En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Groupes symétriques finis
Théorie des groupes/Exercices/Groupes symétriques finis », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Problème 1
a) Soient
un ensemble et
une partie de
(On ne suppose pas que
ou
soit fini.) Prouver que le groupe
est isomorphe à un sous-groupe de
b) Soient
des nombres naturels tels que
Prouver que
est isomorphe à un sous-groupe de
Solution
Appliquer le point a) aux ensembles
et
c) Soient
des nombres naturels. Prouver que
contient un sous-groupe isomorphe au produit direct
.
Solution
Désignons par
le sous-groupe de
formé par les permutations fixant chaque élément de
; désignons par
le sous-groupe de
formé par les permutations fixant chaque élément de
. Comme dans la solution de la question a), on prouve que
- (1)
est isomorphe à
et
à
.
D'autre part, une permutation appartenant à
fixe chaque élément de
, donc
- (2)
et
se coupent trivialement.
Enfin, le support d'une permutation appartenant à
est forcément contenu dans
et le support d'une permutation appartenant à
est forcément contenu dans
, donc une permutation appartenant à
et une permutation appartenant à
ont toujours des supports disjoints, donc
- (3)
toute permutation appartenant à
commute avec toute permutation appartenant à
.
Nos résultats (1) à (3) montrent que le sous-groupe de
engendré par
et
est isomorphe au produit direct
, d'où l'énoncé.
Problème 2
Soit E un ensemble d'au moins trois éléments. Prouver que le centre du groupe
est réduit à l'élément neutre.
Solution
Soit
une permutation de E appartenant au centre de
. Il s'agit de prouver que
est la permutation identique. Soit a un élément de E. Il s'agit de prouver que
fixe a. Puisque E est supposé comprendre au moins trois éléments, nous pouvons choisir dans E deux éléments distincts de a, soient b et c. Puisque
appartient au centre de
,
commute avec les transpositions (a b) et (a c), donc
(a b)
= (a b)
et
(b c)
= (b c).
Compte tenu de l'effet d'une conjugaison sur un cycle (voir théorie), cela peut s'écrire
- (
(a)
(b) ) = (a b)
et
- (
(a)
(c) ) = (a c).
En passant aux supports, on en tire
- {
(a),
(b)} = {a, b}
et
- {
(a),
(c)} = {a, c}.
On a donc
{
(a),
(b)} ⋂ {
(a),
(c)} = {a, b} ⋂ {a, c}, d'où
(a) = a. Comme on l'a vu, cela prouve l'énoncé.
Problème 3
Soit n un nombre naturel. Pour toute permutation
de
, désignons par
l’ensemble des inversions de
et par
la permutation
de l’ensemble des paires d'éléments de
.
Soient
et
deux permutations de
.
Prouver la relation
.
(Il en résulte évidemment que le nombre d'inversions de
est congru modulo 2 à la somme des nombres d'inversions de
et de
, fait utilisé dans la théorie.)
Solution
Comme noté dans la théorie, une paire {i, j} est une inversion de
si et seulement une des deux conditions suivantes est satisfaite :
- 1°
est une inversion de
et
n’est pas une inversion de
;
- 2°
n’est pas une inversion de
et
est une inversion de
.
L'ensemble des inversions de
est donc la différence symétrique de
et de
.
(Rappelons que la différence symétrique
de deux ensembles A et B est par définition l’ensemble
et que si A et B sont finis,
).
Donc
.
Puisque
est une permutation de l’ensemble des paires,
est équipotent à
, d'où la thèse.
Problème 4
Soit X un ensemble fini, soit
un cycle dans
, soient
et
des permutations de X à supports mutuellement disjoints telles que
![{\displaystyle \gamma =\lambda \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac597a1a729d418797fc07fc82a8608cc180d853)
Prouver qu'une des deux permutations
,
est égale à
et l'autre à la permutation identique de X. (C'est une sorte d' « irréductibilité » des cycles.)
