Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les racines n-ièmes

Exercice 5-1

Déterminer les racines carrées de :

a)  $8-6\mathrm {i}$ ;

b)  $1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ ;

c)  $20-21\mathrm {i}$ ;

d)  ${\frac {2\mathrm {i} -1}{\mathrm {i} +2}}$.

Solution

a)  $a^{2}-b^{2}=8,\;a^{2}+b^{2}={\sqrt {8^{2}+6^{2}}}=10,\;ab<0\Longleftrightarrow a^{2}=9,\;b^{2}=1,\;ab<0$ donc les racines sont $\pm \left(3-\mathrm {i} \right)$.

b)  $z^{2}=1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}=2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}\Leftrightarrow z=\pm {\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}=\pm {\frac {{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$.

c)  $a^{2}-b^{2}=20,\;a^{2}+b^{2}={\sqrt {20^{2}+21^{2}}}=29,\;ab<0\Longleftrightarrow a^{2}=49/2,\;b^{2}=9/2,\;ab<0$ donc les racines sont $\pm {\frac {7-3\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$.

d)  ${\frac {2\mathrm {i} -1}{\mathrm {i} +2}}=\mathrm {i}$, dont les racines sont $\pm \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}=\pm {\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$.

 

Exercice 5-2

Déterminer les racines cubiques de ${\frac {\mathrm {i} +{\sqrt {3}}}{\mathrm {i} -{\sqrt {3}}}}$.

Solution

${\frac {\mathrm {i} +{\sqrt {3}}}{\mathrm {i} -{\sqrt {3}}}}={\frac {2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}}{2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /6}}}=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi /3}$, dont les racines cubiques sont $\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi /9}$, $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 4\pi /9}$ et $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 10\pi /9}$.

 

Exercice 5-3

Déterminer les racines quatrièmes de :

a)  $-7-24\mathrm {i}$ ;

b)  $-7+24\mathrm {i}$ ;

c)  $8\left(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)$.

Solution

a)  $a^{2}-b^{2}=-7,\;a^{2}+b^{2}={\sqrt {7^{2}+24^{2}}}=25,\;ab<0\Longleftrightarrow a^{2}=9,\;b^{2}=16,\;ab<0$ donc $-7-24\mathrm {i} =\left(3-4\mathrm {i} \right)^{2}$.

Puis, $a^{2}-b^{2}=3,\;a^{2}+b^{2}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5,\;ab<0\Longleftrightarrow a^{2}=4,\;b^{2}=1,\;ab<0$ donc $3-4\mathrm {i} =\left(2-\mathrm {i} \right)^{2}$.

Les racines quatrièmes de $-7-24\mathrm {i}$ sont donc $\pm \left(2-\mathrm {i} \right)$ et $\pm \mathrm {i} \left(2-\mathrm {i} \right)=\pm \left(1+2\mathrm {i} \right)$.

b)   Les racines quatrièmes de $-7+24\mathrm {i}$ sont donc $\pm \left(2+\mathrm {i} \right)$ et $\pm \left(1-2\mathrm {i} \right)$.

c)  $8\left(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)=16\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /3}$, dont les racines quatrièmes sont $\pm 2\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /12}$ et $\pm 2\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /12}$.

 

Exercice 5-4

Déterminer les racines cinquièmes de ${\frac {9{\sqrt {3}}}{2}}\left(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)$.

Solution

${\frac {9{\sqrt {3}}}{2}}\left(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)=9{\sqrt {3}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /3}$, dont les racines cinquièmes sont ${\sqrt {3}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi (6k-1)/15},\quad k\in \{0,\pm 1,\pm 2\}$.

 

Exercice 5-5

Déterminer les racines huitièmes de ${\frac {1+\mathrm {i} }{{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}$.

Solution

${\frac {1+\mathrm {i} }{{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}={\frac {{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}}{2\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /6}}}={\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /12}}{\sqrt {2}}}$, dont les racines huitièmes sont $\pm 2^{-1/16}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi (5+24k)/96},\quad k\in \{0,\pm 1,2\}$.

 

Exercice 5-6

Soit $n$ entier naturel fixé. Résoudre dans $\mathbb {C}$ :

$z^{3}=\mathrm {i} \qquad$ et $\qquad z^{n}={\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$.

Montrer que ces deux équations n'ont pas de solution commune.

Solution

$z^{3}=\mathrm {i} =\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}\Leftrightarrow z\in \{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /6},\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 5\pi /6},\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 3\pi /2}\}$.

$z^{n}={\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}\Leftrightarrow z=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi (1+8k)/(4n)},\;k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$.

$(1+8k)/4n\notin \{1/6,5/6,9/6\}$ car $3(1+8k)\notin \{2n,10n,18n\}$, par imparité.

 

Exercice 5-7

Calculer $\left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{4}$ et en déduire les racines quatrièmes de ${\frac {73}{16}}-{\frac {11{\sqrt {3}}}{2}}\mathrm {i}$.

Solution

$\left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{2}=-{\frac {11}{4}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ donc $\left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)^{4}={\frac {73}{16}}-{\frac {11{\sqrt {3}}}{2}}\mathrm {i}$.

Les racines quatrièmes de ${\frac {73}{16}}-{\frac {11{\sqrt {3}}}{2}}\mathrm {i}$ sont donc $\pm \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)$ et $\pm \mathrm {i} \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)=\pm \left({\frac {\mathrm {i} }{2}}-{\sqrt {3}}\right)$.

 

Exercice 5-8

Soit $Z={4 \over -1+\mathrm {i} }$. Dire sans calcul combien l'équation $z^{3}=Z$ a de solutions dans $\mathbb {C}$.

Les calculer et montrer qu'une seule d'entre elles a une puissance quatrième réelle.

Solution

$Z$ a, comme tout complexe non nul, trois racines cubiques dans $\mathbb {C}$.

$Z=r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ avec $r=2{\sqrt {2}}$ et $\theta =-3\pi /4$ donc ses trois racines cubiques sont $z_{0}={\sqrt[{3}]{r}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta /3}={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}=1-\mathrm {i}$, $z_{1}={\sqrt[{3}]{r}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} (\theta +2\pi )/3}={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{5\mathrm {i} \pi /12}$, $z_{2}={\sqrt[{3}]{r}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} (\theta +4\pi )/3}={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{13\mathrm {i} \pi /12}$.

On a $z_{0}^{4}=-4\in \mathbb {R}$ mais $\arg(z_{1}^{4})=5\pi /6$ et $\arg(z_{2}^{4})=13\pi /6$ ne sont pas des multiples entiers de $\pi$, donc $z_{1}^{4},z_{2}^{4}\notin \mathbb {R}$.