} ,{\frac {-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{2}}\right\}$.
2. $z^{3}-\mathrm {i} -6\left(z+\mathrm {i} \right)=\left(z+\mathrm {i} \right)\left(z^{2}-\mathrm {i} z-7\right)$ donc les trois solutions sont $-\mathrm {i}$ et ${\frac {\mathrm {i} \pm 3{\sqrt {3}}}{2}}$.

 

Exercice 6-6

Résoudre dans $\mathbb {C}$ :

$z^{6}-\left(1-\mathrm {i} \right)z^{3}-\mathrm {i} =0$.

Solution

$\Delta =\left(1-\mathrm {i} \right)^{2}+4\mathrm {i} =2\mathrm {i} =\left(1+\mathrm {i} \right)^{2}$.

$z^{3}={\frac {1-\mathrm {i} \pm \left(1+\mathrm {i} \right)}{2}}=1{\text{ ou }}-\mathrm {i} \Leftrightarrow z\in \left\{1,\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 2\pi /3},\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi /3},\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /6},\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2},\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 5\pi /6}\right\}=\left\{1,{\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}},{\frac {{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }{2}},\mathrm {i} ,{\frac {-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }{2}}\right\}$.

 

Exercice 6-7

Soit le polynôme $P(z)=z^{3}-4z+\lambda$, où $z$ désigne un nombre complexe et où $\lambda$ est un nombre réel.

1°  Montrer que si $P(z)=0$ admet une solution complexe $z_{0}$, alors ${\bar {z}}_{0}$ est aussi solution.

En déduire que l'équation $P(z)=0$ admet au moins une solution réelle, sans chercher à résoudre l'équation.

2°  Déterminer $\lambda$ pour que le polynôme $P(z)$ admette une racine réelle de module $2$.

Résoudre l'équation pour la valeur de $\lambda$ ainsi trouvée.

3°  Déterminer $\lambda$ pour que le polynôme $P(z)$ admette une racine non réelle de module $2$.

Résoudre l'équation pour chaque valeur de $\lambda$ ainsi trouvée et préciser le module et l'argument de chaque solution.

Solution

1. Puisque $P$ est à coefficients réels, $P({\bar {z}})={\overline {P(z)}}$ donc $P(z)=0\Leftrightarrow P({\bar {z}})=0$. Par conséquent, les trois racines complexes de $P$ sont soit toutes réelles, soit deux non réelles (conjuguées) et une réelle.
2. $\lambda =x\left(4-x^{2}\right){\text{ et }}x^{2}=4\Rightarrow \lambda =0$. Réciproquement, les solutions de $z^{3}-4z=0$ sont $0$, $2$ et $-2$.
3. Si $P$ a deux racines non réelles $z_{0},{\bar {z}}_{0}$ de module $2$, la troisième est un réel $\mu$ tel que $z^{3}-4z+\lambda =(z-z_{0})(z-{\bar {z}}_{0})(z-\mu )$, c'est-à-dire, en développant et en identifiant les coefficients : $\mu =-2\operatorname {Re} (z_{0})=-\lambda /4$ et $\lambda =\pm 8{\sqrt {2}}$. Récipoquement (par les mêmes calculs) :
   • si $\lambda =8{\sqrt {2}}$, les trois racines sont $-2{\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi }$ et les deux complexes (conjugués) de module $2$ et de partie réelle ${\sqrt {2}}$, c'est-à-dire ${\sqrt {2}}\left(1\pm \mathrm {i} \right)=2\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} \pi /4}$ ;
   • de même, si $\lambda =-8{\sqrt {2}}$, les racines sont $2{\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 0}$ et ${\sqrt {2}}\left(-1\pm \mathrm {i} \right)=2\operatorname {e} ^{\pm \mathrm {i} 3\pi /4}$.

 

Voir aussi Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la résolution d'équation.