Algèbre linéaire et calcul matriciel/Espaces vectoriels (définitions et exemples)
Avant de commencer...
[modifier | modifier le wikicode]À ce niveau-ci, nous nous concentrerons sur les corps commutatifs (mais signalons que les espaces vectoriels en général peuvent aussi être définis sur des corps non commutatifs).
Espaces vectoriels
[modifier | modifier le wikicode]Les espaces vectoriels sont définis et décrits dans la leçon « Espace vectoriel » qui est un prérequis pour celle-ci. En particulier, les notions de famille libre, de famille génératrice et de base sont détaillées dans le chapitre « Familles de vecteurs » de cette leçon.
Pour rappel :
- Une base d'un espace vectoriel E est une famille de vecteurs de E qui est à la fois génératrice de E et libre.
- Une famille de vecteurs est dite libre si aucun de ces vecteurs n'est combinaison linéaire des autres.
- Le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est l’ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs.
- Une famille de vecteurs de E est génératrice de E quand le sous-espace vectoriel engendré est E tout entier.
On démontre si E est engendré par un nombre fini de vecteurs, alors il admet une base finie et toutes ses bases ont le même nombre d'éléments ; ce nombre n est appelé la dimension de E.
De plus, les familles libres ont alors toutes au plus n éléments et les familles génératrices de E ont au moins n éléments. Enfin, toute famille de n vecteurs qui est génératrice de E ou libre est une base (donc a aussi l'autre propriété).
Exemples
[modifier | modifier le wikicode]En géométrie, l'espace euclidien à trois dimensions est canoniquement identifié à . Il est de dimension 3 et la base canonique est
Les fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2 (dont le graphe est, pour celles de degré 2, une parabole) forment un espace vectoriel sur les réels, de dimension 3, dont la base canonique est . En effet, toute fonction de la forme peut s'écrire comme combinaison linéaire de ces trois fonctions (coefficients respectifs : ).
Les suites de réels constituent un espace vectoriel de dimension card(R) et il n'y a pas de choix évident de base.