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Exercice : Relations trigonométriques 1
Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 10-1
En supposant
, simplifier les expressions :
1°
2°
Solution
1°
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin a+\sin b+\sin c}{\sin a+\sin b-\sin c}}&={\frac {\sin a+\sin b+\sin(a+b)}{\sin a+\sin b-\sin(a+b)}}\\&={\frac {2\sin((a+b)/2))\left(\cos((a-b)/2))+\cos((a+b)/2))\right)}{2\sin((a+b)/2))\left(\cos((a-b)/2))-\cos((a+b)/2))\right)}}\\&={\frac {\cos(a/2)\cos(b/2)}{\sin(a/2)\sin(b/2)}}\\&=\cot(a/2)\cot(b/2)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5217b86c9b2888eaf9c8b711b7c85542f5bb57e9)
2°
![{\displaystyle {\begin{aligned}1+\cos a+\cos b-\cos c&=\cos a+\cos b+1+\cos(a+b)\\&=2\cos((a+b)/2)\left(\cos((a-b)/2)+\cos((a+b)/2)\right)\\&=2\cos((\pi -c)/2)\times 2\cos a\cos b\\&=4\sin {\frac {c}{2}}\cos a\cos b\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770ebd595feb8d3a3689f9264ff94742c4eb5221)
Exercice 10-2
Calculer la somme :
![{\displaystyle S=\sin ^{4}{\frac {\pi }{8}}+\sin ^{4}{\frac {3\pi }{8}}+\sin ^{4}{\frac {5\pi }{8}}+\sin ^{4}{\frac {7\pi }{8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5cccffb7d545536388369506dc07990036a8ecc)
Solution
![{\displaystyle {\begin{aligned}S&=2\left(\sin ^{4}{\frac {\pi }{8}}+\cos ^{4}{\frac {\pi }{8}}\right)\\&=2\left(\left(\sin ^{2}{\frac {\pi }{8}}+\cos ^{2}{\frac {\pi }{8}}\right)^{2}-2\sin ^{2}{\frac {\pi }{8}}\cos ^{2}{\frac {\pi }{8}}\right)\\&=2-\sin ^{2}{\frac {\pi }{4}}\\&={\frac {3}{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2676d9f29edca8e5c2786843f468f8540c9f8cc)
Exercice 10-3
De la relation
, déduire :
.
Calculer :
.
Solution
.
donc
.
Exercice 10-4
Mettre sous forme de produit ou de quotient les expressions :
1°
;
2°
;
3°
;
4°
;
5°
.
Solution
1°
.
2°
.
3°
![{\displaystyle =\sin ^{2}a\left(1-\cos ^{2}b\right)+\sin ^{2}b\left(1-\cos ^{2}a\right)-2\sin a\cos a\sin b\cos b=2\sin a\sin b\left(\sin a\sin b-\cos a\cos b\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5bbafd515b7955364c545c65e533bc213653646)
.
4°
5°
.
Exercice 10-5
Mettre sous forme de produit ou de quotient les expressions :
1°
;
2°
;
3°
;
4°
;
5°
.
Solution
1°
(cf. fin de l'exercice précédent).
2°
.
3°
.
4°
.
5°
.
Exercice 10-6
Démontrer les relations :
1°
;
2°
.
Solution
1° La partie réelle de
est égale à
, où
est un polynôme de degré 16 à 8 racines doubles :
. Le coefficient dominant de
est
et son terme constant est
, donc
.
2° La partie réelle de
est aussi égale à
, où
est un polynôme de degré 16 à 8 racines doubles :
. Le coefficient dominant de
est
et son terme constant est
, donc
.