Espace euclidien/Exercices/Matrices orthogonales
Exercice 3-1
Soit B une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un K-espace vectoriel de dimension n.
Soit , c.-à-d. une application linéaire telle que pour tout .
- Trouver une relation entre les matrices de φ et B dans une même base.
- Montrer que det φ = ±1.
- Soit le polynôme caractéristique de φ. Montrer que
- Indication. Soit A la matrice de φ. En utilisant 1., montrer que est semblable à .
- Soit K un corps contenant K tel que se décompose en facteurs linéaires sur (par exemple, si ou , on peut supposer que ).
Montrer que si est racine de , alors est aussi une racine de , de la même multiplicité.
Soient A la matrice de φ et M celle de B.
- On a pour toutes matrices colonnes U et V, donc .
- et (car B est non dégénérée) donc , c.-à-d. .
- D'après 1., , donc
,
la dernière égalité résultant de la question précédente. - Cette propriété est une conséquence immédiate de la précédente, d'après le fait général suivant :
si alors .
Exercice 3-2
- Montrer que l'endomorphisme de donné par la matrice est B-orthogonal pour .
- On note . Montrer que l'endomorphisme de donné par la matrice est B-orthogonal pour .
- Soit P un polynôme à coefficients réels qui vérifie la condition de la question 4 de l'exercice précédent. Monter qu'il existe une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B et un opérateur B-orthogonal dont le polynôme caractéristique est P à un facteur constant près.
- .
- .
- D'après l'hypothèse, et compte tenu du fait que si est racine de P alors est aussi une racine de P, de même multiplicité, P est produit de facteurs des quatres formes suivantes :
- avec ;
- avec et ;
- avec ;
- avec et .
En raisonnant par blocs, il suffit de prouver l'assertion dans le cas où P lui-même est de l'une de ces quatre formes. Pour les deux premières formes, l'assertion est immédiate, en prenant pour B le produit scalaire canonique. Pour les troisième et quatrième formes, il suffit d'utiliser les questions 1 et 2, respectivement.
Exercice 3-3
- Existe-t-il une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B sur telle que la matrice de Jordan soit B-orthogonale ?
- Même question (sur ) pour .
- Soient et . La matrice est égale à B si et seulement si , mais B est alors dégénérée.
- Soient maintenant et . La matrice est égale à B si et seulement si , et , c.-à-d. , et B est alors non dégénérée si et seulement si .
Exercice 3-4
On rappelle (cf. Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables#Exercice 6) que pour tout endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie, il existe un sous-espace stable de dimension 1 ou 2.
Soient E un espace euclidien et .
- Montrer que toutes les valeurs propres de φ sont de module 1 (en particulier ses seules éventuelles valeurs propres réelles sont 1 et –1).
- Montrer que pour tout sous-espace F stable par φ, le sous-espace F⊥ est aussi stable par φ.
- Montrer qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de φ est de la forme
- , avec .
- Montrer que cette matrice est diagonalisable sur .
- Soit un vecteur tel que . Alors, donc .
- Si F est stable par φ alors F⊥ est évidemment stable par φ* (ceci vaut pour n'importe quel endomorphisme φ), c'est-à-dire ici par φ–1. Puisque φ–1 préserve la dimension, l'inclusion est en fait une égalité, donc .
- On raisonne par récurrence sur n = dim E. Si n = 0, il n'y a rien à démontrer. Supposons donc n > 0 et que l'assertion est vraie pour tout espace euclidien de dimension < n. Si φ a une valeur propre (nécessairement égale à ±1 d'après la question 1), on choisit une droite propre associée F, et l'on conclut grâce à la question 2 et à l'hypothèse de récurrence appliquée à F⊥. Si φ n'a pas de valeur propre alors, d'après le rappel, il existe dans E un plan F φ-invariant. La restriction de φ à F est un automorphisme orthogonal du plan sans valeur propre ; c'est donc une rotation, et l'on conclut comme précédemment.
- Si , les deux valeurs propres de sont distinctes. Si , .
Exercice 3-5
À l'aide de l'exercice précédent, démontrer que tout endomorphisme orthogonal d'un espace euclidien est à la fois :
- composé de réflexions (c.-à-d. symétries orthogonales par rapport à des hyperplans) ;
- composé de deux symétries orthogonales.
Il suffit de remarquer que le plan, toute rotation R est composée de deux réflexions. En effet, les réflexions du plan sont les isométries négatives, or pour toute isométrie négative S, S–1∗R est une isométrie négative T et R = S∗T.
Exercice 3-6
Soient E un plan euclidien et φ une similitude de E dont la matrice dans une certaine base (u, v) est de la forme avec . Montrer que u et v sont orthogonaux et de même norme.
Remarquons d'abord que la similitude φ est directe (car det(A) > 0). Sa matrice dans une base orthonormée quelconque (i, j) est donc égale soit à A, soit à AT.
Soit la matrice de (u, v) dans (i, j).
Si A = P–1AP, on trouve (par le calcul) que q = –r et s = p, d'où la conclusion annoncée.
Si A = P–1ATP alors q = r et s = –p, d'où la même conclusion.
Exercice 3-7
Déterminer la nature d'un endomorphisme orthogonal φ de ainsi que l'angle de rotation, en fonction du déterminant et de la trace de φ.
D'après l'exercice 3-4, tout endomorphisme orthogonal φ de a pour matrice, dans une certaine base orthonormée, avec . On a det φ = et tr φ = . Donc si det φ = 1, φ est une rotation et si det φ = –1, φ est une rotation suivie (ou précédée) de la réflexion par rapport au plan orthogonal à l'axe de cette rotation. Dans les deux cas, l'angle de rotation a pour cosinus .
Exercice 3-8
Pour chacune des trois matrices orthogonales suivantes, trouver une base orthonormée dans laquelle la matrice prend la forme canonique de l’exercice 3-4 :
- .
- Le vecteur unitaire vérifie et n'est pas valeur propre. On complète en choisissant un couple orthonormé dans le plan stable , par exemple et .
donc la matrice de l'endomorphisme orthogonal dans la nouvelle base est . - Le vecteur unitaire vérifie et n'est pas valeur propre. On complète en choisissant un couple orthonormé dans le plan stable , par exemple et .
donc à nouveau, la matrice de l'endomorphisme orthogonal dans la nouvelle base est . - Le vecteur unitaire vérifie et l'hyperplan est propre pour donc la matrice de l'endomorphisme orthogonal dans la nouvelle base sera , quel que soit le choix d'un triplet orthonormé dans .
Par exemple , et .