Algèbre linéaire et calcul matriciel/Espaces vectoriels (définitions et exemples)

**Espaces vectoriels (définitions et exemples)**
Leçon : Algèbre linéaire et calcul matriciel

Chapitre n^o 1
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Avant de commencer...[modifier | modifier le wikicode]

À ce niveau-ci, nous nous concentrerons sur les corps commutatifs (mais signalons que les espaces vectoriels en général peuvent aussi être définis sur des corps non commutatifs).

Espaces vectoriels[modifier | modifier le wikicode]

Les espaces vectoriels sont définis et décrits dans la leçon « Espace vectoriel » qui est un prérequis pour celle-ci. En particulier, les notions de famille libre, de famille génératrice et de base sont détaillées dans le chapitre « Familles de vecteurs » de cette leçon.

Pour rappel :

Une base d'un espace vectoriel E est une famille de vecteurs de E qui est à la fois génératrice de E et libre.
Une famille de vecteurs est dite libre si aucun de ces vecteurs n'est combinaison linéaire des autres.
Le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est l’ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs.
Une famille de vecteurs de E est génératrice de E quand le sous-espace vectoriel engendré est E tout entier.

On démontre si E est engendré par un nombre fini de vecteurs, alors il admet une base finie et toutes ses bases ont le même nombre d'éléments ; ce nombre n est appelé la dimension de E.
De plus, les familles libres ont alors toutes au plus n éléments et les familles génératrices de E ont au moins n éléments. Enfin, toute famille de n vecteurs qui est génératrice de E ou libre est une base (donc a aussi l'autre propriété).

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Géométrie : espaces euclidiens

En géométrie, l'espace euclidien à trois dimensions est canoniquement identifié à $\mathbb {R} ^{3}$ . Il est de dimension 3 et la base canonique est $\left({{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}\right)$

Analyse : fonction du second degré

Les fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2 (dont le graphe est, pour celles de degré 2, une parabole) forment un espace vectoriel sur les réels, de dimension 3, dont la base canonique est $(x\mapsto x^{2},x\mapsto x,x\mapsto 1)$ . En effet, toute fonction de la forme $x\mapsto ax^{2}+bx+c$ peut s'écrire comme combinaison linéaire de ces trois fonctions (coefficients respectifs : $a,b,c$ ).