En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Devoir : Intégrale dépendant d'un paramètre
Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale dépendant d'un paramètre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient :
l'ensemble des fonctions continues de
dans
;
l'ensemble des fonctions de
dans
.
— Ⅰ —
Soit
définie par
.
1° Calculer
(pour tout réel
).
2° a) Soit
définie par
(pour tout réel
).
- Étudier le sens de variation de
; en déduire que
.
- b) Étudier la variation de la fonction
(on ne demande pas de tracer sa courbe représentative).
— Ⅱ —
1° Soit
l'application qui, à tout élément
de
, associe la fonction
définie par :
(pour tout
).
- Démontrer que l'application
est linéaire.
2° Pour toute fonction
dérivable et de dérivée continue, on pose :
et
.
- Démontrer que (pour tout
) :
.
— Ⅲ —
Soient
définies par :
.
Soit
l'ensemble des fonctions :
![{\displaystyle af_{1}+bf_{2}+cf_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1c4bb3b88ffe07b4bebffe9203a50357804905)
pour tout triplet
de nombres réels.
1° a) Déterminer les fonctions :
.
- b) Soit
un élément de
. Calculer
(pour tout
).
- c) Démontrer que la restriction de
à
est injective.
2° a) Soit
un élément de
. Justifier le fait que
est un intervalle fermé
, avec
.
- b) Démontrer que
.
- c) En déduire que pour tout
, il existe au moins un réel
tel que
.
- Calculer
dans le cas particulier :
et
.
Corrigé
Ⅰ – 1°
.
- 2° a) Pour tout
,
donc
.
- b) Pour tout
,
donc
est strictement décroissante.
et
.
Ⅱ – 1° Immédiat, par linéarité de l'intégrale.
- 2°
.
Ⅲ – 1° a)
(cf. Ⅰ).
et
donc d'après Ⅱ-2,
et
, donc
et
.
- b) Si
alors
.
- c) Pour montrer que cette application linéaire est injective, il suffit de vérifier que son noyau est réduit au vecteur nul. Soit donc
telle que
, c'est-à-dire
; montrons qu'alors,
. D'abord,
(car
et
) et il reste
. Puis,
(car
et
) et il reste
donc
.
- 2° a)
est continue sur
donc d'après le théorème des bornes,
est de la forme
.
- b) Il suffit, pour
fixé, de multiplier l'encadrement
par la fonction positive
et d'intégrer de
à
.
- c) D'après Ⅰ-2.b,
et d'après la question précédente,
, d'où l'existence de
.
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}I(2)\left(1+\cos 2t+\sin 2t\right)=I(2)+{\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\cos 4}{2}}&\Leftrightarrow \cos 2t+\sin 2t={\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\cos 4}{1-\mathrm {e} ^{-2\pi }}}\\&\Leftrightarrow \cos \left(2t-{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\cos 4}{\left(1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\right){\sqrt {2}}}}\\&\Leftrightarrow t={\frac {\pi }{8}}\pm {\frac {\theta }{2}},\quad {\text{pour}}\quad \theta =\arccos \left({\frac {1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\cos 4}{\left(1-\mathrm {e} ^{-2\pi }\right){\sqrt {2}}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bbb17f5914445d1c20af016cf7b075a4df8acca)