Solution
Soient
![{\displaystyle \lambda =\lambda _{1}\cdots \lambda _{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf11067ef4a01f407acac49364c74ef65f4e1a6f)
et
![{\displaystyle \mu =\mu _{1}\cdots \mu _{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8218be94763398a78f0cf89eb3f1516286d28495)
les décompositions canoniques de
et de
en cycles.
Donc les supports des
sont deux à deux disjoints et les supports des
le sont aussi. D'autre part, puisque les supports de
et de
sont disjoints, le support de chaque
est disjoint du support de chaque
. Donc
- (1)
les supports des cycles
sont deux à deux disjoints.
L'hypothèse
peut s'écrire
,
donc, d'après (1),
- l'écriture
est la décomposition canonique de
en cycles.
Mais, puisque
est un cycle, il est à lui seul sa propre décomposition canonique, donc
, donc
- ou bien (r=1 et s=0) ou bien (r=0 et s=1).
Dans le premier cas,
est la permutation identique et
; dans le second cas,
est la permutation identique et
, ce qui démontre l'énoncé.
Problème 5
Soient X un ensemble et Y une partie de X, soient
et
des permutations de X coïncidant en tout point de Y. Prouver que
,
où
est une permutation de X à support disjoint de Y.
Problème 6 (Centralisateur d'un cycle)
a) Soient X un ensemble et
un cycle dans
. Prouver que le centralisateur de
dans
est formé par les éléments de
de la forme
, où
parcourt les puissances de
et où
parcourt les permutations de X dont le support est disjoint de celui de
Solution
Soient
un
-cycle de
et
un élément de
commutant avec
.
Puisque
commute avec
, nous avons
![{\displaystyle \qquad \lambda \gamma \lambda ^{-1}=\gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc6401cfaf534a30922942f8ae4adef1e2ca54c)
Compte tenu de l'effet d'une conjugaison sur un cycle, cela peut s'écrire
- (1)
![{\displaystyle \qquad (\lambda (a_{1})\ldots \lambda (a_{n}))=(a_{1}\ldots a_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4cba031319cb4c6ca0d78ba774b815b26e95b3)
- (2)
Les deux
-uplets
et
sont donc égaux « à une rotation près ».
En particulier, il existe un
dans
tel que
![{\displaystyle \qquad \lambda (a_{1})=a_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2364e5b385c565b97ddcfb73164e1d341b852c7a)
![{\displaystyle \qquad \lambda (a_{1})=\gamma ^{i-1}(a_{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f70f066f5fd172b2f67cfc9636272e85875de33)
Compte tenu de (2), nous avons alors
,
![{\displaystyle \qquad \lambda (a_{2})=\gamma ^{i-1}(a_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980be603d1ebdb29dfde0d364054cce1d4bb9c03)
et, de proche en proche,
![{\displaystyle \qquad \lambda (a_{j})=\gamma ^{i-1}(a_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d2a75938991ca63c92701ad927bb8e2910c316)
pour tout
dans ![{\displaystyle \{1,\ldots n\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4daf4195540d78c3dc094318d185288b56efa0)
Donc les permutations
et
coïncident en tout élément du support de
. D'après un problème précédent, on a donc
,
où
est une permutation de X dont le support est disjoint de celui de
.
Nous avons ainsi prouvé que tout élément du centralisateur de
dans
est de la forme
, où
est une puissances de
et où
est une permutations de X dont le support est disjoint de celui de
Réciproquement, toute permutation ayant cette forme
est le produit de deux permutations commutant avec
et commute donc avec
, ce qui achève de prouver l'énoncé.
b) (Centralisateur d'un long cycle.)
Soit
un nombre naturel > 1, soit X un ensemble de cardinal
ou
, soit
un
-cycle dans
Prouver que le centralisateur de
dans
est le sous-groupe
de
engendré par ![{\displaystyle \gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f423d4c0d1a3f651562797e2198c75a3f65e09fe)
Remarque. La dénomination « Centralisateur d'un long cycle » qu'on donne ici à l'énoncé du point b) n'est pas standard.
