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Exercice : Sur les racines n-ièmesApproche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les racines n-ièmes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Déterminer les racines carrées de :
a)
8
−
6
i
{\displaystyle 8-6\mathrm {i} }
;
b)
1
+
i
3
{\displaystyle 1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}
;
c)
20
−
21
i
{\displaystyle 20-21\mathrm {i} }
;
d)
2
i
−
1
i
+
2
{\displaystyle {\frac {2\mathrm {i} -1}{\mathrm {i} +2}}}
.
Solution
a)
a
2
−
b
2
=
8
,
a
2
+
b
2
=
8
2
+
6
2
=
10
,
a
b
<
0
⟺
a
2
=
9
,
b
2
=
1
,
a
b
<
0
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=8,\;a^{2}+b^{2}={\sqrt {8^{2}+6^{2}}}=10,\;ab<0\Longleftrightarrow a^{2}=9,\;b^{2}=1,\;ab<0}
donc les racines sont
±
(
3
−
i
)
{\displaystyle \pm \left(3-\mathrm {i} \right)}
.
b)
z
2
=
1
+
i
3
=
2
e
i
π
/
3
⇔
z
=
±
2
e
i
π
/
6
=
±
3
+
i
2
{\displaystyle z^{2}=1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}=2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}\Leftrightarrow z=\pm {\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}=\pm {\frac {{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}}
.
c)
a
2
−
b
2
=
20
,
a
2
+
b
2
=
20
2
+
21
2
=
29
,
a
b
<
0
⟺
a
2
=
49
/
2
,
b
2
=
9
/
2
,
a
b
<
0
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=20,\;a^{2}+b^{2}={\sqrt {20^{2}+21^{2}}}=29,\;ab<0\Longleftrightarrow a^{2}=49/2,\;b^{2}=9/2,\;ab<0}
donc les racines sont
±
7
−
3
i
2
{\displaystyle \pm {\frac {7-3\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}}
.
d)
2
i
−
1
i
+
2
=
i
{\displaystyle {\frac {2\mathrm {i} -1}{\mathrm {i} +2}}=\mathrm {i} }
, dont les racines sont
±
e
i
π
/
4
=
±
1
+
i
2
{\displaystyle \pm \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}=\pm {\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}}
.
Déterminer les racines cubiques de
i
+
3
i
−
3
{\displaystyle {\frac {\mathrm {i} +{\sqrt {3}}}{\mathrm {i} -{\sqrt {3}}}}}
.
Déterminer les racines quatrièmes de :
a)
−
7
−
24
i
{\displaystyle -7-24\mathrm {i} }
;
b)
−
7
+
24
i
{\displaystyle -7+24\mathrm {i} }
;
c)
8
(
1
−
i
3
)
{\displaystyle 8\left(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)}
.
Solution
a)
a
2
−
b
2
=
−
7
,
a
2
+
b
2
=
7
2
+
24
2
=
25
,
a
b
<
0
⟺
a
2
=
9
,
b
2
=
16
,
a
b
<
0
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=-7,\;a^{2}+b^{2}={\sqrt {7^{2}+24^{2}}}=25,\;ab<0\Longleftrightarrow a^{2}=9,\;b^{2}=16,\;ab<0}
donc
−
7
−
24
i
=
(
3
−
4
i
)
2
{\displaystyle -7-24\mathrm {i} =\left(3-4\mathrm {i} \right)^{2}}
.
Puis,
a
2
−
b
2
=
3
,
a
2
+
b
2
=
3
2
+
4
2
=
5
,
a
b
<
0
⟺
a
2
=
4
,
b
2
=
1
,
a
b
<
0
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=3,\;a^{2}+b^{2}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5,\;ab<0\Longleftrightarrow a^{2}=4,\;b^{2}=1,\;ab<0}
donc
3
−
4
i
=
(
2
−
i
)
2
{\displaystyle 3-4\mathrm {i} =\left(2-\mathrm {i} \right)^{2}}
.
