Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Réels et imaginaires purs

Exercice 3-1

Comment choisir l’entier naturel $n$ pour que :

$({\sqrt {3}}+\mathrm {i} )^{n}$

1°  soit un réel positif ?

2°  soit un imaginaire pur ?

Solution

$({\sqrt {3}}+\mathrm {i} )^{n}=2^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\pi /6}$ est :

1°  réel positif si ${\frac {n\pi }{6}}\equiv 0\mod {2\pi }$, c'est-à-dire $12\mid n$ ;

2°  imaginaire pur si ${\frac {n\pi }{6}}\equiv {\frac {\pi }{2}}\mod {\pi }$, c'est-à-dire $n\equiv 3\mod 6$.

 

Exercice 3-2

$z$ étant un nombre complexe non réel, on considère les nombres $z_{1}$ et $z_{2}$ définis par :

${\begin{cases}z_{1}={\frac {z^{2}}{z+1}}\\z_{2}={\frac {1}{z\left(z+1\right)}}.\end{cases}}$

Déterminez $z$ tel que $z_{1}$ et $z_{2}$ soient tous deux réels. Dans ce cas, déterminez $z_{1}$ et $z_{2}$.

Solution

$z_{1}=z^{3}z_{2}$ donc

${\begin{aligned}z_{1},z_{2}\in \mathbb {R} &\Leftrightarrow z_{2},z^{3}\in \mathbb {R} \\&\Leftrightarrow z\left(z+1\right),z^{3}\in \mathbb {R} \\&\Leftrightarrow z^{2}+z+1,z^{3}-1\in \mathbb {R} \\&\Leftrightarrow z^{2}+z+1,\left(z^{2}+z+1\right)\left(z-1\right)\in \mathbb {R} \\&\Leftrightarrow z^{2}+z+1=0\end{aligned}}$

(car par hypothèse, $z-1\notin \mathbb {R}$).

Les solutions $z$ sont donc $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 2\pi /3}$ et $\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi /3}$, et dans les deux cas, $z_{1}=z_{2}=-1$.

 

Exercice 3-3

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes. On suppose $z\neq 0$.

1. Démontrez que $|z+z'|=|z|+|z'|\Leftrightarrow {\frac {z'}{z}}\in \mathbb {R} _{+}$.
2. Étudiez de même : $|z+z'|=|z|-|z'|$.

Solution

Soit $\lambda :={\frac {z'}{z}}$.

1. $|z+z'|=|z|+|z'|\Leftrightarrow |1+\lambda |=1+|\lambda |\Leftrightarrow |1+\lambda |^{2}=\left(1+|\lambda |\right)^{2}\Leftrightarrow \left(1+\lambda \right)\left(1+{\overline {\lambda }}\right)=1+2|\lambda |+|\lambda |^{2}\Leftrightarrow \operatorname {Re} (\lambda )=|\lambda |\Leftrightarrow \lambda \in \mathbb {R} _{+}$.
2. De même, $|z+z'|=|z|-|z'|\Leftrightarrow |1-\lambda |=1-|\lambda |\Leftrightarrow \left[|\lambda |\leq 1{\text{ et }}|1-\lambda |^{2}=\left(1-|\lambda |\right)^{2}\right]\Leftrightarrow \left[|\lambda |\leq 1{\text{ et }}\operatorname {Re} (\lambda )=-|\lambda |\right]\Leftrightarrow \lambda \in \left[-1,0\right]$.

 

Exercice 3-4

1°  Déterminez l’ensemble des valeurs de $z$, nombre complexe, pour lesquelles $Z:={\frac {z+4\mathrm {i} }{{\bar {z}}-4\mathrm {i} }}$ est défini. Dans ce cas, calculez $|Z|$.

2°  Déterminez l'ensemble des valeurs de $z$ :

1. pour lesquelles $Z$ est réel ;
2. pour lesquelles $Z$ est imaginaire pur.

Solution

Soit $u:=z+4\mathrm {i}$. Ainsi, $Z={\frac {u}{\bar {u}}}$.

1°  $Z$ est défini si et seulement si $u\neq 0$ c'est-à-dire $z\neq -4\mathrm {i}$, et dans ce cas, $|Z|=1$.

2°

1. $Z={\overline {Z}}\Leftrightarrow {\frac {u}{\bar {u}}}={\frac {\bar {u}}{u}}\Leftrightarrow u^{2}={\overline {u^{2}}}\Leftrightarrow u^{2}\in \mathbb {R} \Leftrightarrow u\in \mathbb {R} \cup \mathrm {i} \mathbb {R} \Leftrightarrow z\in \left(\mathbb {R} -4\mathrm {i} \right)\cup \mathrm {i} \mathbb {R}$.
2. De même, $Z=-{\overline {Z}}\Leftrightarrow u^{2}\in \mathrm {i} \mathbb {R} \Leftrightarrow u\in \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}\mathbb {R} \cup \operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}\mathbb {R} \Leftrightarrow z\in \left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}\mathbb {R} -4\mathrm {i} \right)\cup \left(\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}\mathbb {R} -4\mathrm {i} \right)$.

