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Exercice : Réels et imaginaires purs
Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Réels et imaginaires purs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Comment choisir l’entier naturel
pour que :
1° soit un réel positif ?
2° soit un imaginaire pur ?
Solution
est :
1° réel positif si
, c'est-à-dire
;
2° imaginaire pur si
, c'est-à-dire
.
étant un nombre complexe non réel, on considère les nombres
et
définis par :

Déterminez
tel que
et
soient tous deux réels. Dans ce cas, déterminez
et
.
Solution
donc

(car par hypothèse,
).
Les solutions
sont donc
et
, et dans les deux cas,
.
Soient
et
deux nombres complexes. On suppose
.
- Démontrez que
.
- Étudiez de même :
.
Solution
Soit
.
.
- De même,
.
1° Déterminez l’ensemble des valeurs de
, nombre complexe, pour lesquelles
est défini. Dans ce cas, calculez
.
2° Déterminez l'ensemble des valeurs de
:
- pour lesquelles
est réel ;
- pour lesquelles
est imaginaire pur.
Soit
l'application de
dans
définie par :
.
Soit M l'image de
dans le plan complexe.
1° Déterminez l'ensemble des points M tels que
soit réel.
2° Déterminez l'ensemble des points M tels que
soit imaginaire pur.
Soit
l'application de
dans
définie par :

Soit M l'image de
dans le plan complexe.
1° Déterminez l'ensemble des points M tels que
soit réel.
2° Déterminez l'ensemble des points M tels que
soit imaginaire pur.
Solution
Soient
les coordonnées de M.
(union des deux axes).
(hyperbole).
1° Soit
, entier naturel. Démontrez que :
est réel ;
est imaginaire pur.
2° Calculez :
et
.
- Chaque somme est finie ; le dernier terme dépend de la parité de
.