En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Sur l’inégalité de Jensen
Fonctions convexes/Exercices/Sur l’inégalité de Jensen », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 1-1
Soient
et
. Démontrer que
.
Exercice 1-2
Soit a1, a2,…, an, une famille de nombres strictement positifs.
Montrer que l’on a :
Solution
Considérons la fonction f définie par :
On a alors :
Par conséquent f est convexe.
En appliquant le corollaire, on obtient :
Posons :
on obtient :
Exercice 1-3
Soit a, b, c trois nombres réels strictement positifs. Montrer la relation suivante :
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Exercice 1-4
Soient
une fonction convexe et
une fonction continue par morceaux. En considérant des sommes de Riemann, redémontrer directement dans ce cas la version intégrale de l'inégalité de Jensen :
![{\displaystyle f\left(\int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x\right)\leq \int _{0}^{1}f\circ g(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c05a42a17d100a1e0cab6d9afe867ef2ebb1f9)
à partir de la version discrète.
Solution
est continue (d'après la propriété 6) donc
est, comme
, continue par morceaux donc :
et
.
En utilisant l’inégalité de Jensen discrète, on obtient :
.
En faisant tendre
vers l’infini, on en déduit :
.
Exercice 1-5
Soit
un espace mesuré. On considère les « normes »
associées.
- À l'aide de l'inégalité de Young, démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder : si
et
alors, pour toutes fonctions mesurables
et
,![{\displaystyle \|fg\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9c10254a2f67b7ddcc9d96085f1b01fa7b36d1)
.
- Pour quel espace mesuré la forme discrète vue en cours est-elle un cas particulier de la forme intégrale ci-dessus ?
- Montrer que le résultat suivant en est un second cas particulier : si
est finie, de masse totale
, alors, pour toute fonction mesurable
,![{\displaystyle 0<r\leq q\leq +\infty \Rightarrow \|g\|_{r}\leq M^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{q}}}\|g\|_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4705984281ad69b9f0151a51353b44e4233e72c9)
.
- Montrer que réciproquement, ce second cas particulier peut servir de lemme pour démontrer la forme intégrale de l'inégalité de Hölder.
- Redémontrer ce lemme à partir de la version intégrale de l'inégalité de Jensen.
Solution
Référence : Intégration et Probabilités (M43050) 2010–2011, cours 15 par Bernard Maurey, université Paris VII - Diderot.
- Le résultat étant immédiat si
,
,
ou
est infini ou si
est nulle p.p., supposons que
et
sont finis et que
et
sont finis et non nuls et même, sans perte de généralité, égaux à
(par homogénéité).
En appliquant l'inégalité de Young![{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p'}}{p'}}+{\frac {b^{q'}}{q'}}\quad \mathrm {\grave {a}} \quad a=|f|^{r},~b=|g|^{r},~p'={\tfrac {p}{r}},~q'={\tfrac {q}{r}}\quad ({\tfrac {1}{p'}}+{\tfrac {1}{q'}}=1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16987c6ad58f9ccc7ddf6ccf0ec2b24ad1855c7f)
on obtient, pour tout
,![{\displaystyle |f(x)g(x)|^{r}\leq {\tfrac {1}{p'}}|f(x)|^{p}+{\tfrac {1}{q'}}|g(x)|^{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c77d9008c3d2ca5115a492869e4de3b6ba3e0b7)
(avec égalité si et seulement si
) et, après intégration,![{\displaystyle {\|fg\|_{r}}^{r}\leq {\tfrac {1}{p'}}{\|f\|_{p}}^{p}+{\tfrac {1}{q'}}{\|g\|_{q}}^{q}={\tfrac {1}{p'}}+{\tfrac {1}{q'}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cdac40206566a7b6846fd4cc3a3d4cb3d267f3)
On a donc bien![{\displaystyle \|fg\|_{r}\leq 1=\|f\|_{p}\|g\|_{q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7844c43d8e10ac663c7334c5b45273f35b28f5c8)
avec égalité si et seulement si
p.p.
muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage.
- Prendre
.
- Supposons, comme dans la question 1, que
et
sont finis et que
.
En appliquant le lemme à la mesure de probabilité à densité
sur l'ensemble
et à la fonction
, on obtient![{\displaystyle \|fg\|_{\mathrm {L} ^{r}(\mu )}=\|G\|_{\mathrm {L} ^{r}(\nu )}\leq \|G\|_{\mathrm {L} ^{q}(\nu )}\leq \|g\|_{\mathrm {L} ^{q}(\mu )}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51af2d5f91523fb40b1c80d40a8d6229aaa42f8e)
.
On peut de plus remarquer que l'égalité a lieu si et seulement s'il existe une constante
telle que, μ-p.p.,![{\displaystyle {\Big (}{\big (}f(x)=0\Rightarrow g(x)=0{\big )}{\text{ et }}{\big (}f(x)\neq 0\Rightarrow G(x)=C{\big )}{\Big )}{\text{ i.e. }}|g(x)|^{q}=C^{q}|f(x)|^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0f9916e6eb724bbb18df53722a240786bc8876)
.
- Le cas
ou
est immédiat et le cas
quelconque se ramène facilement au cas
en divisant
par
. Supposons donc que
et
, et montrons que pour toute fonction
,![{\displaystyle \left(\int |g|^{r}~\mathrm {d} \mu \right)^{1/r}\leq \left(\int |g|^{q}~\mathrm {d} \mu \right)^{1/q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90fbee1bc5d1bfbf793dd0c517fcf554967d3531)
ou encore, en posant
, que pour toute fonction positive
,![{\displaystyle \left(\int h\mathrm {d} \mu \right)^{s}\leq \int h^{s}~\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e453020b6be9b097d6fe5917f8eb3b9d81c3b9b)
.
Le cas où
est intégrable résulte de l'inégalité de Jensen intégrale appliquée à la fonction
, qui est convexe sur
car
. Le cas général s'en déduit par convergence monotone.