Problème 7
Soit X un ensemble fini, soient
et
des cycles dans
, commutant l'un avec l'autre. Prouver qu'alors ou bien les supports de
et de
sont disjoints ou bien
et
sont puissances l'un de l'autre.
Solution
Supposons que
- (hyp. 1)
les supports de
et de
ne sont pas disjoints.
Il s'agit alors de prouver que
- (thèse 2)
et
sont puissances l'un de l'autre.
Puisque
appartient au centralisateur de
dans
, nous avons, d'après un précédent problème,
- (3)
,
où
est un nombre naturel et
une permutation de X dont le support est disjoint de celui de
Puisque
est un cycle, la relation (3) entraîne, d'après un précédent problème, que
- (4)
est égal à
ou à
.
Mais, puisque le support de
est disjoint de celui de
et que, d'après l'hypothèse (1), le support de
n'est pas disjoint de celui de
, nous avons
, donc, d'après (4),
,
donc
est une puissance de ![{\displaystyle \gamma _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc43450526f36601407890110d88b76d20af155d)
Puisque les hypothèses de l'énoncé et l'hypothèse (1) sont symétriques en
et en
,
est de même une puissance de
, d'où la thèse (2) et donc l'énoncé.
Problème 8 (Inverseurs d'un long cycle)
Soit
un nombre naturel impair > 1, soit X un ensemble de cardinal
ou
, soit
un
-cycle dans
, soit
un élément de
tel que
.
Prouver que
est le produit de
transpositions à supports disjoints (et est donc une involution).
(Indication : on peut utiliser le problème « Centralisateur d'un cycle ».)
Solution
Soit ![{\displaystyle \gamma =(x_{1}\ x_{2}\ldots \ x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b65015331e6918cf2208b23bfeade38409ba0d2)
Supposons d'abord
![{\displaystyle \qquad \vert X\vert =n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990f18222c16ebcd6217365b39c7acaab7c1c0c5)
Donc
![{\displaystyle \qquad X=\{x_{1},\ldots x_{n}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a072619b7409f959b96f744628d08de02fc32e)
Convenons de définir un inverseur de
comme une permutation
de X telle que
,
ce qui peut s'exprimer par l'égalité entre cycles
![{\displaystyle \qquad (\lambda (x_{1})\ldots \lambda (x_{n}))=(x_{1}\ldots x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dda744f61753ce90d653d2fbd2b0cab0e37df20)
D'après cela, il est clair que la permutation de X
![{\displaystyle \qquad \lambda _{0}=(x_{1}\ x_{n})(x_{2}\ x_{n-1})\cdots (x_{(n-1)/2}\ x_{(n+3)/2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85c784c8691b3bedeb8a040a9706f44b5b92fda)
est un inverseur de
; son unique point fixe est ![{\displaystyle x_{(n+1)/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47fd0ac610074d38837dae0d755a3f36958116a)
Notons maintenant que
peut aussi s'écrire
![{\displaystyle \qquad (x_{2}\ x_{3}\ldots x_{n}\ x_{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5a98c72518f6f4d9358eb44013264887b3e90d)
Plus généralement, pour tout
dans
, nous avons
,
où, pour tout
dans
,
,
désignant, pour tout
dans
, l'unique élément de
qui est congru à
modulo
Comme plus haut, il en résulte que la permutation de X
![{\displaystyle \qquad \lambda _{j}=(y_{j,1}\ y_{j,n})(y_{j,2}\ y_{j,n-1})\cdots (y_{j,(n-1)/2}\ y_{j,(n+3)/2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa041cd1b89252a3942f3c97e6ba9c75d4ecf903)
est un inverseur de
; son unique point fixe est ![{\displaystyle y_{j,(n+1)/2}=x_{\overline {j+(n+1)/2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd22b8755bdc6a05ecf676dfd59517bfe108f89)
Si
et
sont des éléments de
tels que
,
alors
,
,
donc, puisqu'on suppose que
et
appartiennent tous deux à
,
![{\displaystyle j=j'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81e38684baa2dd9f0c25ba42a26732c9999c44c1)
Cela montre que, pour
et
distincts dans
,
et
n'ont pas le même point fixe, donc
sont
différents inverseurs de ![{\displaystyle \gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f423d4c0d1a3f651562797e2198c75a3f65e09fe)
Nous avons ainsi trouvé
différents inverseurs de
dont chacun est le produit de (n-1)/2 transpositions à supports deux à deux disjoints.
