Leçons de niveau 14

Algèbre linéaire et calcul matriciel/Espaces vectoriels (définitions et exemples)

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Espaces vectoriels (définitions et exemples)
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Chapitre no 1
Leçon : Algèbre linéaire et calcul matriciel
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Avant de commencer...[modifier | modifier le wikicode]

À ce niveau-ci, nous nous concentrerons sur les corps commutatifs (mais signalons que les espaces vectoriels en général peuvent aussi être définis sur des corps non commutatifs).

Espaces vectoriels[modifier | modifier le wikicode]

Les espaces vectoriels sont définis et décrits dans la leçon « Espace vectoriel » qui est un prérequis pour celle-ci. En particulier, les notions de famille libre, de famille génératrice et de base sont détaillées dans le chapitre « Familles de vecteurs » de cette leçon.

Pour rappel :

  • Une base d'un espace vectoriel E est une famille de vecteurs de E qui est à la fois génératrice de E et libre.
  • Une famille de vecteurs est dite libre si aucun de ces vecteurs n'est combinaison linéaire des autres.
  • Le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est l’ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs.
  • Une famille de vecteurs de E est génératrice de E quand le sous-espace vectoriel engendré est E tout entier.

On démontre si E est engendré par un nombre fini de vecteurs alors il admet une base finie et toutes ses bases ont le même nombre d'éléments ; ce nombre n est appelé la dimension de E.
De plus, les familles libres ont alors toutes au plus n éléments et les familles génératrices de E ont au moins n éléments. Enfin, toute famille de n vecteurs qui est génératrice de E ou libre est une base (donc a aussi l'autre propriété).

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple