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Introduction aux suites numériques : Suites géométriques Introduction aux suites numériques/Suites géométriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition par récurrence
Définition
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Une suite est géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.
Une suite géométrique est donc définie par :
la donnée de son premier terme
u
0
{\displaystyle u_{0}}
une relation de récurrence de la forme :
u
n
+
1
=
q
×
u
n
{\displaystyle u_{n+1}=q\times u_{n}}
.
Le facteur q qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
.
Être ou ne pas être une suite géométrique
Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont géométriques ? Dans ce cas, donner leur raison.
u
0
=
1
,
u
1
=
2
,
u
2
=
4
,
u
3
=
8
,
u
4
=
16
,
u
5
=
32
,
u
6
=
64
,
.
.
.
{\displaystyle u_{0}=1,u_{1}=2,u_{2}=4,u_{3}=8,u_{4}=16,u_{5}=32,u_{6}=64,...}
3, 9, 27, 81, ...
1, -5, 25, -125, 625, ...
10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; ...
2, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...
Solution
La première suite est de raison 2
La deuxième suite est de raison 3
La troisième suite est de raison -5
La quatrième suite est de raison 0.5
La dernière n’est pas une suite géométrique
Terme général d'une suite géométrique
Pour arriver à
u
n
{\displaystyle u_{n}}
, il faut multiplier n fois par la raison q le premier terme
u
0
{\displaystyle u_{0}}
Début d’un théorème
Théorème
Le terme général d'une suite géométrique
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
est donné par la formule :
u
n
=
q
n
×
u
0
{\displaystyle u_{n}=q^{n}\times u_{0}}
Fin du théorème
Utilisation du terme général
Soit
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
une suite géométrique telle que
u
0
=
3
{\displaystyle u_{0}=3}
et q = 1,5 . Calculer
u
11
{\displaystyle u_{11}}
Soit
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
une suite géométrique telle que
u
0
=
0
,
5
{\displaystyle u_{0}=0,5}
et q = -2 . Calculer
u
25
{\displaystyle u_{25}}
Soit
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
une suite géométrique telle que
u
1
=
8
{\displaystyle u_{1}=8}
et q = 0,25 . Calculer
u
10
{\displaystyle u_{10}}
Soit
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
une suite géométrique telle que
u
15
=
3
20
{\displaystyle u_{15}=3^{20}}
et q = 3 . Calculer
u
0
{\displaystyle u_{0}}
Soit
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
une suite géométrique telle que
u
11
=
25
{\displaystyle u_{11}=25}
et
u
14
=
200
{\displaystyle u_{14}=200}
. Calculer
u
0
{\displaystyle u_{0}}
et q .
Solution
u
n
=
u
0
×
q
n
{\displaystyle u_{n}=u_{0}\times q^{n}}
donc
u
11
=
3
×
(
1
,
5
)
1
1
≈
259
,
5
{\displaystyle u_{11}=3\times (1,5)^{1}1\approx 259,5}
u
25
=
−
16777216
{\displaystyle u_{25}=-16777216}
u
n
=
u
0
×
q
n
=
u
1
×
q
n
−
1
{\displaystyle u_{n}=u_{0}\times q^{n}=u_{1}\times q^{n-1}}
donc
u
10
=
8
×
(
0
,
25
)
9
=
3
,
0518
×
10
−
5
{\displaystyle u_{10}=8\times (0,25)^{9}=3,0518\times 10^{-5}}
u
0
=
u
n
q
n
{\displaystyle u_{0}={\frac {u_{n}}{q^{n}}}}
donc
u
0
=
3
20
3
15
=
3
5
=
243
{\displaystyle u_{0}={\frac {3^{20}}{3^{15}}}=3^{5}=243}
On a
u
11
=
u
0
×
q
11
{\displaystyle u_{11}=u_{0}\times q^{11}}
et
u
14
=
u
0
×
q
14
{\displaystyle u_{14}=u_{0}\times q^{14}}
, donc
u
14
u
11
=
q
3
=
8
{\displaystyle {\frac {u_{14}}{u_{11}}}=q^{3}=8}
, soit
q
=
2
{\displaystyle q=2}
. On en déduit :
u
0
=
u
11
2
11
=
25
2048
{\displaystyle u_{0}={\frac {u_{11}}{2^{11}}}={\frac {25}{2048}}}
Sens de variation
Début d’un théorème
Fin du théorème
Somme des termes d'une suite géométrique
Début d’un théorème
Fin du théorème
Calculs de sommes
En utilisant la formule,
1. Soit
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
une suite géométrique telle que
u
0
=
3
{\displaystyle u_{0}=3}
et q = 2 . Calculer
S
=
u
0
+
u
1
+
⋯
+
u
20
{\displaystyle S=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{20}}
2. Calculer
S
=
1
+
3
+
9
+
27
+
81
+
⋯
+
59049
{\displaystyle S=1+3+9+27+81+\cdots +59049}
Solution
1.
S
=
3
×
1
−
2
20
+
1
1
−
2
=
6291453
{\displaystyle S=3\times {\frac {1-2^{20+1}}{1-2}}=6291453}
2. On remarque que le quotient est 3, que
u
0
=
1
{\displaystyle u_{0}=1}
et que
u
10
=
59049
{\displaystyle u_{10}=59049}
.
Ainsi,
S
=
1
×
1
−
3
10
+
1
1
−
3
=
88573
{\displaystyle S=1\times {\frac {1-3^{10+1}}{1-3}}=88573}
Remarque
Les suites géométriques sont utilisées dans de nombreux domaines. Voir en particulier la leçon « Mathématiques financières ».