Prouvons que, d'autre part, les inverseurs de
forment une classe à gauche modulo le sous-groupe
de
engendré par
(Cette classe à gauche est aussi une classe à droite, car elle est symétrique : si
est un inverseur de
,
en est un lui aussi.)
Nous avons trouvé des inverseurs de
, donc nous pouvons en choisir un, par exemple ![{\displaystyle \lambda _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6192d73de9908e38f8e03fd6fb715255d49db914)
Une permutation
de X est un inverseur de
si et seulement si
,
ce qui équivaut à
,
et ceci revient à dire que
- (1)
centralise ![{\displaystyle \gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f423d4c0d1a3f651562797e2198c75a3f65e09fe)
D'après le problème « Centralisateur d'un long cycle », le centralisateur de
est le sous-groupe
de
engendré par
, donc (1) montre qu'une permutation
de X est un inverseur de
si et seulement si
appartient à
, autrement dit si
appartient à
Cela prouve que, comme annoncé, les inverseurs de
forment une classe à gauche modulo ![{\displaystyle \langle \gamma \rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c1e25e1c52c94995f4fb18760fcdd699457546)
Puisque
est d'ordre
, les inverseurs de
sont donc en nombre
, donc ce sont les inverseurs
que nous avons déjà trouvés. Chacun de ces inverseurs est le produit de
transpositions à supports deux à deux disjoints, ce qui démontre l'énoncé dans le cas où ![{\displaystyle \vert X\vert =n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476197b74086b6f2fe5d3c88282dfc238684e50f)
On peut déduire le cas
du cas
en considérant les birestrictions de
et de
au support de
(On aurait d'ailleurs pu rédiger la démonstration en une seule fois, en parlant de l'unique point fixe de
dans le support de
plutôt que de l'unique point fixe de
)
Remarques. 1° L'énoncé montre que si
est impair, la signature des inverseurs de
est déterminée par
: les inverseurs de
sont des permutations paires si
et des permutations impaires si
Il n'en est pas de même si
est pair. Par exemple, le cycle
est inversé par conjugaison par
, qui est une permutation impaire, mais aussi par
, qui est une permutation paire. Le fait que, pour
impair, la signature des inverseurs de
est déterminée par
nous servira dans un exercice de la série « Premiers résultats sur les groupes simples » : si
est un nombre premier tel qu'il existe un groupe simple d'ordre
, alors ![{\displaystyle p\equiv 5{\pmod {24}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d732a08c8b6593e5e1923ffb90aa0bd0ff3699fe)
2° La dénomination « Inverseurs d'un long cycle » qu'on donne ici à l'énoncé du présent problème n'est pas standard.
Problème 9
Soit
un nombre naturel impair > 1, soit X un ensemble de cardinal
ou
, soient
et
deux n-cycles à supports disjoints dans
, soit
un élément d'ordre 2 (involution) de
qui commute avec
Prouver que
est le produit de
transpositions à supports deux à deux disjoints.
Indication. On peut utiliser le problème « Centralisateur d'un long cycle » ci-dessus.
Solution
On ne va pas utiliser tout de suite les hypothèses selon lesquelles
est impair et
d'ordre 2.
