Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Divers

Exercice 8-1

Déterminer les nombres complexes $z$ tels que $z^2$ et $z^6$ soient conjugués.

Solution

Si $r>0$ et $\theta \in ℝ$, on a $r^6=r^2$ et $6\theta \equiv -2\theta mod2\pi$ si et seulement si $r=1$ et $8\theta \equiv 0mod2\pi$. Les solutions sont donc $0$ et les 8 racines huitièmes de l'unité : ${\mathrm{e}}^{k\mathrm{i}\pi /4},k\in \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,4\}$.

 

Exercice 8-2

Soit $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite définie par :

$\{\begin{array}{c}{z}_0=0\\ z_1=\mathrm{i}\\ z_n=(1+\mathrm{i})z_{n-1}-\mathrm{i}{z}_{n-2}n⩾2.\end{array}$

1°  Exprimer $z_n-z_{n-1}$ en fonction de $n$.

2°  Établir la relation :

$z_n=\frac{1-i}{2}({\mathrm{i}}^n-1)$.

3°  Démontrer que la suite est périodique et donner sa période.

Solution

1. $z_n-z_{n-1}=\mathrm{i}(z_{n-1}-z_{n-2})$ donc $z_n-z_{n-1}={\mathrm{i}}^{n-1}(z_1-z_0)={\mathrm{i}}^n$.
2. $z_n=z_n-z_{n-1}+z_{n-1}-z_{n-2}+\dots +z_1-z_0+z_0={\mathrm{i}}^n+{\mathrm{i}}^{n-1}+\dots +\mathrm{i}+0=\mathrm{i}\frac{{\mathrm{i}}^n-1}{\mathrm{i}-1}=\frac{1-i}{2}({\mathrm{i}}^n-1)$.
3. La suite est donc 4-périodique, comme la suite des puissances de $\mathrm{i}$.

 

Exercice 8-3

Soit : $a,b,$ réels fixés, $p=a+b\mathrm{i}$.

Résoudre dans $ℂ$ : $z^2-2pz+{\bar{p}}^2=0$.

Exprimer les solutions en fonction de $a$ et $b$.

Déterminer $p$ tel que l'une au moins des solutions soit réelle.

Solution

L'équation équivaut à $(z-p{)}^2=p^2-{\bar{p}}^2=4\mathrm{i}ab$. Si $ab\ge 0$, les deux solutions sont donc $p\pm 2\sqrt{ab}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /4}=a+b\mathrm{i}\pm \sqrt{2ab}(1+\mathrm{i})$ et si $ab\le 0$, les deux solutions sont $p\pm 2\sqrt{-ab}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4}=a+b\mathrm{i}\pm \sqrt{-2ab}(1-\mathrm{i})$.

L'une des deux solutions est réelle si et seulement si $b=\pm \sqrt{2|ab|}$, c'est-à-dire $b=0$ ou $b=\pm 2a$.

 

Exercice 8-4

1°  Soit $u=5(\sqrt{2+\sqrt{2}}-\mathrm{i}\sqrt{2-\sqrt{2}})$.

a)  Calculer $u^2$.

b)  Calculer le module et un argument de $u$.

2°  Soit $z=\rho (\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$.

Déterminer l'ensemble des $(\rho ,\theta )\in {ℝ}_{+}^{\ast }\times [0,2\pi [$ tels que :

a)  $uz$ soit réel ;

b)  $uz$ soit imaginaire pur ;

c)  $|uz|=15$.

Préciser, dans chaque cas, l'ensemble décrit par l'image de $z$ dans le plan complexe.

Solution

1°  a)  $u^2=25(2+\sqrt{2}-(2-\sqrt{2})-2\mathrm{i}\sqrt{2^2-{\sqrt{2}}^2})=50\sqrt{2}(1-\mathrm{i})$.

b)  $|u|=50\sqrt{2}\sqrt{2}=100$ et $\frac{u}{|u|}=\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{2}}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4}$.

2°  a)  $uz\in ℝ\iff -\pi /4+\theta \in \pi \mathbb{Z}\iff \theta \in \{\pi /4,5\pi /4\}$. L'image de $z$ décrit la droite $y=x$ (privée de l'origine).

b)  $uz\in \mathrm{i}ℝ\iff -\pi /4+\theta \in \pi /2+\pi \mathbb{Z}\iff \theta \in \{3\pi /4,7\pi /4\}$. L'image de $z$ décrit la droite $y=-x$ (privée de l'origine).

c)  $|uz|=15\iff |z|=\frac{15}{100}\iff \rho =\mathrm{0,15}$. L'image de $z$ décrit le cercle de centre $O$ et de rayon $\mathrm{0,15}$.