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Exercice : Sur la trigonométrie
Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 4-1
On pose
.
a) Déterminer les réels
tels que
.
b) Si
, calculer
,
,
,
et
.
Exercice 4-2
Déterminer le module et l'argument des nombres complexes suivants :
;
;
.
En déduire
et
, puis
et
.
Exercice 4-3
1° Écrire la représentation trigonométrique de
et
.
- Représenter leurs images dans le plan complexe.
2° Résoudre dans
l'équation :
.
Vérifier que les solutions,
et
, s'expriment simplement à l'aide de
et
.
3° Construire les images
et
de
et
. Écrire la représentation trigonométrique de
et
.
4° En déduire les valeurs de
,
,
et
, puis
et
.
Exercice 4-4
Linéariser les expressions suivantes :
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
Solution
a)
;
b)
;
c)
(pour une autre méthode, voir « Formules de linéarisation ») ;
d)
.
Exercice 4-5
Dans cet exercice,
désigne le nombre complexe :
.
1° Vérifier que
.
- En déduire la relation :
.
2° a) Exprimer
,
,
et
sous forme trigonométrique.
- b) Démontrer les égalités :
.
3° Utiliser les résultats des questions précédentes pour trouver une relation entre
et
,
- puis montrer que
est racine de l'équation
.
- En déduire la valeur de
.
Exercice 4-6
On rappelle que si
est un nombre complexe différent de
et
un élément de
:
.
Soit
un élément de
; on pose pour
élément de
:
et
.
1° Calculer le nombre complexe
.
2° En déduire :
- si
,
;
- si
,
.
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Si les exercices de cette page vous ont paru trop simples voir éventuellement d'autres exercices plus compliqués sur la trigonométrie utilisant les nombres complexes. Voir aussi les exercices de la leçon Trigonométrie.
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