Puisque
commute avec
, nous avons
![{\displaystyle \sigma \ (x_{1}\ldots x_{n})\ (y_{1}\ldots y_{n})\ \sigma {}^{-1}=(x_{1}\ldots x_{n})\ (y_{1}\ldots y_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5ddb2770435b90874206ed26a850fd1d27ff2d)
Vu l'effet d'une conjugaison sur la décomposition canonique en cycles, cela peut s'écrire
- (1)
![{\displaystyle \qquad (\sigma (x_{1})\ldots \sigma (x_{n}))\ (\sigma (y_{1})\ldots \sigma (y_{n}))=(x_{1}\ldots x_{n})\ (y_{1}\ldots y_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047d93918abbb0a3da5564458756894e412885d4)
Vu l'unicité de la décomposition canonique en cycles, une des deux conditions suivantes est donc satisfaite :
- (i)
et
;
- (ii)
et ![{\displaystyle (\sigma (y_{1})\ldots \sigma (y_{n}))=(x_{1}\ldots x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c6ed0ed516028957dd8e399f6875b101e0d3d4)
Notons A l'ensemble
et B l'ensemble
Puisque le support de
est A,
admet une birestriction
à A. Cette birestriction est le cycle
De même,
admet une birestriction
à B et cette birestriction est le cycle ![{\displaystyle (y_{1}\ldots y_{n})\in S_{B}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ff76d6b0d14a140862c32486c72d1449778a93)
Supposons d'abord que la condition (i) soit satisfaite.
Alors nous avons (passage aux supports)
, donc
admet une birestriction
à A. De même,
admet une birestriction
à B.
La première des deux égalités (i), à savoir
, montre que
commute avec le cycle
D'après le problème « Centralisateur d'un long cycle », nous avons donc
![{\displaystyle \sigma \vert A=(\gamma \vert A)^{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846f8aa0d49ee77d820d3ce1d9a9d69fee9b6605)
pour un certain nombre naturel
De même,
![{\displaystyle \sigma \vert B=(\delta \vert B)^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53564c18e1d26a6cd6bced991e3aee575d91e59b)
pour un certain nombre naturel
Alors
coïncide avec
en tout point de A et en tout point de B. De plus, en passant aux supports dans (1), nous voyons que
transforme
en lui-même, donc si
,
fixe l'unique élément de
Dès lors (que
soit égal à
ou à
),
coïncide avec
en tout élément de X, donc
- (2)
![{\displaystyle \qquad \sigma =\gamma ^{r}\delta ^{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cccf2850bb6eb48d2d3ef1363862e6da0ae8dbc)
Puisque les supports de
et de
sont disjoints,
et
commutent, donc, d'après (2),
- (3)
l'ordre de
divise ![{\displaystyle n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
Jusqu'ici, nous n'avons pas utilisé les hypothèses selon lesquelles
est impair et
d'ordre 2. Dans ces hypothèses, (3) est impossible, donc la condition (i) est impossible, donc c'est la condition (ii) qui est satisfaite, à savoir
et ![{\displaystyle (\sigma (y_{1})\ldots \sigma (y_{n}))=(x_{1}\ldots x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c6ed0ed516028957dd8e399f6875b101e0d3d4)
En passant aux supports, nous trouvons
et ![{\displaystyle \{\sigma (y_{1}),\ldots ,\sigma (y_{n})\}=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14e8e817275175ed6210ebab3c58285c630f902)
La première de ces deux égalités montre que, pour tout
dans
, il existe un et un seul
dans
tel que
![{\displaystyle \sigma (x_{i})=y_{i'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd74d40bbbca159b7beee50c75dbecbea3a82848)
Puisque
est supposée d'ordre 2, on a alors
,
donc
![{\displaystyle \sigma =(x_{1}y_{1'})(x_{2}y_{2'})\cdots (x_{n}y_{n'}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52bb731ef8fef70425d6964bef7d38f704c0a71)
Ainsi,
est le produit de
transpositions à supports deux à deux disjoints, ce qui démontre l'énoncé.
Remarques. 1° Faisons toutes les hypothèses de l'énoncé sauf celle selon laquelle
est d'ordre 2. Si
et
, il n'en résulte pas forcément que
soit d'ordre 2. Prendre par exemple
et ![{\displaystyle \sigma =(x_{1}\ y_{1}\ x_{2}\ y_{2}\ x_{3}\ y_{3}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ffe57b5472f1541e5e81d14f53a7e340a62fa40)
2° Le présent problème nous servira dans un exercice de la série Premiers résultats sur les groupes simples.