Les racines quatrièmes de
−
7
−
24
i
{\displaystyle -7-24\mathrm {i} }
sont donc
±
(
2
−
i
)
{\displaystyle \pm \left(2-\mathrm {i} \right)}
et
±
i
(
2
−
i
)
=
±
(
1
+
2
i
)
{\displaystyle \pm \mathrm {i} \left(2-\mathrm {i} \right)=\pm \left(1+2\mathrm {i} \right)}
.
b) Les racines quatrièmes de
−
7
+
24
i
{\displaystyle -7+24\mathrm {i} }
sont donc
±
(
2
+
i
)
{\displaystyle \pm \left(2+\mathrm {i} \right)}
et
±
(
1
−
2
i
)
{\displaystyle \pm \left(1-2\mathrm {i} \right)}
.
c)
8
(
1
−
i
3
)
=
16
e
−
i
π
/
3
{\displaystyle 8\left(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)=16\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /3}}
, dont les racines quatrièmes sont
±
2
e
−
i
π
/
12
{\displaystyle \pm 2\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /12}}
et
±
2
e
i
5
π
/
12
{\displaystyle \pm 2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /12}}
.
Déterminer les racines cinquièmes de
9
3
2
(
1
−
i
3
)
{\displaystyle {\frac {9{\sqrt {3}}}{2}}\left(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)}
.
Solution
9
3
2
(
1
−
i
3
)
=
9
3
e
−
i
π
/
3
{\displaystyle {\frac {9{\sqrt {3}}}{2}}\left(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)=9{\sqrt {3}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /3}}
, dont les racines cinquièmes sont
3
e
i
π
(
6
k
−
1
)
/
15
,
k
∈
{
0
,
±
1
,
±
2
}
{\displaystyle {\sqrt {3}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi (6k-1)/15},\quad k\in \{0,\pm 1,\pm 2\}}
.
Déterminer les racines huitièmes de
1
+
i
3
−
i
{\displaystyle {\frac {1+\mathrm {i} }{{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}}
.
Solution
1
+
i
3
−
i
=
2
e
i
π
/
4
2
e
−
i
π
/
6
=
e
i
5
π
/
12
2
{\displaystyle {\frac {1+\mathrm {i} }{{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}={\frac {{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}}{2\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /6}}}={\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /12}}{\sqrt {2}}}}
, dont les racines huitièmes sont
±
2
−
1
/
16
e
i
π
(
5
+
24
k
)
/
96
,
k
∈
{
0
,
±
1
,
2
}
{\displaystyle \pm 2^{-1/16}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi (5+24k)/96},\quad k\in \{0,\pm 1,2\}}
.
Soit
n
{\displaystyle n}
entier naturel fixé. Résoudre dans
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
:
z
3
=
i
{\displaystyle z^{3}=\mathrm {i} \qquad }
et
z
n
=
1
+
i
2
{\displaystyle \qquad z^{n}={\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}}
.
Montrer que ces deux équations n'ont pas de solution commune.
Solution
z
3
=
i
=
e
i
π
/
2
⇔
z
∈
{
e
i
π
/
6
,
e
i
5
π
/
6
,
e
i
3
π
/
2
}
{\displaystyle z^{3}=\mathrm {i} =\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}\Leftrightarrow z\in \{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /6},\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /6},\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 3\pi /2}\}}
.
z
n
=
1
+
i
2
=
e
i
π
/
4
⇔
z
=
e
i
π
(
1
+
8
k
)
/
(
4
n
)
,
k
∈
{
0
,
1
,
…
,
n
−
1
}
{\displaystyle z^{n}={\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}\Leftrightarrow z=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi (1+8k)/(4n)},\;k\in \{0,1,\dots ,n-1\}}
.
(
1
+
8
k
)
/
4
n
∉
{
1
/
6
,
5
/
6
,
9
/
6
}
{\displaystyle (1+8k)/4n\notin \{1/6,5/6,9/6\}}
car
3
(
1
+
8
k
)
∉
{
2
n
,
10
n
,
18
n
}
{\displaystyle 3(1+8k)\notin \{2n,10n,18n\}}
, par imparité.
Calculer
(
1
2
+
i
3
)
4
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{4}}
et en déduire les racines quatrièmes de
73
16
−
11
3
2
i
{\displaystyle {\frac {73}{16}}-{\frac {11{\sqrt {3}}}{2}}\mathrm {i} }
.