 

Exercice 3-5

Soit $f$ l'application de $\mathbb {C}$ dans $\mathbb {C}$ définie par :

$f(z)=\left(z-1\right)\left({\bar {z}}-\mathrm {i} \right)$.

Soit M l'image de $z$ dans le plan complexe.

1°  Déterminez l'ensemble des points M tels que $f(z)$ soit réel.

2°  Déterminez l'ensemble des points M tels que $f(z)$ soit imaginaire pur.

Solution

$\forall x,y\in \mathbb {R} \quad f\left(x+\mathrm {i} y\right)=x^{2}+y^{2}-x+y+\mathrm {i} \left(y-x+1\right)$.

1. $f\left(x+\mathrm {i} y\right)\in \mathbb {R} \Leftrightarrow y=x-1$ (droite).
2. $f\left(x+\mathrm {i} y\right)\in \mathrm {i} \mathbb {R} \Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left(y+{\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}$ (cercle).

 

Exercice 3-6

Soit $f$ l'application de $\mathbb {C} \backslash \{+1\}$ dans $\mathbb {C}$ définie par :

$f(z)={\frac {z+1}{{\bar {z}}-1}}$

Soit M l'image de $z$ dans le plan complexe.

1°  Déterminez l'ensemble des points M tels que $f(z)$ soit réel.

2°  Déterminez l'ensemble des points M tels que $f(z)$ soit imaginaire pur.

Solution

Soient $\left(x,y\right)$ les coordonnées de M.

1. $f(z)\in \mathbb {R} \Leftrightarrow {\frac {z+1}{{\bar {z}}-1}}={\frac {{\bar {z}}+1}{z-1}}\Leftrightarrow z^{2}-1={\bar {z}}^{2}-1\Leftrightarrow z^{2}\in \mathbb {R} \Leftrightarrow xy=0$ (union des deux axes).
2. $f(z)\in \mathrm {i} \mathbb {R} \Leftrightarrow {\frac {z+1}{{\bar {z}}-1}}=-{\frac {{\bar {z}}+1}{z-1}}\Leftrightarrow z^{2}-1=1-{\bar {z}}^{2}\Leftrightarrow z^{2}+{\bar {z}}^{2}=2\Leftrightarrow \operatorname {Re} \left(z^{2}\right)=1\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=1$ (hyperbole).

 

Exercice 3-7

1°  Soit $n$, entier naturel. Démontrez que :

$(1+\mathrm {i} )^{n}+(1-\mathrm {i} )^{n}$ est réel ;

$(1+\mathrm {i} )^{n}-(1-\mathrm {i} )^{n}$ est imaginaire pur.

2°  Calculez : ${\binom {n}{0}}-{\binom {n}{2}}+{\binom {n}{4}}-{\binom {n}{6}}+\cdots$ et ${\binom {n}{1}}-{\binom {n}{3}}+{\binom {n}{5}}-{\binom {n}{7}}+\cdots$.

Chaque somme est finie ; le dernier terme dépend de la parité de $n$.

Solution

1°  Soit $z:=1+\mathrm {i}$.

$(1+\mathrm {i} )^{n}+(1-\mathrm {i} )^{n}=z^{n}+{\bar {z}}^{n}=z^{n}+{\overline {z^{n}}}=2\operatorname {Re} \left(z^{n}\right)$ ;

$(1+\mathrm {i} )^{n}-(1-\mathrm {i} )^{n}=z^{n}-{\bar {z}}^{n}=z^{n}-{\overline {z^{n}}}=2\mathrm {i} \operatorname {Im} \left(z^{n}\right)$.

2°  Soient $a:={\binom {n}{0}}-{\binom {n}{2}}+{\binom {n}{4}}-{\binom {n}{6}}+\cdots$ et $b:={\binom {n}{1}}-{\binom {n}{3}}+{\binom {n}{5}}-{\binom {n}{7}}+\cdots$.

${\begin{aligned}a+\mathrm {i} b&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\mathrm {i} ^{k}=(1+\mathrm {i} )^{n}=\left({\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}\right)^{n}=2^{n/2}\operatorname {e} ^{n\mathrm {i} \pi /4}\\&={\begin{cases}(-4)^{m}&{\text{si }}n=4m\\(-4)^{m}(1+\mathrm {i} )&{\text{si }}n=4m+1\\(-4)^{m+1}(-\mathrm {i} )&{\text{si }}n=4m+2\\(-4)^{m+1}(1-\mathrm {i} )&{\text{si }}n=4m+3.\end{cases}}\end{aligned}}$